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精品解析：湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中高三下学期5月“一起考”数学试题
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5月长郡、一中、雅礼、师大附中“一起考”
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则满足的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
2. 若（为虚数单位），则复数的模为（ ）
A 1 B. C. D. 2
3. 若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（ ）
A. 12302 B. 13304 C. 23004 D. 24034
5. 若数列中，，，且，记数列前n项积为，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
7. 若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为，的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. ，则 D. 若，则
10. 已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（ ）
A. B. 的取值范围是
C. 直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D. 的取值范围是
11. “”表示不大于x的最大整数，例如：，，．下列关于的性质的叙述中，正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若数列中，，，则
D. 被3除余数0
12. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ）
A. 存在点M使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线PC与直线AD所成角为
D. 当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则________．
14. 第31届世界大学生夏季运动会将在今年7月28日至8月8日在四川省成都市举行．有编号为1，2，3，4，5的五位裁判，分别就座于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．
15. 设函数，的定义域均为，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为________．
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点．当的外接圆和内切圆的半径之积的最大值取到时，的最大值为，则________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A的值；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围．
18. 某学校有、两家餐厅，王同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为．
（1）①求王同学第天去餐厅用餐的概率；
②如果王同学第天去餐厅用餐，求他第天在餐厅用餐的概率；
（2）餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升改造提升后，餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了名学生的数据，如下表（单位：人）．
就餐满意程度
餐厅改造提升情况
合计
改造提升前
改造提升后
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
依据小概率值独立性检验，能否认为学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？
附：，其中．
01
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
19. 如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
20. 已知数列满足，且
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
（1）求C的方程；
（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个．
22. 已知函数．
（1）若，，求证：有且仅有一个零点；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
5月长郡、一中、雅礼、师大附中“一起考”
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则满足的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
2. 若（为虚数单位），则复数的模为（ ）
A 1 B. C. D. 2
3. 若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（ ）
A. 12302 B. 13304 C. 23004 D. 24034
5. 若数列中，，，且，记数列前n项积为，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
7. 若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为，的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. ，则 D. 若，则
10. 已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（ ）
A. B. 的取值范围是
C. 直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D. 的取值范围是
11. “”表示不大于x的最大整数，例如：，，．下列关于的性质的叙述中，正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若数列中，，，则
D. 被3除余数0
12. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ）
A. 存在点M使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线PC与直线AD所成角为
D. 当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则________．
14. 第31届世界大学生夏季运动会将在今年7月28日至8月8日在四川省成都市举行．有编号为1，2，3，4，5的五位裁判，分别就座于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．
15. 设函数，的定义域均为，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为________．
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点．当的外接圆和内切圆的半径之积的最大值取到时，的最大值为，则________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A的值；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围．
18. 某学校有、两家餐厅，王同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为．
（1）①求王同学第天去餐厅用餐的概率；
②如果王同学第天去餐厅用餐，求他第天在餐厅用餐的概率；
（2）餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升改造提升后，餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了名学生的数据，如下表（单位：人）．
就餐满意程度
餐厅改造提升情况
合计
改造提升前
改造提升后
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
依据小概率值独立性检验，能否认为学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？
附：，其中．
01
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
19. 如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
20. 已知数列满足，且
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
（1）求C的方程；
（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个．
22. 已知函数．
（1）若，，求证：有且仅有一个零点；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
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2023届湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中高三下学期5月“一起考”数学试题 PDF版： 这是一份2023届湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中高三下学期5月“一起考”数学试题 PDF版，共12页。
