山东省潍坊市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学

2023.7

本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：

1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知等差数列中，，，则

A.1   B.2   C.3   D.4

2.已知直四棱柱的高为1，其底面四边形水平放置的斜二测直观图为平行四边形，，，则该直四棱柱的体积为

A.    B.    C.2   D.4

3.在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则

A.点关于点的对称点为

B.点关于轴的对称点为

C.点关于轴的对称点为

D.点关于平面的对称点为

4.已知为正项等比数列，若，，则

A.6   B.4   C.2   D.

5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则

A.若，，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

6.设，，，是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为

A.    B.    C.    D.-1

7.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为

A.-3   B.-1   C.2   D.3

8.如图，在直三棱柱中，，四边形是边长为1的正方形，，是上的一个动点，过点作平面平面，记平面截四棱锥所得图形的面积为，平面与平面之间的距离为，则函数的图象大致是

A.    B.

C.     D.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.已知为等差数列的前项和，若，，则

A.数列的公差为-2    B.

C.     D.数列为递减数列

10.已知某圆锥的顶点为，其底面半径为，侧面积为，若，是底面圆周上的两个动点，则

A.圆锥的母线长为2      B.圆锥的侧面展开图的圆心角为

C. 与圆锥底面所成角的大小为  D. 面积的最大值为

11.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列".斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记是数列的前项和，则

A.         B.

C.   D.

12.如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则

A.这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球

B.这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体

C.存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内

D.这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置

13.如图，在正方体中，与垂直的面对角线可以是__________.（写出一条即可）

14.已知数列满足，，则__________.

15.在四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，记直线与平面所成的角为，二面角的大小为，则___________（填“>”“<” “≥” “≤”）.

16.如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则有序数对是____________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（10分）

在正三棱柱中，，，分别为，的中点，点，分别在棱和上，且.

（1）证明：四边形为梯形，并求三棱柱的表面积；

（2）求三棱台的体积.

18.（12分）

已知递增等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若请判断与的大小关系，并求数列的前20项和.

19.（12分）

在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，，，为圆的内接正三角形.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）

中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力.根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元.同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等.

（1）设第年（本年度为第一年）投入的专项资金为万元，销售收入为万元，请写出，的表达式；

（2）至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入?

21.（12分）

如图（1），已知四边形是边长为2的正方形，点在以为直径的半圆弧上，点为的中点.现将半圆沿折起，如图（2），使异面直线与所成的角为45°，此时.

（1）证明：平面，并求点到平面的距离；

（2）若平面平面，，当平面与平面所成角的余弦值为时，求的长度.公众号：全元高考

22.（12分）

已知正项数列中，，点在直线上，，其中.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设为数列的前项和，求；

（3）记，数列的前项和为，试探究是否存在非零常数和，使得为定值?若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.