2022-2023学年广西南宁市良庆区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广西南宁市良庆区八年级（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西南宁市良庆区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，共36.0分）
1. 下列式子是二次根式的是(    )
A. B. C. D.
2. 以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是(    )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为(    )


A. B. C. D.
4. 下列四个图象中，不是的函数图象的是(    )
A. B.
C. D.
5. 在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为分，分，将演讲内容、演讲表达的成绩按：计算，则该选手的成绩是(    )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
6. 下列计算中正确的是(    )
A. B. C. D.
7. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为(    )

A. B. C. D.
8. 对于正比例函数的图象，下列说法不正确的是(    )
A. 是一条直线 B. 随着增大而减小
C. 经过点 D. 经过第一、第三象限
9. 一次数学测试，甲、乙两班同学的成绩统计并分析如图所示，则下列说法正确的是(    )

参加人数
平均数
中位数
方差
甲




乙





A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 小明得分将排在甲班的前名
C. 甲，乙两班竞赛成绩的众数相同 D. 甲班的整体成绩比乙班好
10. 下列命题中，真命题是(    )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
11. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为(    )

A. B. C. D.
12. 如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点，，，则的长为(    )

A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，共12.0分）
13. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
14. 下面是某班名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：
个数个





人数





则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是______ ．
15. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是______ ．


16. “赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若大正方形的面积为，每个直角三角形面积为，那么为______ ．
17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为______ ．


18. 如图，在中，，，垂足为，，，则 ______ ．


三、解答题（共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：


．

这种方法称为“构造对偶式”
已知求的值．
21. 本小题分
计算：如图，方格中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上．
请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；
求点到边的距离．

22. 本小题分
中国已经成为世界上第三个独立掌握载人航天技术并把载人航天活动拓展到空间站的国家年月日，神舟十五号成功发射，展示了我国科技的强大，预示着我国在太空技术上开启了新的征程，为了解学生对“空间站”相关知识的掌握情况，某校在七、八年级学生中举行了“空间站”知识竞赛七、八年级各有名学生，现从两个年级各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
整理数据：







七年级






八年级






分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级



八年级



应用数据：
由表填空：        ，        ；
估计该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在分以上含分的学生共有多少人？
结合竞赛情况，说一说七、八年级哪个年级成绩较好？
23. 本小题分
如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后
以相同的速度原路返回家如图中反映了小明离家的距离与他所用时间小明家之间的函数关系．

小明骑自行车速度为______ ；
求小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式；
当小明离家的距离为时，求的值．
24. 本小题分
如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．

25. 本小题分
某文具店准备购进、两种品牌的文具袋进行销售，若购进品牌文具袋和品牌文具袋各个共花费元，购进品牌文具袋个和品牌文具袋各个共花费元．
求购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
若该文具店购进了，两种品牌的文具袋共个，其中品牌文具袋售价为元，品牌文具袋售价为元，设购进品牌文具袋个，获得总利润为元．
求关于的函数关系式；
要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
26. 本小题分
如图，在四边形中，，，且，，，，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度沿向点运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设点、同时出发，并运动了秒，解答下列问题：
当为多少秒时，四边形成为矩形；
当为多少秒时，四边形成为平行四边形；
是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．


答案和解析

1.【答案】 
解：选项，是平方数，不符合题意；
选项，是二次根式，符合题意；
选项，是三次根式，不符合题意；
选项，中被开方数不能是负数，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的定义，形式，性质即可求解．
本题主要考查二次根式，掌握二次根式的概念，表示形式，性质是解题的关键．

2.【答案】 
解：、，故不是直角三角形，故不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故不符合题意；
C、，故是直角三角形，故符合题意；
D、，故不是直角三角形，故不符合题意．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

3.【答案】 
解：中，、分别是、的中点，
为三角形的中位线，
．
故选：．
直接利用三角形中位线定理可求．
本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半．

4.【答案】 
解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应．选项A、、中对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应，所以是的函数；而中的的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：．
函数的定义：在某变化过程中，有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则叫自变量，是的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
本题考查函数的定义，要熟练掌握函数的定义．

5.【答案】 
解：分，
该选手的成绩是分．
故选：．
根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案．
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．

6.【答案】 
解：、，原计算错误，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能计算，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减乘除运算可进行求解．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．

7.【答案】 
解：公路、互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，即，两点间的距离为，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

8.【答案】 
解：正比例函数是一条过原点的直线，
故A，不符合题意；
，
随着增大而减小，
故B不符合题意；
，
正比例函数图象经过第二、四象限，
故D符合题意，
故选：．
根据正比例函数的图象和性质分别判断即可．
本题考查了正比例函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这些知识是解题的关键．

9.【答案】 
解：选项，甲班方差大于乙班方差，所以乙班成绩稳定，A错误；
选项，甲班中位数是，共人参加，，排名在名之前，B正确；
选项，数据分析中未给出众数的相关信息，无法判断，不选；
选项，甲、乙两班平均数相等，甲班中位数小于乙班中位数，且甲班方差大于乙班方差，乙班成绩更加稳定，因此甲班整体成绩不如乙班好，D错误；
故选：．
数据分析中的方差越小，成绩越稳定；由中位数判断成绩排名；整体成绩需要参考各项分析数据方可得出结论．
本题考查数据整理和分析，掌握平均数、中位数、众数、方差的含义是解题的关键，易错点是方差越小越稳定．

10.【答案】 
解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是真命题，符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可．
本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定，熟知相关判定定理是解题的关键．

11.【答案】 
解：根据勾股定理可得，




．
故选：．
先根据勾股定理求出，然后根据计算即可．
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．

12.【答案】 
解：延长、交于点，
是的角平分线，
，


在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故选：．
延长、交于点，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

13.【答案】 
解：二次根式在实数范围内有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

14.【答案】 
解：这组数据按照从小到大的顺序排列，排在中间的数是，
则中位数为．
故答案为：．
根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

15.【答案】 
解：观察图象可知，随的增大而增大，且图象经过点，
的解集是．
故答案为：．
先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解．

16.【答案】 
解：大正方形的面积为，每个直角三角形面积为，
，
，
故答案为：．
根据大正方形的面积为，每个直角三角形面积为，得出，即可求解．
本题考查了勾股定理的证明，根据大正方形的面积等于个直角三角形的面积加上小正方形的面积求解是解题的关键．

17.【答案】 
解：垂直且平分线段，
，
四边形是矩形，对角线与相交于点，，
，
，
故答案为：．
根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．

18.【答案】 
解：在上取一点，使得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
．
故答案为：．
根据作出辅助线，证明全等三角形，将转化为，根据勾股定理列方程求解即可．
此题考查勾股定理，解题关键是作出辅助线，根据勾股定理列方程求解．

19.【答案】解：


． 
【解析】先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

20.【答案】解：由题意得：


；
，
； 
【解析】根据题意可得，然后问题可求解．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．

21.【答案】解：三角形不是直角三角形，
理由：由题意得：，
，
，
，
三角形不是直角三角形；
设点到边的距离为，
由可得，
的面积，
，
解得：，
点到边的距离为． 
【解析】根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
设点到边的距离为，然后利用面积法进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及面积法是解题的关键．

22.【答案】   
解：由题意可得，
将七年级学生成绩按从大到小的顺序排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
因此中位数是，即，
故答案为：，；
人，
答：该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在分以上含分的学生共有人；
八年级成绩较好，理由如下：
因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好．
根据各组数据之和等于数据总数可得的值，根据中位数的意义可得的值；
用七、八年级总数乘以样本中成绩在分以上含分的学生所占百分比即可；
根据中位数、众数的比较得出结论．
本题考查了中位数、众数、频数分布表，利用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

23.【答案】 
解：由图象可得，
小明步行的速度为：，
故答案为：；
小明从图书馆回到家用的时间为：，
，
小明从图书馆返回家的过程中，设与的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
．
解得．
即小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式为；
小明从图书馆返回家的过程中，当时，
，
解得，
即当小明离家的距离为时，的值为．
小明从食堂出来后，设与的函数解析式为，
将代入，得，
解得：
，当时，．
根据图象中的数据，可以直接写出小明家与图书馆的距离，然后根据图象中的数据，即可计算出小明步行的速度；
先求出小明从图书馆回到家用的时间，然后即可得到函数图象与轴的交点，再设出函数解析式，根据点和图象与轴的交点，即可计算出与的函数解析式；
令中的函数值等于，求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

24.【答案】证明：，平分，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：，，，
，
，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负值已舍去， 
【解析】由等腰三角形的性质得，，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
由勾股定理得，再由三角形面积和勾股定理求出，然后由菱形的性质即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

25.【答案】解：设购进品牌文具袋的单价为元，品牌文具袋的单价为元，
，得
答：购进品牌文具袋的单价为元，品牌文具袋的单价为元；
由题意可得，
，
即关于的函数关系式为；
所获利润不低于进货价格的，
，
解得，，
为整数，，
当时，取得最大值，此时，，
答：购进品牌文具袋个，品牌文具袋个时，可以获得最大利润，最大利润是元． 
【解析】根据购进品牌文具袋和品牌文具袋各个共花费元，购进品牌文具袋个和品牌文具袋各个共花费元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
根据题意，可以写出关于的函数关系式；
根据所获利润不低于进货价格的，可以得到，从而可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

26.【答案】解：，，
当时，四边形为矩形，
设：，，则，
，
，
当时，四边形为矩形；
，
当时，四边形成为平行四边形，
设：，，则，
，
，
当时，四边形成为平行四边形；
是等腰三角形时，分三种情况讨论：
当时，即，
；
当时，，
；
当时，，
；
故存在，使得是等腰三角形，此时的值为秒或秒或秒． 
【解析】当时，四边形为矩形，根据列出关于的方程，解方程即可；
当时，四边形为平行四边形，根据列出关于的方程，解方程即可；
分三种情况．结合路程速度时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
本题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．