广东省深圳市人大附中深圳学校—高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省深圳市人大附中深圳学校—高一下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人大附中深圳学校—第二学期期中考试
高一年级数学试卷
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
6. 棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
7. 点P菱形内部一点，若，则菱形的面积与的面积的比为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8. 若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ）
A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分。
9. 若是关于的方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C．的共轭复数的模为
D．，在复平面内对应的两点之间的距离为
10. 已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则； B．若与夹角为锐角，则；
C．若，则在方向上投影向量为； D．若
11. 如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（ ）
A．
B．若则该正方体外接球表面积为
C．直线和直线异面
D．如果平面平面，那么直线直线.
12. 在中，角的对边分别为，则（ ）
A．若，，，则有两解
B．若，则为直角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，则

三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.
13. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为30n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距______n mile．
14. 等边的边长为，点为的重心，则________.
15. 某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图）．现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要 朵鲜花（参考数据：）；若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为 米．
16. 如图，在长方体中，点是（靠近点）的一个三等分点，点是的中点，为直线与平面的交点，则________.

四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？




18. 如图，在正方体中，E为的中点.
（1）在图中作出平面和底面的交线，并说明理由；
（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.




19. 如图,在中,,, ,.
(1)求
(2)求线段的面积.





20. 如图，在三棱锥中，.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.







21. 在直三棱柱中， ，，，为的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面平面．





22. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，，且，.
（1）求的大小；
（2）求的最大值．


参 考 答 案
一、单选题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
C
B
C
B
C

1.【解析】，故选：A.

2.【解析】，故选：A.

3.【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为．
圆柱的表面积，
球的表面积，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.
故选：C

4.【解析】如图，是边长为2的正的直观图，则，，则高，故的面积.
故选：C.


5.【解析】A选项，与相交、平行或，
如图1，当时，与相交，故A错误；

B选项，因为，，所以，
因为，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
C选项，因为，，所以，
因为，所以，故C错误；
D选项，若，，，则与相交、平行或异面，
如图2，满足，，，而与异面，

故D错误．
故选：B．

6.【解析】
在正方体，显然平面.
证明如下：
在上底面中，又平面，
平面，又平面，
同理可证：又，平面，
平面.
故的轨迹为，
所以
故选：C

7.【解析】如图，设中点为，中点为，
因为，即，则，
即，
则，
所以的面积与的面积的比值是6.
故选：B.

8.【解析】
由，可得
因为，所以，即是角平分线
所以由角平分线的性质可得
设，则，由可得
因为
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为
所以的最大值是
故选：C

二、多选题.
题号
9
10
11
12
答案
BCD
AC
BD
ABD

9.【解析】由题意得，得 ，解得 ；
A选项错误，B选项正确；
的共轭复数为，模长为，C选项正确；
，在复平面内对应的两点之间的距离为，D选项正确；
故选：BCD.

10.【解析】若，则，解得，A正确；
若与夹角为锐角，则，解得，又当，，此时，与夹角为0，故B错误；
若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，所以在方向上投影向量为，C正确；
，D错误.
故选：AC

11.【解析】
如图，把正方体的平面展开图还原成正方体.
在正方体中，可知，
故异面直线与所成的角即为与所成的角为，故A项错误；
，故C项错误；
正方体外接球的半径，所以表面积，故B项正确；
在正方体中，，
则平面平面，平面平面于直线，平面平面，故直线直线，故D项正确.
故选：BD.

12．【解析】对A，因为，所以△ABC有两解，故A正确；
对B，因为，所以，，，故，故B正确；
对C，由可得，则，所以，故C为钝角，故C错误；
对D，，所以，所以，所以，，，所以，即，故D正确.
故选：ABD．

三、填空题.
13. 14. 15. ； 16.

13.【解析】由题意得，
，，，
由正弦定理，
即，解得．
故答案为：．

14.【解析】且两向量的夹角为，即 故填：

15.【解析】由题意知：圆锥的底面半径，母线长，
圆锥的侧面积（），
装饰屋顶大约需要朵鲜花.
将圆锥侧面沿母线展开，是侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，

，，
在中，，，
，解得：，
即灯光带的最小长度为.

16.【解析】连接，，令平面与平面的交线交分别于点P，N，Q，如图，

在长方体中，四边形、四边形是正方形，
平面平面，平面平面，平面平面，
则，而，且与都是锐角，即，
则，又点是(靠近点)的一个三等分点，即，
点是的中点，而，则，，即，
在正方形中，，则，
连MN，则有平面平面，而直线，必有平面，又平面，
因此，直线，即直线与交于点O，又长方体的对角面是矩形，
即，且，于是得，
所以.

四、解答题.
17.【解析】（1），
，.
（2）由得：，
解得：.

18.【解析】（1）在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，
∵，平面，则平面，
∵，平面，∴平面.
∴平面平面.
（2）设，连接，
由E为的中点，得G为的中点，
∴，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.
设正方体的棱长为2.
.
∴另一部分几何体的体积为.
∴两部分的体积比为


19.【解析】（1）
（2）

20.【解析】（1）取中点，连接和，
因为，所以，
又因为，所以平面，.
又由平面，所以
（2）过点作，垂足，
由（1）可知平面，又因为平面
所以平面平面，所以平面，
所以即为点到平面的距离，
在中，，
所以
即点到平西的距离为.


21.【解析】解：（1）；
（2）取A1B1的中点M，连接MA.

证明如下：
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱.
∴平面ABC∥平面A1B1C1，AB∥A1B1，AB＝A1B1.
∵D、M分别是AB、A1B1的中点.
∴C1M∥CD.
∵CD⊂平面CDB1，C1M平面CDB1，
∴C1M∥平面CDB1.
∴.
∴MB1＝AD，MB1∥AD.
∴四边形ADB1M是平行四边形.
∴AM∥DB1.
∵DB1⊂平面DCB1，AM平面DBC1.
∴AM∥平面DCB1.
∵C1M∩AM＝M.
∴平面C1AM∥平面B1CD.

22.【解析】（1）因为，，且，所以,
又,所以,
所以,
所以,
因为,所以,，可得.
（2）根据余弦定理得,得，
因为,所以，结合，
所以(当且仅当时取等号)，
设,则,所以,
设,
则在区间上单调递增,
所以的最大值为,所以的最大值为.