精品解析：湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022～2023学年度第二学期期末质量检测
高二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. 9 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】由于，可得，，
所以，
故选:A
2. 已知随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件结合互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】因为随机变量的分布列为，
所以

，
故选：D
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 21 C. D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，从而得到答案.
【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.
故选：A.
4. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，若质点移动8次之后又回到原点，则该质点移动的轨迹有（ ）种.

A. 20 B. 50 C. 70 D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】分析出几次向左几次向右移动回到原点即可.
【详解】由题意，次移动中，从原点出发，要想回到原点，只能是向左移动次，向右移动次，
于是次移动中选择次向右即可，即有种轨迹.
故选：C
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，则这6人的名次排列可能有（ ）种不同的情况
A. 348 B. 356 C. 368 D. 384
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊元素特殊位置法即可求出结果.
【详解】第一步先排第1名，第1名可以是丙、丁、戊、己中的一位，共有种情况；
第二步排乙，可以选择第2、3、4、5名，共有种情况；
第三步排其他人，相当于4个人全排列，共有种情况；
所以共有种情况；
故选：D.
6. 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ）

A. 相关系数r变小 B. 决定系数变小
C. 残差平方和变大 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】D
【解析】
【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性概念和性质作出判断即可．
【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好，
对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误；
对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误；
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误；
对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y相关性变强，且是正相关，故D正确．
故选：D．
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据自然底数值可比较的大小，借助函数可比较的大小.
【详解】，而，即；
设，则时，，
故时，单调递减，故，
即时，，于是，
故.
故选：C
8. 现有两种卡片和若干（两种卡片大小形状完全一致，只有上面的字母不同），安排部分同学每人随机抽取两张卡片，则抽出的三种情况，，的近似比为∶2∶1，如果任选两名抽取了卡片的同学，并从这两名同学手中各抽取1张卡片，那么抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全概率公式即可分四类情况求解.
【详解】根据，，的近似比为∶2∶1，可知抽取卡片的同学手里抽到，，的近似比为∶2∶1，
记两名同学抽到，，分别为事件和，且,
从两名同学手中各抽取1张卡片，抽到和分别为事件和,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时
抽到的概率为,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时抽到的概率为,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时
抽到的概率为,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时
抽到的概率为,
所以抽到的概率为,
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强
B. 已知由一组样本数据得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
C. 在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好
D. 已知，若根据列联表得到的观测值为4.1，则根据小概率值的独立性检验认为两个分类变量有关
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据相关系数和相关指数的定义即可判断AC，根据回归直线方程的含义即可判断B，根据独立性检验即可判断D.
【详解】对于A,相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的相关性越强，故A正确，
对于B,由可得，将其代入可得，故样本中心为，但是样本中心不一定是样本中的数据，故B错误.
对于C, 在回归分析中，相关指数越接近于1，说明回归效果越好，故C正确，
对于D，根据独立性检验可知，故根据小概率值的独立性检验认为两个分类变量有关，故D正确，
故选：ACD
10. 已知当随机变量时，随机变量也服从正态分布.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 为定值
B.
C. 当减小，增大时，减
D. 当，都增大时，增大
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误.
【详解】对任意正态分布，，
则，可知A正确，
由于，结合正态分布的对称性可得，
可知B正确，
已知正态分布，
对于给定的，是一个只与有关的定值，
所以C、D错误.
故选：AB.
11. 设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件概率的计算公式和事件的独立性依次讨论求解即可.
【详解】对于A选项，由，可知，故A一定成立；
对于B选项，当，是两个独立事件时，，其他情况不一定成立，故B不一定成立；
对于C选项，由全概率公式知：，故C一定成立；
对于D选项，当时，，
则，即，故D一定成立.
故选：ACD
12. 设随机变量，，则下列说法正确的是（ ）
A. ，服从二项分布
B.
C. 当且仅当时，取最大值
D. 使成立的实数对共有11对
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由二项分布的定义判断，对于B，计算判断，对于C，设最大，则，解不等式组判断，对于D，通过计算判断.
【详解】对于A，因为随机变量，，所以，服从二项分布，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，
设最大，则，解得，
因为，所以当或时，取最大值，所以C错误，
对于D，因为随机变量，所以,
, ,
, ,
, ,
, ,
因为，所以,
, ,
, ,
, ,
,
所以使成立的实数对有，共11对，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数满足，则，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】先对函数求导，再令求出，则可求出函数解析式，从而可求出
【详解】由，得
，
令，则，解得，
所以，
所以，
故答案为：
14. 的展开式中，含项的系数是______（用数字表示）.
【答案】454
【解析】
【分析】根据给定条件列出含项的系数表达式，再借助组合数的性质计算即可得.
【详解】的展开式中的系数是：


所以原展开式中的系数是.
故答案：
15. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设甲命中目标为事件，目标至少被命中1次为事件，由条件概率公式计算即可.
【详解】设甲命中目标为事件，目标至少被命中1次为事件，事件包括甲命中乙不命中、甲不命中乙命中、甲乙都命中，则，则.
故答案为：.
16. 设数列为等比数列，且每项都大于1，则值为______.
【答案】2023
【解析】
【分析】分公比为1和公比不为1两种情况结合等比数列的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】当公比为1时，
，
当公比不为1时，设公比为，则
所以






，
综上值为2023，
故答案为：2023
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知：，求；
（2）解不等式：，其中.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据组合数公式得到方程，解得即可；
（2）根据排列数公式得到不等式，解得，需注意且.
【详解】（1）因为，解得或（舍去）；
（2）不等式，
即，
即，即，解得，
又，即且，所以或，故不等式的解集为.
18. 2023年5月30日，神州十六号载人飞船在长征二号F运载火箭的托举下，在酒泉卫星发射中心成功发射，神州十六号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功.某校组织学生观看了火箭发射的全过程，并对其中100名学生进行了“航空航天”问卷调查，其中被调查的男女学生比例为3∶2.近两个月关注“航空航天”信息达6次及以上者为航天关注者，未达到6次的为非航天关注者，得到如下等高条形图.


航天关注者
非航天关注者
合计
男



女



合计




（1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天关注者”与性别有关联？
（2）从100名学生中按男女比例进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.记被抽取的2名学生中男生的人数为随机变量，求的数学期望和方差.
附（其中）.

0.100
0.050
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）列联表见解析，不能
（2），
【解析】
【分析】（1）根据条件可以列出列联表，再根据公式即可求出，进而判断结果；
（2）根据超几何分步的公式即可求出结果.
【小问1详解】
依题意得列联表如下：

航天关注者
非航天关注者
合计
男
48
12
60
女
24
16
40
合计
72
28
100
零假设：假设“航天达人”与性别无关，
根据表中的数据计算得到
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，因此“航天关注者”与性别无关.
【小问2详解】
5名学生中有3名男生，2名女生；
可以取值为0，1，2；
,
,

的分布列为：

0
1
2





.
19. 已知各项均为正数的数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到时，，两式相减得到求解；
（2）由数列的前项和，幷项求解.
【小问1详解】
解：由，
当时，，
∴，
又，，
∴。
当时，，
∴为奇数时， ；
当时，，
∴为偶数时，
∴；
【小问2详解】
数列的前项和，
，
，
.
20. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的定义可以求出切线方程；
（2）构造，求导研究单调性即可求出结果.
【小问1详解】

∴，
∴切点
∴切线方程是：
【小问2详解】
，
则
令，
则
∴在上单调递减，在上单调递增.

∴，在上单调递增.
∴，
即时，成立.
21. 某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表为该地区近7年新建社区养老机构的数量对照表.
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码（x）
1
2
3
4
5
6
7
新建社区养老机构（y）








（1）已知两个变量与之间的样本相关系数，请求出关于的经验回归方程，并据此估计2023年即时，该地区新建社区养老机构的数量；（结果按四舍五入取整数）
（2）若该地区参与社区养老老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有54人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？（结果按四舍五入取整数）
参考公式与数据：
①，
②若随机变量，则，，
③，
【答案】（1）22 （2）2523
【解析】
【分析】（1）根据相关系数的公式可得，进而由最小二乘法即可求解回归方程，
（2）根据正态分布的对称性即可求解.
【小问1详解】
，
由于，
，
∴,
∵，∴，
∴，
∴回归方程，
当时，.
【小问2详解】
由该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，
故，
,
该地参与社区养老的老人有（人）,
该地参与社区养老的老人约有2523人.
22. 某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（1）求随机变量的分布列；
（2）若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（i）求随机变量的分布列
（ii）证明.
【答案】（1）分布列见解析
（2）（i）分布列见解析（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出随机变量的取值，求出对应的概率即可列出分布列；
（2）（i）求出随机变量的取值，求出的概率即可列出分布列；
（ii）求出，先判断单调性，然后利用错位相减法和不等式放缩证明.
【小问1详解】
由题意，每位选手成功闯过两关的概率为，易知取1,2,3,4，则，，，，
因此的分布列为

1
2
3
4





【小问2详解】（i）时，第人必答对第二题，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
当时，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
的分布列为：

1
2
3
…






…


（ii）由（i）知.
，
故，
又，
故，
所以，①
，②
②－①，
故.
【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望.
（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，
可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.