2022-2023学年上海市黄浦区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市黄浦区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在 8，73，3.14，−2π，327中，有理数个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 下列运算中一定正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. − (−5)2=5
C. |1− 2|= 2−1D. a2=a
3. 现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 如图，下列说法中错误的是( )
A. ∠GBD和∠HCE是同位角
B. ∠ABD和∠ACH是同位角
C. ∠FBC和∠ACE是内错角
D. ∠GBC和∠BCE是同旁内角
5. 在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是( )
A. (3,−4)B. (−3,4)C. (4,−3)D. (−4,3)
6. 如图，点P是AB上任一点，∠ABC=∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A. BC=BDB. ∠ACB=∠ADB
C. AC=ADD. ∠CAB=∠DAB
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 16的平方根是______ ．
8. 比较大小：−2 5 ______−3 2(填“>”“<”或“=”)．
9. 2022年上海常住人口约为24758900人，用科学记数法表示24758900并保留三位有效数字______ ．
10. 计算：(23)23×1813= ______ ．
11. 如果点P(m+1,2m−3)在x轴上，则点P的坐标是______ ．
12. 直角坐标平面内点( 2,1)向左平移3个单位得到的点的坐标为______ ．
13. 如图，在△BDE中，∠E=90°，AB/​/CD，∠ABE=20°，则∠EDC= ______ ．
14. 将一副三角板如图所示摆放(其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上)，那么图中∠α=______度．
15. 如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件使△AEH≌△CEB.你添加的条件是______ ．
16. 已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，若OP=5，则P1P2=______．
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，AB=4 2，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，则△DEB的周长是______ ．
18. 如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 利用幂的性质进行计算(写出计算过程)：316× 8÷632．
四、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
计算(写出计算过程)：3÷ 3−2712+(1 3)−2−( 3+2)0．
21. (本小题6.0分)
计算：(3 2−2 3)× 3+( 2− 3)2．
22. (本小题6.0分)
阅读并填空：
如图，△BC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上，且联接DE交BC于O，如果OE=OD，那么CD=BE，为什么？
解：过点E作EF/​/AC交BC于F，
所以∠ACB=∠EFB(两直线平行，同位角相等)，
∠D=∠OEF(______ )，
在△OCD与△OFE中，
∠ COD=∠FOEOD=OE(已知)∠D=∠OEF(已知)，( )
所以△OCD≌OFE，(______ )，
所以CD=FE(______ )，
因为AB=AC(已知)，
所以∠ACB=∠B(______ )，
所以∠EFB=∠B(等量代换)，
所以BE=FE，
所以CD=BE．
23. (本小题6.0分)
如图，已知在△ABC中，∠ABC=45°，AD是△ABC的高，点E在边AC上，BE与AD交于点F，且DF=DC，试说明BE⊥AC．
解：∵AD是△ABC的高(已知)
∴∠ADB=∠ADC=90°(垂直的意义)
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，∠ABC=45°
∴∠ ______ =∠ABD=45°
∴BD=AD．
在△BDF和△ADC中
(请继续完成以下说理过程)
24. (本小题6.0分)
如图，在直角坐标平面内，已知点A(0,4)、B(−2,−3)、C(2,−3)．
(1)点C关于原点对称的点C′的坐标是______ ；
(2)△ABC′的面积是______ ；
(3)在x轴负半轴上找一点D，使S△DBC′=S△ABC′，则点D坐标为______ ．
25. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC的延长线上，AD=AE，∠CDE=30°．
(1)如果设∠B=x0，用含x的代数式来表示∠E，并说明理由；
(2)求∠BAD的度数．
26. (本小题7.0分)
如图，已知△ABC，∠ACB=90°，D是AB上一点，AD=BD=CD，过B作BE⊥CD，交CD
于点F．
(1)说明∠A=∠EBC的理由；
(2)如果AC=2BC，猜想BE与CD的数量关系，并证明你的猜想．
27. (本小题8.0分)
如图，在直角坐标平面内，已知点A(−4,3)、B(3,4)，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点D、E．
(1)说明OA⊥OB的理由；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上找到点P，使△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在 8，73，3.14，−2π，327中，有理数有73，3.14，327，共有3个，
故选：C．
根据有理数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了实数，熟练掌有理数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A． 2与 3不是同类二次根式，无法合并，
则A不符合题意；
B.原式=−[−(−5)]=−5，
则B不符合题意；
C.原式=−(1− 2)= 2−1，
则C符合题意；
D.当a≤0时， a2=−a，
则D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的运算法则和性质，绝对值的性质将各项计算后进行判断即可．
本题考查二次根式的运算及性质，绝对值的性质，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】解：四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和2，5，6和3，5，6；
只有2，5，6和3，5，6能组成三角形．
故选：B．
从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；注意情况的多解和取舍．
4.【答案】A
【解析】解：A、∠GBD和∠HCE不符合同位角的定义，故说法错误，符合题意；
B、∠ABD和∠ACH是同位角，故说法正确，不符合题意；
C、∠FBC和∠ACE是内错角，故说法正确，不符合题意；
D、∠GBC和∠BCE是同旁内角，故说法正确，不符合题意；
故选：A．
根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形判断．
本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，属于基础题，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定义和形状，是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点A在第二象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点A的横坐标是−4，纵坐标是3，
∴点A的坐标为(−4,3)．
故选：D．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、补充BC=BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
B、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误．
C、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故此选项正确；
D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；
故选：C．
根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．
此题主要考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS.注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
7.【答案】±4
【解析】解：∵42=16，(−4)2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
由平方根的定义可得答案．
本题主要考查了平方根的定义．本题的易错点是忽略−4这个答案．
8.【答案】<
【解析】解：∵(2 5)2=20，(3 2)2=18，
∴20>18，
∴2 5>3 2，
∴−2 5<−3 2，
故答案为：<．
利用平方运算比较2 5与3 2的大小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
9.【答案】2.48×107
【解析】解：24758900≈2.48×107．
故答案为：2.48×107．
先用科学记数法表示数，再保留三个有效数字即可．
本题考查了科学记数法与有效数字，能正确用科学记数法表示数是解此题的关键，从左边第一个不为0的数字起，到这个数末尾为止，所有的数字都叫有效数字．
10.【答案】2
【解析】解：由题意得，
(23)23×1813=[(23)2]13×1813=(49)13×1813=(49×18)13=813=(23)13=2．
故答案为：2．
依据题意，逆用幂的乘方的法则进行变形可以得解．
本题主要考查了分数指数幂的意义，解题时要熟练掌握并理解．
11.【答案】(52,0)
【解析】解：∵点P(m+1,2m−3)在x轴上，
∴2m−3=0，
∴m=32，
∴m+1=52，
∴点P的坐标是(52,0)，
故答案为：(52,0)．
根据x轴上的点的纵坐标为0可求出m的值，然后把m的值代入横坐标进行计算，即可得出点P的坐标
本题考查了点的坐标，利用x轴上的点的纵坐标为0得出m的值是解题的关键．
12.【答案】( 2−3,1)
【解析】解：把点( 2,1)向左平移3个单位得到的点的坐标为( 2−3,1)．
故答案为：( 2−3,1)．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13.【答案】70°
【解析】解：∵∠E=90°，
∴∠EBD+∠EDB=90°，
∵AB/​/CD，
∴∠EDC=180°−(∠EBD+∠EDB)−∠ABE=180°−90°−20°=70°．
故答案为70°．
根据直角三角形两锐角互余可得∠EBD+∠EDB=90°，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14.【答案】75
【解析】解：∵∠1=45°，∠2=60°，
∴∠α=180°−45°−60°=75°，
故答案为75．
根据三角形的内角和为180°，即可得出∠α的度数．
本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．
15.【答案】AH=CB或EH=EB或AE=CE
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°−∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°−∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°−∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故答案为：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OB、OA的对称点分别为P1、P2，
∴OP=OP1=OP2=5，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=5．
故答案为：5．
根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解
此题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
17.【答案】4 2
【解析】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
AD=ADDE=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB=4 2．
故答案为：4 2．
先根据角平分线的性质得到DC=DE，再证明Rt△ADE≌Rt△ADC得到AE=AC，则BC=AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长=AB．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
18.【答案】8
【解析】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°，
在△ABD和△AED中，
∠BAD=∠EADAD=AD∠BDA=∠EDA，
∴△ABD≌△AED(ASA)，
∴BD=ED，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ABC═2S△ADC=2×4=8，
故答案为：8．
延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ABC=2S△ADC．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．
19.【答案】解：原式=243×232÷256=243+32−56=22=4．
【解析】先把开方运算表示成分数指数幂的形式，再根据同底数乘法、除法法则计算即可．
本题考查了分数指数幂．解题的关键是知道开方和分数指数幂之间的关系．
20.【答案】解：原式= 3−3 3+3−1
=−2 3+2．
【解析】求出3÷ 3= 3，27 12= 27=3 3，(1 3)−2=3，( 3+2)0=1，再代入求出即可．
本题考查了分数指数幂，零指数幂，负整数指数幂等知识点，注意考查学生的计算能力．
21.【答案】解：(3 2−2 3)× 3+( 2− 3)2
=3 6−6+2−2 6+3
= 6−1．
【解析】根据乘法分配律和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
22.【答案】两直线平行，内错角相等 ASA 全等三角形的对应边相等 等边对等角
【解析】解：过点E作EF/​/AC交BC于F，
所以∠ACB=∠EFB(两直线平行，同位角相等)，
∠D=∠OEF(两直线平行，内错角相等)，
在△OCD与△OFE中，∠COD=∠FOE(对顶角相等)OD=OE(已知)∠D=∠OEF(已知)，
所以△OCD≌OFE(ASA)，
所以CD=FE(全等三角形的对应边相等)，
因为AB=AC(已知)，
所以∠ACB=∠B(等边对等角)，
所以∠EFB=∠B(等量代换)，
所以BE=FE，
所以CD=BE．
故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；ASA；全等三角形的对应边相等；等边对等角．
证△OCD≌OFE(ASA)，得出CD=FE，由等腰三角形的性质得出∠ACB=∠B，证出∠EFB=∠B，得出BE=FE，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】BAD
【解析】解：∵AD是△ABC的高(已知)，
∴∠ADB=∠ADC=90°(垂直的意义)，
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴BD=AD．
在△BDF和△ADC中，
BD=AD∠BDF=∠ADCDF=DC，
∴△BDF≌△ADC(SAS)，
∴∠DBF=∠DAC，
∴∠C+∠DBF=∠C+∠DAC=90°，
∴∠CBE=90°，
∴BE⊥AC，
故答案为：BAD．
先证明∠BAD=∠ABD，得BD=AD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BDF≌△ADC，得∠DBF=∠DAC，则∠C+∠DBF=∠C+∠DAC=90°，所以∠CBE=90°，则BE⊥AC，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△BDF≌△ADC是解题的关键．
24.【答案】(−2,3) 6 (−4,0)
【解析】解：(1)点C关于原点对称的点C′的坐标是(−2,3)，
故答案为：(−2,3)；
(2)△ABC′的面积是12×6×2=6；
故答案为：6；
(3)∵S△DBC′=S△ABC′，
∴点D到BC′的距离为2，
∵点D在x轴负半轴上，
∴点D坐标为(−4,0)．
故答案为：(−4,0)．
(1)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；
(2)直接利用三角形的面积进行计算即可；
(3)先求出AD的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了关于原点对称，三角形的面积，熟练掌握关于原点对称的坐标特征是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设∠B=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=x°，
∵D，E在BC，AC延长线上，
∴∠ACB=∠DCE=x°，
∴∠E=180°−x°−30°=150°−x°；
(2)∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=150°−x°，
∵∠EAD=180°−2(150°−x°)，
∵AB=AC，
∵∠BAC=180°−2x°，
∴∠BAD=∠BAC+∠EAD=180°−2x°+180°−300°+2x°=60°．
【解析】设∠B=x°，用含x的代数式表示∠BAC，∠EAD，再相加即可求解．
考查了等腰三角形的性质，本题较复杂，要利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答．
26.【答案】(1)证明：∵BE⊥CD，
∴∠BFC=90°，
∴∠EBC+∠BCF=180°−∠BFC=90°，
∵∠ACB=∠BCF+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠ACD，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠A=∠EBC；
(2)解：CD=BE．
证明：过点D作DG⊥AC于点G，

∵DA=DC，DG⊥AC，
∴AC=2CG，
∵AC=2BC，
∴CG=BC，
∵∠DGC=90°，∠ECB=90°，
∴∠DGC=∠ECB，
在△DGC和△ECB中，
∠DGC=∠ECBCG=BC∠DCG=∠EBC，
∴△DCG≌△EBC(ASA)，
∴CD=BE．
【解析】(1)证得∠EBC=∠ACD，∠A=∠ACD，则结论可得出；
(2)过点D作DG⊥AC于点G，根据ASA证明△DCG≌△EBC，可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．
27.【答案】解：(1)∵点A(−4,3)、B(3,4)，
∵OD=4，AD=3，OE=3，BE=4，
∴OD=BE=4，AD=OE=3，
∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∴△ADO≌△OEB(SAS)，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠BEO=90°，
∴∠OBE+∠BOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠AOB=180°−(∠AOD+∠BOE)=90°，
∴AO⊥OB；
(2)在Rt△ADO中，AD=3，OD=4，
∴AO= AD2+OD2= 32+42=5，
∵△ADO≌△OEB，
∴OA=OB=5，
∵OA⊥OB，
∴△AOB的面积=12AO⋅OB
=12×5×5
=252，
∴△AOB的面积为252；
(3)∵点P在x轴上，
∴设点P的坐标为(a,0)，
∵O(0,0)，B(3,4)，
∴OP2=a2，
BP2=(3−a)2+16，
分两种情况：
当OB=OP时，则OB2=OP2，
∴a2=25，
解得：a=±5，
∴点P的坐标为(5,0)或(−5,0)，
当OB=BP时，则OB2=BP2，
∴(3−a)2+16=25，
解得：a=6或a=0(舍去)，
∴点P的坐标为(6,0)，
综上所述：若△BOP是以OB为腰的等腰三角形，则点P的坐标为(6,0)或(5,0)或(−5,0)．
【解析】(1)根据已知可得OD=BE=4，AD=OE=3，再根据垂直定义可得∠ADO=∠BEO=90°，从而根据SAS可证△ADO≌△OEB，然后利用全等三角形的性质可得∠AOD=∠OBE，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠OBE+∠BOE=90°，从而可得∠AOD+∠BOE=90°，最后利用平角定义可得∠AOB=90°，即可解答；
(2)在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO=5，再根据全等三角形的性质可得OA=OB=5，然后利用(1)的结论以及三角形的面积公式，进行计算即可解答；
(3)根据已知可设点P的坐标为(a,0)，从而利用两点间距离公式求出BP2，OP2的值，然后分两种情况：当OB=OP时；当OB=BP时，最后分别进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，三角形面积，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．