山东省淄博市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)

这是一份山东省淄博市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)，共45页。试卷主要包含了÷，其中a＝+1，b＝﹣1，解方程组，两点，两点，与x轴相交于C点，在x轴上方的抛物线上，两点，与y轴交于点C，连接BC等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•淄博）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
二．解二元一次方程组（共2小题）
2．（2022•淄博）解方程组：．
3．（2020•淄博）解方程组：
三．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•淄博）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
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计算结果（已取近似值）
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1.18

1.39

1.64
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
5．（2022•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．

6．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b＜的解集．

7．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．

9．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

10．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•淄博）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

七．等腰三角形的判定（共1小题）
12．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．

八．平行四边形的性质（共1小题）
13．（2020•淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．

九．四边形综合题（共1小题）
14．（2021•淄博）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．

（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
一十．圆的综合题（共2小题）
15．（2022•淄博）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．

16．（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
17．（2020•淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2022•淄博）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．
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0.156

0.158

0.276

0.287





一十三．条形统计图（共2小题）
19．（2021•淄博）为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．
成绩等级
分数段
频数（人数）
优秀
90≤x≤100
a
良好
80≤x＜90
b
较好
70≤x＜80
12
一般
60≤x＜70
10
较差
x＜60
3

请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是 　 　度；
（2）补全上面的成绩条形统计图；
（3）若该校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数．
20．（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　 　人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　 　，话题D所在扇形的圆心角是　 　度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
21．（2022•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 　 　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 　 　度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．


山东省淄博市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•淄博）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
【答案】ab，2．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，
原式＝（+1）（﹣1）
＝3﹣1
＝2．
二．解二元一次方程组（共2小题）
2．（2022•淄博）解方程组：．
【答案】．
【解答】解：整理方程组得，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为．
3．（2020•淄博）解方程组：
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
①+②，得：5x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6+y＝8，
解得y＝4，
所以原方程组的解为．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•淄博）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
解答过程中可直接使用表格中的数据哟！


1.18

1.39

1.64
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
【答案】（1）18%；
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元．
【解答】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，
依题意得：2300（1+x）2＝3200，
解得：x1＝0.18＝18%，x2＝﹣2.18（不合题意，舍去）．
答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%．
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：
3200+3200×（1+18%）+3200×（1+18%）2+3200×（1+18%）3
＝3200+3200×1.18+3200×1.39+3200×1.64
＝3200+3776+4448+5248
＝16672（万元），
1.6亿元＝16000万元，
∵16672＞16000，
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
5．（2022•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．

【答案】（1）直线AC的解析式为y＝﹣x+，双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）；
（3）1＜x＜3．
【解答】解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
将A（1，2）代入y＝（x＞0），
得m＝2，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝﹣x+与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，），
∵直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为（3，），
∴△AOB的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；
（3）观察图象，
∵A（1，2），B（3，），
∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集是1＜x＜3．
6．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b＜的解集．

【答案】（1）y1＝﹣x+1，；
（2）；
（3）﹣2＜x＜0或x＞3．
【解答】解：（1）∵直线y1＝k1x+b与双曲线相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴，解得：k2＝﹣6，
∴双曲线的表达式为：，
∴把B（m，﹣2）代入，得：，解得：m＝3，
∴B（3，﹣2），
把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y1＝k1x+b得：，
解得：，
∴直线的表达式为：y1＝﹣x+1；
（2）过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图

∵BP∥x轴，
∴AD⊥x轴，BP⊥y轴，
∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），
∴BP＝3，AD＝3﹣（﹣2）＝5，
∴；
（3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值，
故其解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．
7．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．
∴OD＝2，
即点D（0，2），
把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，
∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，
m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，
因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
＝×3×4+×3×2，
＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．

五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）；
（3）四边形AFBG的面积＝×AB×FG＝×4×8＝16．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．

点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，
∴4＝+t，
∴t＝，
∴直线DT的解析式为y＝x+，
令y＝0，得到x＝﹣2，
∴T（﹣2，0），
∴OT＝2，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴BT＝5，
∵DT＝＝5，
∴TD＝TB，
∵PM⊥BT，PN⊥DT，
∴四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），
∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，
∵D（1，4），B（3，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
∴J（m，﹣2m+6），
∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，
∵四边形DTBP的面积＝△DTB的面积+△BDP的面积
＝×5×4+×（﹣m2+4m﹣3）×2
＝﹣m2+4m+7
＝﹣（m﹣2）2+11
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，
∴PM+PN的最大值＝×11＝；
解法二：延长MP交直线l与点H，易得直线l：y＝x+，
∴H（m，m+） 设直线l交x轴于点C，交y轴于点L，

∴C（﹣2，0），L（0，），
∴CL＝，
∴sin∠CLO＝，
由LO∥HM，
∴∠NHM＝∠CLO，
∴sin∠NHM＝，
∴PH＝m++m2﹣2m﹣3＝m2﹣m﹣，
∴PN＝PH，
∴PM+PN＝﹣m2+2m+3+（m2﹣m﹣）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝2时，PM+PN的值最大，最大值为；
（3）四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设P（m，﹣m2+2m+3），

∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，
∴E（1，﹣2m+6），
∵E，G关于x轴对称，
∴G（1，2m﹣6），
∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），
∴F（1，2m+2），
∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，
∴四边形AFBG的面积＝×AB×FG＝×4×8＝16．
∴四边形AFBG的面积是定值．


9．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）（2，3）；
（3）E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C的坐标为（0，2），
将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0），
得＝2，即m＝4，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，

由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2，m＝4，
∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
则，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），则H（m，﹣m+2），
∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）
＝﹣m2+2m
＝﹣（m2﹣4m）
＝﹣（m﹣2）2+2，
∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC＝PH•|xB﹣xC|
＝[﹣（m﹣2）2+2]×4
＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），
∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，
∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，
联立①②解得，或，
∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），
∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，
∴点F的横坐标为，
①若BG为边，
不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，

设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），
∵∠GBE＝90°，
∴∠OBG＝∠BEH，
∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，
∴＝，
解得：t＝3或m（舍），
∴E的坐标为（3，2m﹣6），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF＝BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，
∴＝﹣m+1，
解得m＝1，
∴E（3，﹣4），F（0，﹣），
这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
由中点坐标公式得，，
∴M的坐标为（，），
∵矩形对角线BG、EF互相平分，
∴M也是EF的中点，
∴E的横坐标为，
∴E的坐标为（，），
∵∠BEG＝90°，
∴EM＝，
∴＝，
整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，
变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，
换元，令t＝（m+2）2，
得：t2﹣26t+25＝0，
解得：t＝1或25，
∴（m+2）2＝1或25，
∵m＞0，
∴m＝3，
即E的坐标为（0，），
F的坐标为（1，﹣4），
综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．
10．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；

（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点M（1，3）
令y＝0，可得x＝﹣2或4，
∴点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④，
联立④③并解得或，
故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；

（3）（Ⅰ）当点Q在MD之间时，
作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PER为等腰直角三角形，
当在直线MD上存在唯一的点Q时，圆R与直线MD相切，
∵点M、D的坐标分别为（1，3）、（4，0），
则ME＝3，ED＝4﹣1＝3，则MD＝3，
过点R作RH⊥ME于点H，

设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD•RQ×ED•yR+×ME•RH，
∴×3×3＝×3×m+×3×m×3×m，解得：m＝，
故点P（1，）；
（Ⅱ）当点Q与点D重合时，
由点M、E、D的坐标知，ME＝ED，即∠MDE＝45°；
①当点P在x轴上方时，当点P与点M重合时，此时∠PQE＝45°，此时点P（1，3），
②当点P在x轴下方时，同理可得：点P（1，﹣3），
综上，点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，﹣3）．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•淄博）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠DCB，
在△EBC与△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BD＝CE．
七．等腰三角形的判定（共1小题）
12．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．

【答案】（1）见证明；
（2）∠BDE的度数为30°．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
八．平行四边形的性质（共1小题）
13．（2020•淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
九．四边形综合题（共1小题）
14．（2021•淄博）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．

（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）45°．
（3）y＝（0≤x≤2）．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠APD＝90°，
∴∠PAD+∠ADE＝90°，∠PAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF＝AE．

（2）解：如图2中，连接AQ，CQ．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，
∵EQ垂直平分线段AF，
∴QA＝QF，
∴QC＝QF，
∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ，
∵∠QFC+∠BFQ＝180°，
∴∠BAQ+∠BFQ＝180°，
∴∠AQF+∠ABF＝180°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AQF＝90°，
∴∠AFQ＝∠FAQ＝45°．


（3）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．

∴ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，
∵AF⊥EG，
∴∠APE＝90°，
∵∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠GET＝90°，
∴∠BAF＝∠GET，
∵∠ABF＝∠ETG，AB＝ET，
∴△ABF≌△ETG（ASA），
∴BF＝GT＝x，
∵AD∥CB，DG∥BE，
∴＝＝，
∴＝，
∴BE＝TC＝xy，
∵GT＝CG﹣CT，
∴x＝2﹣y﹣xy，
∴y＝（0≤x≤2）．
一十．圆的综合题（共2小题）
15．（2022•淄博）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．

【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
【解答】证明：（1）如图①，

∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，
∴∠BID＝∠DBI，
∴BD＝DI；
（2）如图②，连接OD，

∵∠CAD＝∠BAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，

∴∠MCH＝90°，
∴∠M+∠CHM＝90°，
∵∠B＝∠M，
∴∠B+∠CHM＝90°，
∵GH是⊙O的切线，
∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，
∴∠CHG＝∠B，
如图③，连接BH，CH，

∵GH是⊙O的切线，
∴∠CHG＝∠HBG，
∵∠CGH＝∠BGH，
∴△HCG∽△BHG，
∴＝，
∴GH2＝BG•CG，
∵AD∥GF，
∴∠AFG＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠FBG，
∴∠FBG＝∠AFG，
∵∠CGF＝∠BGF，
∴△CGF∽△FGB，
∴＝，
∴FG2＝BG•CG，
∴FG＝HG．
16．（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，连接OD，OB，OC，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD，
又∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，

∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD＝，
∴AD＝，
∴＝＝2cosα．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
17．（2020•淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝100千米，
∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），
BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），
AC＝＝50（千米），
∴AB＝（50+50）（千米），
∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，
﹣＝50，
解得x＝≈0.54，
经检验x＝0.54是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天大约修建0.54千米．

一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2022•淄博）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）

0.156

0.158

0.276

0.287





【答案】综合楼的高度约是37.00米．
【解答】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：
作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：

由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，
在Rt△AEG中，
tan∠AEG＝，
∴tan16°＝，即0.287≈，
∴AG＝40×0.287＝11.48（米），
∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），
∴HD＝AB＝24.36米，
在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，
tan∠CAH＝，
∴tan9°＝，即0.158≈，
∴CH＝80×0.158＝12.64（米），
∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），
答：综合楼的高度约是37.00米．
一十三．条形统计图（共2小题）
19．（2021•淄博）为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．
成绩等级
分数段
频数（人数）
优秀
90≤x≤100
a
良好
80≤x＜90
b
较好
70≤x＜80
12
一般
60≤x＜70
10
较差
x＜60
3

请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）统计表中的a＝　50　，b＝　25　；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是 　90　度；
（2）补全上面的成绩条形统计图；
（3）若该校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数．
【答案】（1）50，25，90；
（2）补图见解答；
（3）1200．
【解答】解：（1）抽取的总人数有：10÷＝100（人），
a＝100×50%＝50（人），
b＝100﹣50﹣12﹣10﹣3＝25（人），
成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是：360°×＝90°．
故答案为：50，25，90；

（2）根据（1）补图如下：


（3）1600×＝1200（人），
答：估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数有1200人．
20．（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　200　人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　25　，话题D所在扇形的圆心角是　36　度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），
选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，
故答案为：25，36；
（4）10000×30%＝3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

一十四．列表法与树状图法（共1小题）
21．（2022•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 　120　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 　99　度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

【答案】（1）120，99；
（2）图形见解析；
（3）．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×＝18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：

（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为＝．