精品解析：陕西省商洛市2022-2023学年高二下学期期末文科数学试题（解析版）

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商洛市2022~2023学年度第二学期教学质量抽样监测
高二年级数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解出集合B，再根据集合的运算求出.
【详解】因为，，所以．
故选:C.
2. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数模长公式和除法运算法则化简，得到答案.
【详解】因为，
所以的虚部为．
故选：A
3. 已知是奇函数，且当时，，则（ ）
A. －2 B. －14 C. 2 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，可得带入求解.
【详解】因为是奇函数，所以．
故选：B.
4. 若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（ ）
A. 15 B. －15 C. 45 D. －45
【答案】D
【解析】
【分析】先设等比数列为，根据前两项和求出首项，从而找到等比数列的第3项.
【详解】设该等比数列为，则，
所以．
故选：D.
5. 曲线的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的图象与性质，直接令求解即可.
【详解】由，得．
故选：B.
6. 2023年4月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C. 去年4月鲜菜价格要比今年4月低
D. 这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计图计算可得答案.
详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；
猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故B不正确；
因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年4月鲜菜价格要比今年4月高，故C不正确；
这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故D正确.
故选：D
7. 若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出.
【详解】依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为3，所以，
所以的标准方程为.
故选：A
8. 某中学举行歌唱比赛，甲、乙两位参赛选手各自从《难却》《兰亭序》《许愿》《最初的梦想》这四首歌曲中选两首作为参赛歌曲，已知甲选了《难却》，乙末选《许愿》，则甲、乙有相同的参赛歌曲的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】基本事件为：
甲选《难却》+《兰亭序》，同时乙选《难却》+《兰亭序》，
甲选《难却》+《兰亭序》，同时乙选《难却》+《最初的梦想》，
甲选《难却》+《兰亭序》，同时乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，
甲选《难却》+《许愿》，同时乙选《难却》+《兰亭序》，
甲选《难却》+《许愿》，同时乙选《难却》+《最初的梦想》，
甲选《难却》+《许愿》，同时乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，
甲选《难却》+《最初的梦想》，同时乙选《难却》+《兰亭序》，
甲选《难却》+《最初的梦想》，同时乙选《难却》+《最初的梦想》，
甲选《难却》+《最初的梦想》，同时乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，
共种情况，
其中甲、乙没有相同的参赛歌曲的事件为：甲选《难却》+《许愿》，同时乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，
共种情况，
所以甲、乙有相同的参赛歌曲的事件有种情况，故概率为.
故选：C
9. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为3，宽为2的矩形，俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先从三视图得到几何体是四分之一圆柱，再用体积公式求解.
【详解】由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为2，底面半径为3），其体积．
故选：D.
10. 已知函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对原式进行求导，得到，再令代入，即可求出，，找到的解析式，求出.
【详解】因为，所以，
则，解得．
由，解得，则．
故选：D.
11. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用扇形的弧长公式可求得圆锥半径，结合等面积法可求得三角形的内切圆半径，进而求得圆锥内切球的表面积.
【详解】由题意，得该圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为R，高为h，如图所示，

由，得，所以，
圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径，
设内切圆为圆，其半径为r，
由，
得，解得，
故能制作的零件表面积的最大值为.
故选：A.
12 已知函数，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数运算性质，借助中间量得，进而在结合函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，由开口向上且，即，
所以的定义域为R，又，
所以关于对称，结合复合函数单调性知：在上单调递减，在上单调递增.
因为，
又，则，
综上，.
故选：A.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 已知向量，，，则正数____．
【答案】1
【解析】
【分析】由得到，解出.
【详解】因为，所以，
解得或，所以正数．
故答案为：1.
14. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由E的渐近线斜率，代入离心率求解.
【详解】因为的一条渐近线的倾斜角为，
所以，则的离心率．
故答案为：.
15. 不等式组表示的可行域的面积为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】作出不等式组表示的可行域，求出各个交点，计算面积即可.
【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，

则，，
所以，
所以可行域的面积为．
故答案：8.
16. 等差数列的前项和为，若，，则_____．
【答案】15
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得到，求出答案.
【详解】设，由等差数列的性质可得，
又，则，解得．
故答案为：15
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知△ABC的内角的对边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，的面积为4，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用正弦定理对题中条件进行变化化简后，再利用辅助角公式化简，转化为已知三角函数值求角即可；
利用及的面积为4，转化为边的关系及，进一步计算即可；
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得．
又，所以，
则，即．
又，
所以，故．
【小问2详解】
由知，， 所以．
的面积，即，
则，
即，
从而的周长为．
18. 甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．
甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．
乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．
（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲、乙面试分数的平均分的高低．
（2）在（1）的前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．
【答案】（1）甲的面试分数的平均分更高
（2）乙的综合分数更高，故应该录取乙
【解析】
【分析】（1）利用平均数的计算方法求解比较即可；
（2）利用加权平均数的计算方法求解比较即可.
【小问1详解】
依题意，设甲、乙面试分数的平均分分别为，
，
，
因为，所以甲的面试分数的平均分更高.
【小问2详解】
因为笔试分数和面试分数的加权比为，
所以甲的综合分数为，
乙的综合分数为，
因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙.
19. 如图，在直三棱柱中，P为的中点，，，.

（1）证明：平面.
（2）若四棱锥的体积为12，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；
（2）根据棱锥体积公式计算求解可得.
【小问1详解】
∵，∴.
又平面，平面，∴.
∵，平面,平面.∴平面.
【小问2详解】
∵平面，平面，∴.
∵，∴四边形为梯形.
设，则，
由（1）知，
解得，则
20. 已知函数
（1）当时，求在上的最值；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）最大值为32，最小值为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数求解函数的单调区间，即可求解极值点以及端点处的函数值，比较大小即可，
（2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负求解.
【小问1详解】
因为，所以．
当时，，当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为，
所以在上的最大值为32，最小值为．
【小问2详解】
因为，
所以
令，得或．
当，即时，由，解得或，由，解得．
当，即时，恒成立．
当，即时，由，解得或，由，解得．
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区问；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．
21. 已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求面积的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C过点，再代入求解作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.
【小问1详解】
依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得，
所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去整理得，则，
的面积
，令，对勾函数在上单调递增，
则，即，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为．

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的普通方程与圆的直角坐标方程（化为标准方程）；
（2）判定圆与圆的位置关系，说明你的理由．
【答案】（1）圆的普通方程为，圆的直角坐标方程为
（2）圆与圆外切，理由见解析
【解析】
【分析】（1）消去参数可得圆的普通方程；利用代入圆的极坐标方程得圆的直角坐标方程；
（2）利用两圆的位置关系判断可得答案.
【小问1详解】
圆的普通方程为，
由，得，
即，
所以圆的直角坐标方程为；
【小问2详解】
由（1）知圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，
因为，
所以圆与圆外切．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用公式法解绝对值不等式，求出解集；
（2）由绝对值三角不等式得到，配方后得到，从而证明出结论.
【小问1详解】
由，得，
解得，
所以不等式的解集为．
【小问2详解】
由绝对值三角不等式可得，
所以．
因为，
所以．