山东省聊城市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

这是一份山东省聊城市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共40页。试卷主要包含了先化简，再求值，解不等式组并写出它的所有整数解，，连接AC，BC等内容，欢迎下载使用。

山东省聊城市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值
1．（2021•聊城）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
二．分式方程的应用
2．（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
三．一元一次不等式组的整数解
3．（2020•聊城）解不等式组并写出它的所有整数解．
四．一次函数的应用
4．（2021•聊城）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
5．（2020•聊城）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
五．反比例函数系数k的几何意义
6．（2021•聊城）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6．
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．

六．反比例函数与一次函数的交点问题
7．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．

8．（2020•聊城）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．

七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


10．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

11．（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

八．平行四边形的判定与性质
12．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

九．菱形的判定
13．（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

一十．矩形的判定
14．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

一十一．切线的判定与性质
15．（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．

16．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

一十二．相似三角形的判定与性质
17．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．

一十三．特殊角的三角函数值
18．（2022•聊城）先化简，再求值：÷（a﹣）﹣，其中a＝2sin45°+（）﹣1．
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
19．（2022•聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

20．（2020•聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．

一十五．解直角三角形的应用-方向角问题
21．（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

一十六．条形统计图
22．（2021•聊城）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：

请根据以上的信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生有 　 　人，n＝　 　，a＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有学生3200人，估计参加书法社团活动的学生人数．
23．（2020•聊城）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 　 　；统计图中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
一十七．折线统计图
24．（2022•聊城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝　 　，b＝　 　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？


参考答案与试题解析
一．分式的化简求值
1．（2021•聊城）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
【解答】解：原式＝+÷
＝+÷
＝+•
＝﹣
＝，
当a＝﹣时，原式＝＝6．
二．分式方程的应用
2．（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）＝72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；

（2）设以后每天改造管网还要增加m米，
由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，
解得：m≥36．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
三．一元一次不等式组的整数解
3．（2020•聊城）解不等式组并写出它的所有整数解．
【解答】解：，
解不等式①，x＜3，
解不等式②，得x≥﹣，
∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3，
它的所有整数解为0，1，2．
四．一次函数的应用
4．（2021•聊城）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，
根据题意，得：＝，
解这个方程，得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，并符合题意，
此时，x+0.5＝1+0.5＝1.5（元），
∴A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元；
（2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元，
由题意，得：w＝t+1.5（6000﹣t）＝﹣0.5t+9000，
∵t≤（6000﹣t），
解得：t≤1500，
∵w是t的一次函数，﹣0.5＜0，
∴w随t的增大而减小，
∴当t＝1500时，w最小，
wmin＝﹣0.5×1500+9000＝8250（元），
∴购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元．
5．（2020•聊城）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：
，
解这个方程，得x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；

（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：
w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，
∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，
∴w随t的增大而减小，
又∵t≤3500，
∴当t＝3500棵时，w最小，
此时，B种树苗有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，
答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
五．反比例函数系数k的几何意义
6．（2021•聊城）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6．
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．

【解答】解：（1）设点D坐标为（m，n），由题意得OH•DH＝mn＝6，
∴mn＝12，
∵点D在y＝的图象上，
∴k＝mn＝12，
∵直线y＝﹣x﹣2的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∵CD⊥x轴，
∴CH∥y轴，
∴，
∴OH＝AO＝4，
∴点D的横坐标为4．
∵点D在反比例函数y＝的图象上
∴点D坐标为（4，3）；
（2）由（1）知CD∥y轴，
∴S△BCD＝S△OCD，
∵S△BDE＝2S△OCD，
∴S△EDC＝3S△BCD，
过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，
∵S△EDC＝CD•EF，S△BCD＝CD•OH，
∴CD•EF＝3×CD•OH，
∴EF＝3OH＝12．
∴EM＝8，
∴点E的横坐标为﹣8
∵点E在直线y＝﹣x﹣2上，
∴点E的坐标为（﹣8，2）．

六．反比例函数与一次函数的交点问题
7．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．

【解答】解：（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB＝＝3，
∵S△AOB：S△COD＝3：4，
∴S△COD＝4，
设C（m，），
∴m•＝4，
解得k＝8，
∵点A（2，q）在双曲线y＝上，
∴q＝4，
把点A（2，4）代入y＝px+3，
得p＝，
∴k＝8，p＝；
（2）∵C（m，），
∴E（m，m+3），
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE＝S△COE，
∵S△BOE＝，S△COE＝（）﹣4，
∴＝（）﹣4，
解得m＝4或m＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
8．（2020•聊城）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．

【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，
故反比例函数表达式为：y＝﹣，
将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，
故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；

（2）连接AP、BP，
设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），
分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，

则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PEPE＝PE＝18，解得：PE＝4，
故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


【解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴AD2＝25，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，

作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1EF，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
由﹣（x﹣2）2+1＝0得，
x＝3或x＝1，
∴M（3，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
设P（2，m），
当▱MNQP时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
当▱MNPQ时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
10．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c过点A（1，0），C（0，﹣2），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为y＝．
设直线AC的表达式为y＝kx+b，则
，解得：．
∴直线AC的表达式为y＝2x﹣2．
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y＝，
∴点B坐标为（﹣4，0）．
∵OA＝1，OC＝2，
∴．
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO＝∠CBO．
∴∠ACO+∠BCO＝∠OBC+∠BCO＝90°，
∴AC⊥BC．
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．
又∵∠ACO＝∠DCE，
∴△ACO≌△DCE（AAS）．
∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为﹣1，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
故点D不在抛物线的对称轴上．
（3）设过点B、C的直线表达式为y＝px+q，
∵C（0，﹣2），B（﹣4，0），
∴，解得：．
∴过点B、C的直线解析式为y＝．
过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，﹣），
过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．
设点P坐标为（m，），则点N坐标为（m，），
∴PN＝﹣（）＝，
∵PN∥AM，
∴△AQM∽△PQN．
∴．
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底），
则△BPQ与△BAQ的面积比为，即．
∴＝＝＝．
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣2时，的最大值为，此时点P坐标为（﹣2，﹣3）．


11．（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx+4，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，
得：，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴点D的坐标为：（，），
将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，
∴点E的坐标为：（，），
∴DE＝﹣＝，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，
解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴＝，
∵C（0，4）、E（，），
∴CE＝＝，
由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴CF＝＝t，
∴＝，
∵t≠0，
∴（﹣t+4）＝3，
解得：t＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为：（，）．

八．平行四边形的判定与性质
12．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
九．菱形的判定
13．（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCF是菱形．
一十．矩形的判定
14．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
一十一．切线的判定与性质
15．（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．

【解答】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，
∴AF＝＝8，
∵∠OCE＝∠FCA＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得r＝，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝，
∴OF＝＝，
∴FD＝OF﹣OD＝﹣，
即FD的长为﹣．
16．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝＝3，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即＝，
∴DE＝3．

一十二．相似三角形的判定与性质
17．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE是直径，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，

∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴＝，
∴CD＝．
一十三．特殊角的三角函数值
18．（2022•聊城）先化简，再求值：÷（a﹣）﹣，其中a＝2sin45°+（）﹣1．
【解答】解：÷（a﹣）﹣
＝×﹣
＝﹣
＝，
∵a＝2sin45°+（）﹣1
＝2×+2
＝，
代入得：原式＝＝；
故答案为：；．
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
19．（2022•聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【解答】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，
在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，
∴tan∠EAM＝，
∴AM＝＝≈＝12米，
∴BH＝AM＝12米，
∵BD＝20，
∴DH＝BD﹣BH＝8米，
∴CN＝8米，
在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，
∴tan∠ECN＝，
∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，
∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），
即古槐的高度约为13米．

20．（2020•聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．

【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，

则AE＝MN＝CF＝1.6m，
EF＝AC＝35m，
∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15（m），
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15m，
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20（m），
在Rt△BEN中，
∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6（m），
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30（m）．
答：居民楼AB的高度约为30m．
一十五．解直角三角形的应用-方向角问题
21．（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，
∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），
∴BF＝DE≈299.60（米），
∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．

一十六．条形统计图
22．（2021•聊城）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：

请根据以上的信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生有 　200　人，n＝　54　，a＝　25　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有学生3200人，估计参加书法社团活动的学生人数．
【解答】解：（1）抽取的学生有80÷40%＝200（人），
360°×＝54°，
∴n＝54，
×100%＝25%，
∴a＝25，
故答案为：200，54，25；
（2）参加朗诵社团活动的学生人数为200﹣（50+30+80）＝40（人），
补全条形统计图如图：
；
（3）估计参加书法社团活动的学生人数为3200×25%＝800（人）．
答：估计参加书法社团活动的学生人数为800人．
23．（2020•聊城）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 　120　；统计图中的a＝　12　，b＝　36　；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
【解答】解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；
a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），
故答案为：120，12，36；
（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）2500×＝625（人），
答：估计该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．
一十七．折线统计图
24．（2022•聊城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝　8　，b＝　1.56　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？

【解答】解：（1）由题意得：
八年级成绩的平均数是：（6×7+7×15+8×10+9×7+10×11）÷50＝8（分），
九年级成绩的平均数是：（6×8+7×9+8×14+9×13+10×6）÷50＝8（分），
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a＝8分；
九年级竞赛成绩的方差为：s2＝×[8×（6﹣8）2+9×（7﹣8）2+14×（8﹣8）2+13×（9﹣8）2+6×（10﹣8）2]＝1.56，
故答案为：8；1.56；
②如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖；
综上所述，应该给九年级颁奖．
（3）八年级的获奖率为：（10+7+11）÷50＝56%，
九年级的获奖率为：（14+13+6）÷50＝66%，
∵66%＞56%，
∴九年级的获奖率高．