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2022-2023学年福建省厦门市思明区重点中学八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年福建省厦门市思明区重点中学八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省厦门市思明区重点中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若 x+1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−1 B. x≥0 C. x≥−1 D. 任意实数
2. 下列各点在一次函数y=3x−2的图象上的是( )
A. (2,3) B. (0,3) C. (−3,0) D. (3,7)
3. 下列说法中不正确的是( )
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4. 关于x的方程x2−kx+9=0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A. 9 B. 6 C. ±9 D. ±6
5. 某园林公司购进某种树苗，为了解该种树苗的移植成活率，现对购进的第一批树苗进行随机抽样并统计，结果如图所示．
若该公司第二批还需移植成活1800棵该种树苗，根据统计结果，则第二批树苗购买量较为合理的是( )
A. 1620棵 B. 1800棵 C. 2000棵 D. 2093棵
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P(1,2)，则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集为( )
A. x>1 B. x>2 C. x<2 D. x<1
7. 某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( )
A. 150 B. 200m2 C. 250m2 D. 300m2
8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=AB=10，则AE的长为( )
A. 10 B. 10 5 C. 10 3 D. 5 3
9. 两年前生产1组疫苗的成本是5000元，随着生产技术的进步，若疫苗成本的年平均下降率为x，则现在生产1组疫苗的成本比去年生产1组疫苗的成本减少(单位：元)( )
A. 5000x B. 5000(1−x) C. 5000(1−x)2 D. 5000x−5000x2
10. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A(1,a)，B(b,3)，C(b+t,3)，其中2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 化简：(1) 4=______；(2) 23=______．
12. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2=1.2，S乙2=2.5，则两人成绩比较稳定的是______ (填“甲”或“乙”)．
13. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______．
14. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，设航空公司共有x个飞机场，列方程______．
15. 如图，已知一条直线经过点A(0,2)、点B(1,0)，将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为______．
16. 在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)，EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N.下面四个推断：
①EF=MN；
②EN//MF；
③若平行四边形ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；
④对于任意的平行四边形ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．
其中正确的结论是______；(写出所有正确结论的序号)．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1) 18+ 12− 8− 27；
(2)( 5−2)⋅( 5+2)+( 5−1)2．
18. (本小题8.0分)
解方程：
(1)(x+1)2=16；
(2)2x2−5x+3=0．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,0)，点B(0,1)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标．
20. (本小题8.0分)
在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4，现从中随机抽取一个(不放回)，再从剩下的3个中随机抽取第二个小球．
(1)用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
(2)计算取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF//DE，EF//DB．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)连接DF交BC于点M，若BE=4，AC=2 5，求DM的长．
22. (本小题10.0分)
“双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间.某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示．
进价
售价
乒乓球拍(元/套)
35
a
羽毛球拍(元/套)
40
b
某班甲体育小组购买2套乒乓球拍和1套羽毛球拍共花费160元，乙体育小组购买1套乒乓球拍和2套羽毛球拍共花费170元．
(1)求出a，b的值；
(2)根据销售情况，商店决定再次购进300套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半.若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？
23. (本小题10.0分)
表一：参展的车辆情况．“双碳”背景下，新能源和低碳技术的价值链将成为重中之重，新能源汽车在主流的大众消费群体中越来越受欢迎．某市会展中心正在举行一场新能源汽车的车展活动，此次车展共有三十几种不同品牌的新能源汽车参展，根据不同续航里程可以将这些车分成六类，参展的每一类车辆数如表一：
续航里程x
(单位：公里)
x≤400
400
数量(单位：辆)
40
120
132
95
68
45
秦先生去参加了这次车展活动，他比较看重新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数．秦先生根据汽车鉴定评估机构发布的不同类型汽车的评估结果了解到，续航里程评分规则如下：续航里程达到400公里可得基本分70分，续航里程每增加25公里得分增加1分(增加不足25公里的忽略不计).智能化水平分为一般、良好、优秀，分别可得80分、90分、100分．百公里加速得评分规则如图：
(1)秦先生随机选择了一辆车了解车辆信息，记事件A为：选择的是续航里程超过500公里的车辆．求事件A的概率；
(2)新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数，在秦先生心目中的重要程度分别占50%，20%，30%，秦先生看中了售价一样的甲、乙两款车，这两款车的三项性能如表二．
表二：甲、乙两款车型的三项性能表．
续航里程(单位：公里)
百公里加速(单位：s)
智能化水平
甲车
700
2.70
优秀
乙车
650
1.69
良好
根据所学的统计与概率的知识，你认为秦先生应选择哪一款汽车比较合适？请说明理由．
24. (本小题12.0分)
已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2．
(1)如图1，当DG=2，且点F在边BC上时，求证：
①△AHE≌△DGH；
②菱形EFGH是正方形．
(2)如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由．
25. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点M(−1,m)，N(−1,n)，原点O关于直线MN的对称点为A，直线OM，AN交于点P．
(1)填空：①点A的坐标是______；②当m=1，n=−2时，点P的坐标为______；
(2)连接ON，若n=−2m，△ONP的面积为12，求m的值；
(3)过点P作MN的垂线，垂足为Q，连接OQ，若mn=−1(m≠±1)，求证：PQ=OQ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥−1，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：当x=2时，y=3x−2=4，点(2,3)不在一次函数y=2x的图象上；
当x=0时，y=3x−2=−2，
所以点(0,3)不在一次函数y=3x−2的图象上；
当x=−3时，y=3x−2=−11，
点(−3,0)不在一次函数y=3x−2的图象上；
当x=3时，y=3x−2=7，
所以点(3,7)在一次函数y=3x−2的图象上．
故选：D．
代入各选项中点的横坐标，求出y值，对比后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键，
3.【答案】D
【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不合题意；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，符合题意．
故选：D．
直接利用正方形的判定方法以及平行四边形、菱形、矩形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了正方形以及平行四边形、菱形、矩形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵关于x的方程x2−kx+9=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−k)2−4×9=0，
解得：k=±6．
故选：D．
利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0，方程没有实数根．
5.【答案】C
【解析】解：由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定．
当移植总数为550时，成活率为0.9，于是可以估计树苗移植成活率为0.9，
则该市需要购买的树苗数量约为：1800÷0.9=2000(棵)．
故选：C．
利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案．
此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P(1,2)，
所以，不等式kx+b>mx+n的解集为x<1．
故选：D．
观察函数图象得到，当x<1时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b>mx+n的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】B
【解析】解：设t≥2时，绿化面积S与工作时间t之间的函数解析式为S=kt+b，
将(4,1000)，(5,1300)代入得：
4k+b=10005k+b=1300，
解得：k=300b=−200，
∴S=300x−200，
即工作2小时，该绿化组完成的绿化面积是400m2．
∴则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是4002=200m2．
故答案选：B．
从图象中获取信息，利用待定系数法求解．
本题主要考查了一次函数的图象与应用，通过利用待定系数法和观察图象来解题．
8.【答案】C
【解析】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：
由题意可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=12BF=5，
在Rt△AOB中，OA= AB2−OB2= 102−52=5 3，
∴AE=2OA=10 3．
故选：C．
设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得，
5000(1−x)−5000(1−x)2=5000x−5000x2．
故选：D．
疫苗成本的年平均下降率为x，则去年生产1组疫苗的成本为5000(1−x)元，今年在5000(1−x)元的基础之上又下降x，变为5000(1−x)(1−x)，即5000(1−x)2元，今年减去年即可求出成本减少多少．
本题考查一元二次方程实际问题中的增长率问题，解题的关键是读懂题意，分别找出去年和今年生产1组疫苗所需的成本．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴b+b+t2=1，
整理得：b=1−t2，
∵2
故选：C．
根据等腰三角形三线合一可得点A在BC的垂直平分线上，则b=1−t2，即可求出b的取值范围．
本题主要考查了等腰三角形的性质，不等式的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，以及不等式的性质，平面直角坐标系中各个象限内点的坐标特征．
11.【答案】2 63
【解析】解：(1) 4= 22=2；
故答案为：2．
(2) 23= 2 3= 2× 3 3× 3= 63．
故答案为： 63．
(1)由22=4，根据二次根式的性质化简即可；
(2)先变形 23= 2 3，然后根据二次根式的性质分母有理化即可．
本题考查了非负数的平方根的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，①双重非负性；②任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；③算术平方根的意义．
12.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=1.2,S乙2=2.5，
1.2<2.5，
∴成绩较为稳定的运动员是甲，
故答案为：甲．
根据方差越小成绩越稳定，即可求解．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】y=−2x(答案不唯一)
【解析】解：∵正比例函数的一般形式为y=kx，并且y随x的增大而减小，
∴答案不唯一：y=−2x、y=−3x等．
由于正比例函数的一般形式为y=kx，并且y随x的增大而减小，所以k是一个负数，由此可以确定函数的表达式．
此题是一个开放性试题，答案不唯一，主要利用正比例函数的性质即可解决问题．
14.【答案】12x(x−1)=10
【解析】解：设共有x个飞机场．
12x(x−1)=10．
故答案为：12x(x−1)=10．
根据每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：12飞机场数×(飞机场数−1)=10，把相关数值代入求正数解即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程；得到飞行总航线与飞机场数的等量关系是解决本题的关键．
15.【答案】y=−2x−2
【解析】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(0,2)、点B(1,0)代入，得b=2k+b=0，
解得k=−2b=2，
故直线AB的解析式为y=−2x+2；
将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC，
∴DO垂直平分BC，
∴OC=OB，
∴点C的坐标为(−1,0)，
∵直线CD由直线AB平移而成，平移后的图形与原图形平行，
∴可设平移以后的函数解析式为：y=−2x+m，
将点C(−1,0)代入得，0=−2×(−1)+m，
∴m=−2，
∴平移以后的函数解析式为：y=−2x−2．
故答案为：y=−2x−2．
先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
16.【答案】②
【解析】解：如图1，∵O为▱ABCD对角线AC的中点，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
同理可得：AM=CN，
∴AM−AE=CN−CF，即EM=FN，
又∵EM//FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EN=MF，EN//MF，OE=OF，OM=ON，
故结论①不正确，结论②正确；
若平行四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)，
∴∠EOM<90°，
∴四边形EMFN不可能是菱形，
故结论③不正确；
如图2，当∠ACB≥90°时，四边形ENFM不可能是矩形，
故结论④不正确；
故答案为：②．
由“ASA”可证△EAO≌△FCO，可得△EAO≌△FCO，可证四边形EMFN是平行四边形，可得EN//MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④不正确，即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形ENFM是菱形是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 18+ 12− 8− 27
=3 2+2 3−2 2−3 3
= 2− 3；
(2)( 5−2)⋅( 5+2)+( 5−1)2
=5−4+6−2 5
=7−2 5．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵(x+1)2=16，
∴x+1=4或x+1=−4，
解得x1=3，x2=−5；
(2)∵2x2−5x+3=0，
∴(x−1)(2x−3)=0，
则x−1=0或2x−3=0，
解得x1=1，x2=32．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设直线AB的解析式：y=kx+b，
将点A(−2,0)，点B(0,1)代入，
得−2k+b=0b=1，
解得k=12b=1，
∴直线AB的解析式：y=12x+1；
(2)∵点C到x轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或−2，
代入直线AB的解析式，得2=12x+1或−2=12x+1，
解得x=2或x=−6，
∴C(2,2)或(−6,−2)．
【解析】(1)待定系数法求解析式即可；
(2)根据题意，可得点C纵坐标为2或−2，将点C纵坐标代入直线AB的解析式求出点C横坐标，即可确定点C坐标．
本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
20.【答案】解：(1)画树形图如下：
由以上可知共有12种可能结果分别为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，
∴取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率为212=16．
【解析】(1)画树状图，即可得出结论；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)∵BF//DE，EF//DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//AC，
∴∠DEB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠DBE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴BD=DE，
∴四边形BDEF为菱形．
(2)连接AE，
∵AB=AC=2 5，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABE中，A=2 5，BE=4，
由勾股定理得：AE= AB2−BE2=2，
由(1)知：四边形BDEF为菱形，
∴BM=EM，
又点D为AB的中点，
∴DM为△ABE的中位线，
∴DM=12AE=1．
【解析】(1)首先根据BF//DE，EF//DB可判定四边形BDEF是平行四边形，再证DE为△ABC的中位线，从而得∠DEB=∠C，然后根据等腰三角形的性质得∠C=∠DBE，据此，可得出BD=DE，进而可得出结论；
(2)连接AE，根据等腰三角形的性质得AE⊥BC，可在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE，然后证DM为△ABE的中位线，进而可得DM的长．
此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合(三线合一)；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
22.【答案】解：(1)根据题意得：2a+b=160a+2b=170，
解得：a=50b=60，
答：a、b的值分别是50元、60元；
(2)设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍(300−x)套．总利润为y元，
由题意得：x≥12(300−x)，
解得：x≥100，
∵y=(50−35)x+(60−40)(300−x)
=−5x+6000，
∵−5<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y最大，且最大值为：−5×100+6000=5500(元)，
此时300−x=200，
答：购进乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大，最大利润为5500元．
【解析】(1)根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费160元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费170元，列出方程组，解方程组即可；
(2)根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的12求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．
23.【答案】解：(1)由表一可知总共有500辆车，续航里程超过500公里的车有340辆，
∴P(A)=340500=1725．
(2)甲车的续航里程评分为700−40025+70=82，百公里加速得评分为90，智能化水平得分为100，
∴甲车的平均分为(82×50%+90×20%+100×30%)÷100%=89(分)，
乙车的续航里程评分为650−40025+70=80，百公里加速得评分为100，智能化水平得分为90，
∴乙车的平均分为(80×50%+100×20%+90×30%)÷100%=87(分)，
∴秦先生应选择甲款汽车比较合适．
【解析】(1)利用随机事件A的概率公式求解即可；
(2)求出甲乙的加权平均数比较即可．
本题考查了概率公式和加权平均数的计算．在计算过程中要弄清楚各数据的权是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=HG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG(HL)；
②∵△AEH≌△DHG，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：点F到直线CD的距离不发生变化．理由如下：
作FM⊥DC交DC的延长线于M，如图2，过点F作FN//DM，
∵正方形ABCD中AB//CD，
∴FN//AB，
∴∠FGC=∠GFN，∠EFN=∠BEF，
∵四边形EFGH是菱形，
∴∠HEF+∠GFE=180°，
即∠GFN+∠EFN+∠HEF=180°，
又∠BEF+∠AEH+∠HEF=180°，
∴∠FGC=∠AEH，
在△AEH与△MGF中，
∠A=∠M=90°∠FGM=∠AEHHE=GF，
∴△AEH≌△MGF(AAS)，
∴FM=AH，
∵AH=2，
∴FM=2，是定值不变．
【解析】(1)由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，利用HL证明Rt△AEH≌Rt△DHG；
②由全等三角形的性质得出∠DHG=∠AEH，等量代换可得∠DHG+∠AHE=90°，即可证四边形EFGH为正方形；
(2)过点F作FN//DM，根据平行公理可得FN//AB，根据平行线的性质可以得到∠FGM=∠GFN，∠EFN=∠BEF，再根据菱形的邻角互补以及平角等于180°可以求出∠FGM=∠AEH，然后证明△AEH与△MGF全等．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
25.【答案】(−2,0) (−4,4)
【解析】(1)解：①∵点M(−1,m)，N(−1,n)，
∴直线MN的解析式为：x=−1，
∵原点O关于直线MN的对称点为A，
∴A(−2,0)；
故答案为：(−2,0)；
②设OM的解析式为：y=kx，
∴−k=m，
∴k=−m，
∴OM的解析式为：y=−mx，
设AN的解析式为：y=k1x+b，
∴−2k1+b=0−k1+b=n，
解得：k1=nb=2n，
∴AN的解析式为：y=nx+2n，
∵nx+2n=−mx，
∴x=−2nm+n，
当m=1，n=−2时，点P的坐标为(−4,4)；
故答案为：(−4,4)；
(2)解：由(1)知：点P的横坐标为x=−2nm+n，
∵n=−2m，
∴x=−−4mm−2m=−4，
如图所示，
∵△ONP的面积为12，
∴S△OMN+S△MNP=12，
∴12×MN×4=12，
∴MN=6，
∴|m−n|=|m+2m|=6，
∴3m=±6，
∴m=±2；
(3)证明：由(1)知：点P的横坐标为x=−2nm+n，
∴P(−2nm+n,−2 m+n)，
∵PQ⊥MN，
∴Q(−1,−2m+n)，
∵mn=−1，
∴m≠0，n≠0，
分两种情况：
①当m>0(m≠1)时，如图2，
∵mn=−1，
∴n<0，m−n>0，
∴−2nm+n>0，
∴PQ=−2nm+n−(−1)=m−nm+n，
OQ= 12+(2m+n)2= m2+2mn+n2+4(m+n)2= (m−n)2(m+n)2=m−nm+n，
∴PQ=OQ；
②当m<0(m≠−1)时，如图3，
∴n>0，m−n<0，m+n<0，−2nm+n>0，
同理得：PQ=−2nm+n−(−1)=m−nm+n，
OQ= 12+(2m+n)2= m2+2mn+n2+4(m+n)2= (m−n)2(m+n)2=m−nm+n，
∴PQ=OQ．
(1)①根据对称性可得点A的坐标；
②根据待定系数法可求得OM和AN的解析式，联立方程可得点P的坐标；
(2)由(1)知：点P的横坐标为x=−2nm+n，根据n=−2m，可得x=−4，由已知△ONP的面积为12，列等式可得MN的长，从而得结论；
(3)先表示P和Q的坐标，分两种情况：①当m>0(m≠1)时，如图2，②当m<0(m≠−1)时，如图3，分别计算PQ和OQ的长可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，两点的距离等知识，解题的关键是会用参数表示点的坐标，线段的长，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年福建省厦门市思明区重点中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若 x+1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−1 B. x≥0 C. x≥−1 D. 任意实数
2. 下列各点在一次函数y=3x−2的图象上的是( )
A. (2,3) B. (0,3) C. (−3,0) D. (3,7)
3. 下列说法中不正确的是( )
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4. 关于x的方程x2−kx+9=0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A. 9 B. 6 C. ±9 D. ±6
5. 某园林公司购进某种树苗，为了解该种树苗的移植成活率，现对购进的第一批树苗进行随机抽样并统计，结果如图所示．
若该公司第二批还需移植成活1800棵该种树苗，根据统计结果，则第二批树苗购买量较为合理的是( )
A. 1620棵 B. 1800棵 C. 2000棵 D. 2093棵
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P(1,2)，则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集为( )
A. x>1 B. x>2 C. x<2 D. x<1
7. 某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( )
A. 150 B. 200m2 C. 250m2 D. 300m2
8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=AB=10，则AE的长为( )
A. 10 B. 10 5 C. 10 3 D. 5 3
9. 两年前生产1组疫苗的成本是5000元，随着生产技术的进步，若疫苗成本的年平均下降率为x，则现在生产1组疫苗的成本比去年生产1组疫苗的成本减少(单位：元)( )
A. 5000x B. 5000(1−x) C. 5000(1−x)2 D. 5000x−5000x2
10. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A(1,a)，B(b,3)，C(b+t,3)，其中2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 化简：(1) 4=______；(2) 23=______．
12. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2=1.2，S乙2=2.5，则两人成绩比较稳定的是______ (填“甲”或“乙”)．
13. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______．
14. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，设航空公司共有x个飞机场，列方程______．
15. 如图，已知一条直线经过点A(0,2)、点B(1,0)，将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为______．
16. 在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)，EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N.下面四个推断：
①EF=MN；
②EN//MF；
③若平行四边形ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；
④对于任意的平行四边形ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．
其中正确的结论是______；(写出所有正确结论的序号)．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1) 18+ 12− 8− 27；
(2)( 5−2)⋅( 5+2)+( 5−1)2．
18. (本小题8.0分)
解方程：
(1)(x+1)2=16；
(2)2x2−5x+3=0．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,0)，点B(0,1)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标．
20. (本小题8.0分)
在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4，现从中随机抽取一个(不放回)，再从剩下的3个中随机抽取第二个小球．
(1)用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
(2)计算取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF//DE，EF//DB．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)连接DF交BC于点M，若BE=4，AC=2 5，求DM的长．
22. (本小题10.0分)
“双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间.某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示．
进价
售价
乒乓球拍(元/套)
35
a
羽毛球拍(元/套)
40
b
某班甲体育小组购买2套乒乓球拍和1套羽毛球拍共花费160元，乙体育小组购买1套乒乓球拍和2套羽毛球拍共花费170元．
(1)求出a，b的值；
(2)根据销售情况，商店决定再次购进300套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半.若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？
23. (本小题10.0分)
表一：参展的车辆情况．“双碳”背景下，新能源和低碳技术的价值链将成为重中之重，新能源汽车在主流的大众消费群体中越来越受欢迎．某市会展中心正在举行一场新能源汽车的车展活动，此次车展共有三十几种不同品牌的新能源汽车参展，根据不同续航里程可以将这些车分成六类，参展的每一类车辆数如表一：
续航里程x
(单位：公里)
x≤400
400
数量(单位：辆)
40
120
132
95
68
45
秦先生去参加了这次车展活动，他比较看重新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数．秦先生根据汽车鉴定评估机构发布的不同类型汽车的评估结果了解到，续航里程评分规则如下：续航里程达到400公里可得基本分70分，续航里程每增加25公里得分增加1分(增加不足25公里的忽略不计).智能化水平分为一般、良好、优秀，分别可得80分、90分、100分．百公里加速得评分规则如图：
(1)秦先生随机选择了一辆车了解车辆信息，记事件A为：选择的是续航里程超过500公里的车辆．求事件A的概率；
(2)新能源汽车的续航里程、百公里加速、智能化水平等三个方面的参数，在秦先生心目中的重要程度分别占50%，20%，30%，秦先生看中了售价一样的甲、乙两款车，这两款车的三项性能如表二．
表二：甲、乙两款车型的三项性能表．
续航里程(单位：公里)
百公里加速(单位：s)
智能化水平
甲车
700
2.70
优秀
乙车
650
1.69
良好
根据所学的统计与概率的知识，你认为秦先生应选择哪一款汽车比较合适？请说明理由．
24. (本小题12.0分)
已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2．
(1)如图1，当DG=2，且点F在边BC上时，求证：
①△AHE≌△DGH；
②菱形EFGH是正方形．
(2)如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由．
25. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点M(−1,m)，N(−1,n)，原点O关于直线MN的对称点为A，直线OM，AN交于点P．
(1)填空：①点A的坐标是______；②当m=1，n=−2时，点P的坐标为______；
(2)连接ON，若n=−2m，△ONP的面积为12，求m的值；
(3)过点P作MN的垂线，垂足为Q，连接OQ，若mn=−1(m≠±1)，求证：PQ=OQ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥−1，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：当x=2时，y=3x−2=4，点(2,3)不在一次函数y=2x的图象上；
当x=0时，y=3x−2=−2，
所以点(0,3)不在一次函数y=3x−2的图象上；
当x=−3时，y=3x−2=−11，
点(−3,0)不在一次函数y=3x−2的图象上；
当x=3时，y=3x−2=7，
所以点(3,7)在一次函数y=3x−2的图象上．
故选：D．
代入各选项中点的横坐标，求出y值，对比后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键，
3.【答案】D
【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不合题意；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，符合题意．
故选：D．
直接利用正方形的判定方法以及平行四边形、菱形、矩形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了正方形以及平行四边形、菱形、矩形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵关于x的方程x2−kx+9=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−k)2−4×9=0，
解得：k=±6．
故选：D．
利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0，方程没有实数根．
5.【答案】C
【解析】解：由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定．
当移植总数为550时，成活率为0.9，于是可以估计树苗移植成活率为0.9，
则该市需要购买的树苗数量约为：1800÷0.9=2000(棵)．
故选：C．
利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案．
此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P(1,2)，
所以，不等式kx+b>mx+n的解集为x<1．
故选：D．
观察函数图象得到，当x<1时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b>mx+n的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】B
【解析】解：设t≥2时，绿化面积S与工作时间t之间的函数解析式为S=kt+b，
将(4,1000)，(5,1300)代入得：
4k+b=10005k+b=1300，
解得：k=300b=−200，
∴S=300x−200，
即工作2小时，该绿化组完成的绿化面积是400m2．
∴则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是4002=200m2．
故答案选：B．
从图象中获取信息，利用待定系数法求解．
本题主要考查了一次函数的图象与应用，通过利用待定系数法和观察图象来解题．
8.【答案】C
【解析】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：
由题意可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=12BF=5，
在Rt△AOB中，OA= AB2−OB2= 102−52=5 3，
∴AE=2OA=10 3．
故选：C．
设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得，
5000(1−x)−5000(1−x)2=5000x−5000x2．
故选：D．
疫苗成本的年平均下降率为x，则去年生产1组疫苗的成本为5000(1−x)元，今年在5000(1−x)元的基础之上又下降x，变为5000(1−x)(1−x)，即5000(1−x)2元，今年减去年即可求出成本减少多少．
本题考查一元二次方程实际问题中的增长率问题，解题的关键是读懂题意，分别找出去年和今年生产1组疫苗所需的成本．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴b+b+t2=1，
整理得：b=1−t2，
∵2
故选：C．
根据等腰三角形三线合一可得点A在BC的垂直平分线上，则b=1−t2，即可求出b的取值范围．
本题主要考查了等腰三角形的性质，不等式的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，以及不等式的性质，平面直角坐标系中各个象限内点的坐标特征．
11.【答案】2 63
【解析】解：(1) 4= 22=2；
故答案为：2．
(2) 23= 2 3= 2× 3 3× 3= 63．
故答案为： 63．
(1)由22=4，根据二次根式的性质化简即可；
(2)先变形 23= 2 3，然后根据二次根式的性质分母有理化即可．
本题考查了非负数的平方根的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，①双重非负性；②任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；③算术平方根的意义．
12.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=1.2,S乙2=2.5，
1.2<2.5，
∴成绩较为稳定的运动员是甲，
故答案为：甲．
根据方差越小成绩越稳定，即可求解．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】y=−2x(答案不唯一)
【解析】解：∵正比例函数的一般形式为y=kx，并且y随x的增大而减小，
∴答案不唯一：y=−2x、y=−3x等．
由于正比例函数的一般形式为y=kx，并且y随x的增大而减小，所以k是一个负数，由此可以确定函数的表达式．
此题是一个开放性试题，答案不唯一，主要利用正比例函数的性质即可解决问题．
14.【答案】12x(x−1)=10
【解析】解：设共有x个飞机场．
12x(x−1)=10．
故答案为：12x(x−1)=10．
根据每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：12飞机场数×(飞机场数−1)=10，把相关数值代入求正数解即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程；得到飞行总航线与飞机场数的等量关系是解决本题的关键．
15.【答案】y=−2x−2
【解析】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(0,2)、点B(1,0)代入，得b=2k+b=0，
解得k=−2b=2，
故直线AB的解析式为y=−2x+2；
将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC，
∴DO垂直平分BC，
∴OC=OB，
∴点C的坐标为(−1,0)，
∵直线CD由直线AB平移而成，平移后的图形与原图形平行，
∴可设平移以后的函数解析式为：y=−2x+m，
将点C(−1,0)代入得，0=−2×(−1)+m，
∴m=−2，
∴平移以后的函数解析式为：y=−2x−2．
故答案为：y=−2x−2．
先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
16.【答案】②
【解析】解：如图1，∵O为▱ABCD对角线AC的中点，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
同理可得：AM=CN，
∴AM−AE=CN−CF，即EM=FN，
又∵EM//FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EN=MF，EN//MF，OE=OF，OM=ON，
故结论①不正确，结论②正确；
若平行四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)，
∴∠EOM<90°，
∴四边形EMFN不可能是菱形，
故结论③不正确；
如图2，当∠ACB≥90°时，四边形ENFM不可能是矩形，
故结论④不正确；
故答案为：②．
由“ASA”可证△EAO≌△FCO，可得△EAO≌△FCO，可证四边形EMFN是平行四边形，可得EN//MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④不正确，即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形ENFM是菱形是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 18+ 12− 8− 27
=3 2+2 3−2 2−3 3
= 2− 3；
(2)( 5−2)⋅( 5+2)+( 5−1)2
=5−4+6−2 5
=7−2 5．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵(x+1)2=16，
∴x+1=4或x+1=−4，
解得x1=3，x2=−5；
(2)∵2x2−5x+3=0，
∴(x−1)(2x−3)=0，
则x−1=0或2x−3=0，
解得x1=1，x2=32．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设直线AB的解析式：y=kx+b，
将点A(−2,0)，点B(0,1)代入，
得−2k+b=0b=1，
解得k=12b=1，
∴直线AB的解析式：y=12x+1；
(2)∵点C到x轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或−2，
代入直线AB的解析式，得2=12x+1或−2=12x+1，
解得x=2或x=−6，
∴C(2,2)或(−6,−2)．
【解析】(1)待定系数法求解析式即可；
(2)根据题意，可得点C纵坐标为2或−2，将点C纵坐标代入直线AB的解析式求出点C横坐标，即可确定点C坐标．
本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
20.【答案】解：(1)画树形图如下：
由以上可知共有12种可能结果分别为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，
∴取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率为212=16．
【解析】(1)画树状图，即可得出结论；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)∵BF//DE，EF//DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//AC，
∴∠DEB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠DBE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴BD=DE，
∴四边形BDEF为菱形．
(2)连接AE，
∵AB=AC=2 5，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABE中，A=2 5，BE=4，
由勾股定理得：AE= AB2−BE2=2，
由(1)知：四边形BDEF为菱形，
∴BM=EM，
又点D为AB的中点，
∴DM为△ABE的中位线，
∴DM=12AE=1．
【解析】(1)首先根据BF//DE，EF//DB可判定四边形BDEF是平行四边形，再证DE为△ABC的中位线，从而得∠DEB=∠C，然后根据等腰三角形的性质得∠C=∠DBE，据此，可得出BD=DE，进而可得出结论；
(2)连接AE，根据等腰三角形的性质得AE⊥BC，可在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE，然后证DM为△ABE的中位线，进而可得DM的长．
此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合(三线合一)；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
22.【答案】解：(1)根据题意得：2a+b=160a+2b=170，
解得：a=50b=60，
答：a、b的值分别是50元、60元；
(2)设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍(300−x)套．总利润为y元，
由题意得：x≥12(300−x)，
解得：x≥100，
∵y=(50−35)x+(60−40)(300−x)
=−5x+6000，
∵−5<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y最大，且最大值为：−5×100+6000=5500(元)，
此时300−x=200，
答：购进乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大，最大利润为5500元．
【解析】(1)根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费160元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费170元，列出方程组，解方程组即可；
(2)根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的12求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．
23.【答案】解：(1)由表一可知总共有500辆车，续航里程超过500公里的车有340辆，
∴P(A)=340500=1725．
(2)甲车的续航里程评分为700−40025+70=82，百公里加速得评分为90，智能化水平得分为100，
∴甲车的平均分为(82×50%+90×20%+100×30%)÷100%=89(分)，
乙车的续航里程评分为650−40025+70=80，百公里加速得评分为100，智能化水平得分为90，
∴乙车的平均分为(80×50%+100×20%+90×30%)÷100%=87(分)，
∴秦先生应选择甲款汽车比较合适．
【解析】(1)利用随机事件A的概率公式求解即可；
(2)求出甲乙的加权平均数比较即可．
本题考查了概率公式和加权平均数的计算．在计算过程中要弄清楚各数据的权是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=HG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG(HL)；
②∵△AEH≌△DHG，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：点F到直线CD的距离不发生变化．理由如下：
作FM⊥DC交DC的延长线于M，如图2，过点F作FN//DM，
∵正方形ABCD中AB//CD，
∴FN//AB，
∴∠FGC=∠GFN，∠EFN=∠BEF，
∵四边形EFGH是菱形，
∴∠HEF+∠GFE=180°，
即∠GFN+∠EFN+∠HEF=180°，
又∠BEF+∠AEH+∠HEF=180°，
∴∠FGC=∠AEH，
在△AEH与△MGF中，
∠A=∠M=90°∠FGM=∠AEHHE=GF，
∴△AEH≌△MGF(AAS)，
∴FM=AH，
∵AH=2，
∴FM=2，是定值不变．
【解析】(1)由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，利用HL证明Rt△AEH≌Rt△DHG；
②由全等三角形的性质得出∠DHG=∠AEH，等量代换可得∠DHG+∠AHE=90°，即可证四边形EFGH为正方形；
(2)过点F作FN//DM，根据平行公理可得FN//AB，根据平行线的性质可以得到∠FGM=∠GFN，∠EFN=∠BEF，再根据菱形的邻角互补以及平角等于180°可以求出∠FGM=∠AEH，然后证明△AEH与△MGF全等．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
25.【答案】(−2,0) (−4,4)
【解析】(1)解：①∵点M(−1,m)，N(−1,n)，
∴直线MN的解析式为：x=−1，
∵原点O关于直线MN的对称点为A，
∴A(−2,0)；
故答案为：(−2,0)；
②设OM的解析式为：y=kx，
∴−k=m，
∴k=−m，
∴OM的解析式为：y=−mx，
设AN的解析式为：y=k1x+b，
∴−2k1+b=0−k1+b=n，
解得：k1=nb=2n，
∴AN的解析式为：y=nx+2n，
∵nx+2n=−mx，
∴x=−2nm+n，
当m=1，n=−2时，点P的坐标为(−4,4)；
故答案为：(−4,4)；
(2)解：由(1)知：点P的横坐标为x=−2nm+n，
∵n=−2m，
∴x=−−4mm−2m=−4，
如图所示，
∵△ONP的面积为12，
∴S△OMN+S△MNP=12，
∴12×MN×4=12，
∴MN=6，
∴|m−n|=|m+2m|=6，
∴3m=±6，
∴m=±2；
(3)证明：由(1)知：点P的横坐标为x=−2nm+n，
∴P(−2nm+n,−2 m+n)，
∵PQ⊥MN，
∴Q(−1,−2m+n)，
∵mn=−1，
∴m≠0，n≠0，
分两种情况：
①当m>0(m≠1)时，如图2，
∵mn=−1，
∴n<0，m−n>0，
∴−2nm+n>0，
∴PQ=−2nm+n−(−1)=m−nm+n，
OQ= 12+(2m+n)2= m2+2mn+n2+4(m+n)2= (m−n)2(m+n)2=m−nm+n，
∴PQ=OQ；
②当m<0(m≠−1)时，如图3，
∴n>0，m−n<0，m+n<0，−2nm+n>0，
同理得：PQ=−2nm+n−(−1)=m−nm+n，
OQ= 12+(2m+n)2= m2+2mn+n2+4(m+n)2= (m−n)2(m+n)2=m−nm+n，
∴PQ=OQ．
(1)①根据对称性可得点A的坐标；
②根据待定系数法可求得OM和AN的解析式，联立方程可得点P的坐标；
(2)由(1)知：点P的横坐标为x=−2nm+n，根据n=−2m，可得x=−4，由已知△ONP的面积为12，列等式可得MN的长，从而得结论；
(3)先表示P和Q的坐标，分两种情况：①当m>0(m≠1)时，如图2，②当m<0(m≠−1)时，如图3，分别计算PQ和OQ的长可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，两点的距离等知识，解题的关键是会用参数表示点的坐标，线段的长，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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