全国名校2023届高三下学期联考（三）数学（文）试卷（含答案）

这是一份全国名校2023届高三下学期联考（三）数学（文）试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全国名校2023届高三下学期联考（三）数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知,则( )
A. B. C.1 D.
2、已知集合,则( )
A. B.
C. D.
3、甲、乙两人进行射击比赛,分别对同一目标各射击10次,其成绩(环数)如下:
甲的环数
7
7
10
6
10
8
7
9
7
9
乙的环数
7
8
8
9
8
7
7
9
8
9
下列说法正确的是( )
A.甲的平均数大于乙的平均数
B.甲的中位数等于乙的中位数
C.甲、乙的众数都是 7
D.乙的成绩更稳定
4、已知a,b为单位向量, 若, 则( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
5、已知,其中,则( )
A.-1 B.49 C. D.
6、设a,b为正数,且,则( )
A. B. C. D.
7、已知直线a,b,c两两异面, 且,下列说法正确的是( )
A.存在平面,使 ,且 ,,
B.存在平面,使,且,,
C.存在唯一的平面,使,且a,b与所成角相等
D.存在平面, 使,且
8、我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车.在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车, 列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R,且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触, 若该列车行驶了距离s,则此时P到铁轨上表面的距离为
A. B. C. D.
9、过坐标原点的直线l与圆 相交,且将该圆分成的两段弧长之比为,则l的斜率为( )
A. B.
C.或 D.或
10、记为等差数列的前n项和,若,则( )
A. B.
C. D.
11、已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线交C的左、右半支分别 于点P,Q.若P为线段的中点,且是等腰三角形,则C离心率为( )
A. B. C. D.
12、上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上,若三棱台的高为 ,上、下底面边长分别为,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、定义域为R的奇函数满足当时,.若,则____________.
14、记为数列的前n项和,若,则_____________.
15、已知正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,则多面体的体积为______________.
16、已知O为坐标原点,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点.若D为线段AB的中点,且,则_________.
三、解答题
17、在中,,.
(1)求;
(2)设D为边AB的中点, 若,求的面积.
18、某中学为了调查学生每周运动时长, 随机从全校男生和女生中各抽取了90名学生进行问卷调查, 并对每周 不同运动时长所对应的人数进行了统计, 得到如下数据:

每周平均运动时长少于 7 小时
每周平均运动时长不少于 7 小时
男生
45
45
女生
60
30
(1)能否有99%的把握认为男生与女生每周平均运动时长有差异?
(2)若一所学校全体学生每周平均运动时长不少7小时的人数占比高于,则该校为体育运动达标校. 已知该中学有男生800名,女生600名, 该中学是否为体育运动达标校?并说明理由.
附：

0.010
0.010
0.001

6.635
6.635
10.828
19、如图,在直三棱柱中,，D为的中点,E为AB上一点,且.

(1)证明:平面;
(2)若,求点D到平面的距离.
20、已知函数.
(1)当时, 求的单调区间;
(2)证明:不可能是的极值点.
21、已知椭圆的右焦点为F,上顶点为B,点,且.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线交C于M,N两点,若 ,求的面积.
22、在直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
23、已知函数,且，.证明:
(1);
(2).
参考答案
1、答案：B
解析：，，
2、答案：D
解析：,所以
3、答案：D
解析：甲、乙的平均数都是8，故A错误；甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故B
错误；乙的众数是8，故C错误；乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故D正确.
4、答案：A
解析：因为a,b为单位向量,所以,
所以,.
5、答案：C
解析：因为,其中,所以,
,所以.
6、答案：D
解析：,因为函数俚调递增,所以
7、答案：D
解析：只有当时才存在平面,使,且,，故A错误; 若存在平面,使,且,则此时与不平行,故B错误;存在两个平面,使,且a,b与所成角相等,故C错误;存在平面,使,且,故D正确.
8、答案：C
解析：当列车行驶的距离为s时,车轮转过的角度为,此时P到铁轨上表面的距离为.
9、答案：B
解析：圆心坐标为,半径为2,因为l将该圆分成的两段弧长之比为,则两段弧所对的圆心角分别为和,由几何性质可知,圆心到l的距离为1,设l的方程为,则,.
10、答案：D
解析：,因为,所以,的符号不确定, 而,所以,的符号不确定;,若,则,设公差为d,则,所以.
11、答案：B
解析：如图,设,由双曲线的定义可知,

显然若,即,
则,,，不合题意;
若,即,
则,满足条件.过作,垂足为H,
则H为线段PQ的中点,由几何关系可知,
设C的焦距为,由几何关系可知,
所以,所以C的离心率为.
12、答案：A
解析：设三棱台为 ,其中是下底面,是上底面,点O,分别为,的中心,则,,,为边长为2的等边三角形,该球的球心为线段的一条垂直平分线与的交点, 由几何关系可知与O重合,所以球半径,所以体积为.
13、答案：4
解析：因为是定义域为R的奇函数, 且,所以,因为当时,,所以是图像的对称轴,所以,即当时,,所以.
14、答案：
解析：因为,所以,当 时,,所以对于,所以，.
15、答案：
解析：所求体积为
16、答案：
解析：设,，显然当直线AB垂直于x轴时,D与F重合,此时不满足条件,所以可设直线AB的方程为,代入C的方程有, ,所以,,
所以,解得,由抛物线的几何性质可知,,所以.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由正弦定理可知,
由余弦定理可知.解得,
又因为,
所以由正弦定理可知.
(2)由(1)可知,,
由余弦定理可知,
所以,
所以由(1)及三角形面积公式可知
18、答案：(1)没有的把握认为学生每周平均运动时长与性别有差异
(2)该校为体育运动达标校
解析：(1)根据列联表得:,
所以没有的把握认为学生每周平均运动时长与性别有差异.
(2)男生中每周平均运动时长不少于7小时的比率为,女生中每周平均运动时长不少于7小时的比率为, 所以全校学生中运动时长不少于7小时的人数为 人,所以全校学生中运动时长不少于7小时的占比为 , 高于,所以该校为体育运动达标校.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)如图,连接BD交于点F,连接EF,因为四边形为矩形,且D为的中点,
所以,
又因为,
所以,
因为平面,平面 ,
所以平面.
(2)易知点D到平面的距离等于点B到平面的距离的一半,
过B作,垂足为G,
连接,过B作 ,垂足为H,
因为平面ABC, 平面ABC,
所以,
又因为,平面平面,平面,
所以平面,
所以平面,即线段BH为点B到平面的距离.
因为,,
所以,
由几何关系可知,
所以,
由几何关系可知,
所以, 故点D到的距离为.
20、答案：(1)的单调递增区间是，没有单调递减区间
(2)见解析
解析：(1)当时,,
所以,
设,则,
当时,，单调递减,
当时,，单调递增,
所以,
所以的单调递增区间是，没有单调递减区间.
(2)根据题意有,
若是的极值点, 则,即,
当时,,
设,则,
当时,，，，单调递增,
所以当时, ，单调递增,
当时,，，，单调递减,
所以当时,，单调递增,
所以不是的极值点.
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)根据题意有,,设,因为,故 轴,且当时,F在线段BP的垂直平分线上,所以,根据椭圆的几何性质可知,
所以C的方程为.
(2)设,当轴时,显然BM与BN不垂直.
当MN与x轴不垂直时,设MN的方程为,
代入C的方程有:
所以,
,
当时, ,
整理有,
将,
代入上式有,
整理并化简有,
解得或.
当 时,MN的方程为, 此时直线过点B,不合题意,
当 时,MN的方程为,,
点到MN的距离为,
,
所以.
22、答案：(1)
(2)
解析：(1)C的普通方程为 ,
其中，

所以l的直角坐标方程为.
(2)设C上的点到l距离为d, 由(1)可知,
当 时,等号成立.
所以C上的点到l距离的最小值为.
23、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)根据题意有 ,，
所以,即,①
,即，②
由①可知,
①+②有,即,
由①可知,,③
②+③有, 即 ,
综上,.
(2)由②,③可知, ，
,
所以.
且有,即,
所以,即.