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精品解析：粤湘鄂名校联盟高三上学期第一次联考数学试题
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这是一份精品解析：粤湘鄂名校联盟高三上学期第一次联考数学试题，文件包含精品解析粤湘鄂名校联盟高三上学期第一次联考数学试题解析版docx、精品解析粤湘鄂名校联盟高三上学期第一次联考数学试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
粤湘鄂名校联盟第一次联考
数 学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设,则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知实数，设函数，，若对任意均有 ，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. ，e） D.
6. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D、E、F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则＝( )
A. 4 B. 2 C. D.
7. 中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A 0 B. 1 C. 3 D. 5
8. 若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，则（ ）
A e B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（ ）
A. 对于任意点，平面
B. 存在点，使平面
C. 直线的被球截得的弦长为
D. 过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为
11. 已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）
A. 点（0，0）是函数f（x）的零点
B ∈（1，3），使f（）>f（）
C. 函数f（x）的值域为[
D. 若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）
12. 已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A. 是等差数列 B.
C. D. 存在使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线过点，且与圆：相交于两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为__________.
14. 公比为q的等比数列{}满足： ，记，则当q最小时，使成立的最小n值是___________
15. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为_______；若方程在的解为、，则______.
16. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；
条件③：的面积为；
18. 已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列，，.
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前项和为，设，求的前项的和.
19. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100
（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.
附：观测值公式：
临界值表：
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
21. 已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
22. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若方程有两实数解，求证：．（其中为自然对数的底数）．
粤湘鄂名校联盟第一次联考
数 学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设,则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知实数，设函数，，若对任意均有 ，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. ，e） D.
6. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D、E、F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则＝( )
A. 4 B. 2 C. D.
7. 中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A 0 B. 1 C. 3 D. 5
8. 若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，则（ ）
A e B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（ ）
A. 对于任意点，平面
B. 存在点，使平面
C. 直线的被球截得的弦长为
D. 过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为
11. 已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）
A. 点（0，0）是函数f（x）的零点
B ∈（1，3），使f（）>f（）
C. 函数f（x）的值域为[
D. 若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）
12. 已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A. 是等差数列 B.
C. D. 存在使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线过点，且与圆：相交于两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为__________.
14. 公比为q的等比数列{}满足： ，记，则当q最小时，使成立的最小n值是___________
15. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为_______；若方程在的解为、，则______.
16. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；
条件③：的面积为；
18. 已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列，，.
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前项和为，设，求的前项的和.
19. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100
（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.
附：观测值公式：
临界值表：
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
21. 已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
22. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若方程有两实数解，求证：．（其中为自然对数的底数）．
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