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【期末培优课堂】第5章《生活中的轴对称》-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频易错核心专题手册（北师大版）
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这是一份【期末培优课堂】第5章《生活中的轴对称》-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频易错核心专题手册（北师大版），文件包含第5章生活中的轴对称教师版docx、第5章生活中的轴对称学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
第5章 生活中的轴对称
知识点01：轴对称图形
1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：
（1）指一个图形；
（2）存在一条直线（对称轴）；
（3）图形被直线分成两部分互相重合；
（4）轴对称图形对称轴有只有一条，有则存在多条；
（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
知识点02：轴对称
1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：
（1）有两个图形；
（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；
（3）轴对称两个图形一定是全等形，但两个全等图形一定是轴对称图形；
（4）对称轴是直线而是线段；
轴对称图形
轴对称
区别
是一个图形自身对称特性
是两个图形之间对称关系
对称轴可能止一条
对称轴只有一条
共同点
沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
知识点03：角平分线性质
1、角平分线所在直线是该角对称轴。
2、性质：角平分线上点到这个角两边距离相等。
知识点04：线段垂直平分线
1、垂直于一条线段并且平分这条线段直线叫做这条线段垂直平分线，又叫线段中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上点到这条线段两端点距离相等。
知识点05：等腰三角形
1、有两条边相等三角形叫做等腰三角形；
2、相等两条边叫做腰；另一边叫做底边；
3、两腰夹角叫做顶角，腰与底边夹角叫做底角；
4、三条边都相等三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上高或顶角平分线，或底边上中线所在直线都是它对称轴。
6、等腰三角形三条重要线段是它对称轴，它们所在直线才是等腰三角形对称轴。
7、等腰三角形底边上高，底边上中线，顶角平分线互相重合，简称为“三线合一”。
8、“三线合一”是等腰三角形所特有性质，一般三角形具备这一重要性质。
9、“三线合一”是等腰三角形特有性质，是指其顶角平分线，底边上高和中线，这三线，并非其他。
10、等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角”。
11、判定一个三角形是等腰三角形常用两种方法：
（1）两条边相等三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对边也相等相等，简写为“等角对等边”。
知识点06：等边三角形
1、等边三角形是指三边都相等三角形，又称正三角形，是最特殊三角形。
2、等边三角形是底与腰相等等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形高、角平分线和中线所在直线都是它对称轴。
4、等边三角形三边都相等，三个内角都是600。
图形
定义
性质
等腰三角形
有两边相等三角形
1、两腰相等，两底角相等。
2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。
3、顶角平分线、底边上中线和高“三线合一”。
4、轴对称图形，有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形）
三边都相等三角形
1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。
2、具有等腰三角形所有性质。
3、轴对称图形，有三条对称轴。
知识点07：轴对称性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合点称为对应点（对称点），能够重合线段称为对应线段，能够重合角称为对应角。
2、关于某条直线对称两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、类似地，轴对称图形性质有：
（1）轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形对应线段、对应角相等。
（3）根据轴对称图形性质可求作轴对称图形对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。
知识点08：图案设计
1、作出简单平面图形经过轴对称后图形，实际上是轴对称图形性质灵活运用。
2、作出简单平面图形经过轴对称后图形步骤:
（1）首先要确定一个简单平面图形上几个特殊点；
（2）然后利用轴对称性质，作出其相应对称点（对应点所连线段被对称轴垂直平分）。
（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。
3、表达方式（以点M为例）：
（1）过点M作对称轴垂线，垂足为A；
（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线对称点。
（3）在复杂作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线对称点M’.
4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：
（1）要有明确设计意图；
（2）创意要新颖独特；
（3）设计出图案要符合要求；
（4）能清楚地表达自己设计意图和制作过程。
5、图案设计除采用对称手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。
6、设计图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。
知识点09：镜面对称
1、镜面对称有关性质：
（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中像与它是可以重合。因此，一个轴对称图形在镜子中像仍是轴对称图形。
（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中像是其右（左）侧；
（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面部分，其像也靠近镜面；
2、关于数字0、1、3、8在镜面中像两个结论：
（1）如果写数字纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写0、1、3、8所成像与原来数字完全一样。
（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写0、1、8这三个数字在镜中像和原来数字完全一样。
3、像与物体到镜面距离相等。
4、像与物体对应点连线被镜面垂直平分。
5、由镜中时间来判断真实时间是近几年来中考一个热点。时间表示有用一般数字表示，也有直接用钟表来表示。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称知识来加以解决。
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
2．（2分）（2022春•广饶县期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：
（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
3．（2分）（2018春•官渡区期末）如图，有一条宽纸带，FG∥PH，沿折痕AB进行折叠，BD交FG于点E，∠1＝50°，则下列说法正确的有（ ）个．
①∠CAF＝50°；②∠BAG＝∠2+50°；③∠EBP＝∠HBA；④∠AEB＝∠ABE；⑤∠2＝65°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2分）（2018春•沙坪坝区期末）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A＝48°，则∠BQC的度数为（ ）
A．138° B．114° C．102° D．100°
5．（2分）（2018秋•前郭县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）
A．72° B．108° C．126° D．144°
6．（2分）（2022春•龙岗区期末）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2分）（2022春•和平区期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．40.5° C．41° D．42°
8．（2分）（2021秋•河东区期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．（2分）（2020春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
10．（2分）（2020•黄岩区模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•曲靖期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ ．
12．（2分）（2022春•张家川县期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ．
13．（2分）（2022春•榆林期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ °．
14．（2分）（2022秋•睢阳区期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 ．
15．（2分）（2021春•渠县期末）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝，ON＝6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
16．（2分）（2023春•东台市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE＝ ．
17．（2分）（2022春•菏泽期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
18．（2分）（2021春•静安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝ 度．
19．（2分）（2021秋•璧山区校级期中）在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝ ．
20．（2分）（2022春•即墨区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，AE：EC＝3：2，F为AD上的动点，则EF+CF的最小值为 ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（8分）（2023•龙岩模拟）如图，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．
（1）求作点D关于直线AB的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接AE，BE，求证：∠AEB+∠C＝180°．
22．（8分）（2023春•工业园区校级期中）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．∠DOB＝50°，求∠GOC的度数．
23．（8分）（2023•岳池县模拟）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： ；
特征2： ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）
24．（8分）（2022秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
25．（8分）（2022秋•茶陵县期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2） 如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
26．（10分）（2022秋•遂平县期末）阅读材料：
如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝ ．若不存在，请说明理由．
27．（10分）（2022春•古县期末）综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有的直角三角板如图1放置，PA，PB在直线MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以点P为顶点运动．操作探究：
（1）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板PAC开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，同时三角板PBD绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当PC，PB，PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板PBD关于直线PD的对称图形PB1D．三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，当AC∥B1P时，请直接写出旋转角的度数．
第5章 生活中的轴对称
知识点01：轴对称图形
1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：
（1）指一个图形；
（2）存在一条直线（对称轴）；
（3）图形被直线分成两部分互相重合；
（4）轴对称图形对称轴有只有一条，有则存在多条；
（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
知识点02：轴对称
1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：
（1）有两个图形；
（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；
（3）轴对称两个图形一定是全等形，但两个全等图形一定是轴对称图形；
（4）对称轴是直线而是线段；
轴对称图形
轴对称
区别
是一个图形自身对称特性
是两个图形之间对称关系
对称轴可能止一条
对称轴只有一条
共同点
沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
知识点03：角平分线性质
1、角平分线所在直线是该角对称轴。
2、性质：角平分线上点到这个角两边距离相等。
知识点04：线段垂直平分线
1、垂直于一条线段并且平分这条线段直线叫做这条线段垂直平分线，又叫线段中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上点到这条线段两端点距离相等。
知识点05：等腰三角形
1、有两条边相等三角形叫做等腰三角形；
2、相等两条边叫做腰；另一边叫做底边；
3、两腰夹角叫做顶角，腰与底边夹角叫做底角；
4、三条边都相等三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上高或顶角平分线，或底边上中线所在直线都是它对称轴。
6、等腰三角形三条重要线段是它对称轴，它们所在直线才是等腰三角形对称轴。
7、等腰三角形底边上高，底边上中线，顶角平分线互相重合，简称为“三线合一”。
8、“三线合一”是等腰三角形所特有性质，一般三角形具备这一重要性质。
9、“三线合一”是等腰三角形特有性质，是指其顶角平分线，底边上高和中线，这三线，并非其他。
10、等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角”。
11、判定一个三角形是等腰三角形常用两种方法：
（1）两条边相等三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对边也相等相等，简写为“等角对等边”。
知识点06：等边三角形
1、等边三角形是指三边都相等三角形，又称正三角形，是最特殊三角形。
2、等边三角形是底与腰相等等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形高、角平分线和中线所在直线都是它对称轴。
4、等边三角形三边都相等，三个内角都是600。
图形
定义
性质
等腰三角形
有两边相等三角形
1、两腰相等，两底角相等。
2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。
3、顶角平分线、底边上中线和高“三线合一”。
4、轴对称图形，有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形）
三边都相等三角形
1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。
2、具有等腰三角形所有性质。
3、轴对称图形，有三条对称轴。
知识点07：轴对称性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合点称为对应点（对称点），能够重合线段称为对应线段，能够重合角称为对应角。
2、关于某条直线对称两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、类似地，轴对称图形性质有：
（1）轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形对应线段、对应角相等。
（3）根据轴对称图形性质可求作轴对称图形对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。
知识点08：图案设计
1、作出简单平面图形经过轴对称后图形，实际上是轴对称图形性质灵活运用。
2、作出简单平面图形经过轴对称后图形步骤:
（1）首先要确定一个简单平面图形上几个特殊点；
（2）然后利用轴对称性质，作出其相应对称点（对应点所连线段被对称轴垂直平分）。
（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。
3、表达方式（以点M为例）：
（1）过点M作对称轴垂线，垂足为A；
（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线对称点。
（3）在复杂作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线对称点M’.
4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：
（1）要有明确设计意图；
（2）创意要新颖独特；
（3）设计出图案要符合要求；
（4）能清楚地表达自己设计意图和制作过程。
5、图案设计除采用对称手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。
6、设计图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。
知识点09：镜面对称
1、镜面对称有关性质：
（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中像与它是可以重合。因此，一个轴对称图形在镜子中像仍是轴对称图形。
（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中像是其右（左）侧；
（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面部分，其像也靠近镜面；
2、关于数字0、1、3、8在镜面中像两个结论：
（1）如果写数字纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写0、1、3、8所成像与原来数字完全一样。
（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写0、1、8这三个数字在镜中像和原来数字完全一样。
3、像与物体到镜面距离相等。
4、像与物体对应点连线被镜面垂直平分。
5、由镜中时间来判断真实时间是近几年来中考一个热点。时间表示有用一般数字表示，也有直接用钟表来表示。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称知识来加以解决。
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
2．（2分）（2022春•广饶县期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：
（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
3．（2分）（2018春•官渡区期末）如图，有一条宽纸带，FG∥PH，沿折痕AB进行折叠，BD交FG于点E，∠1＝50°，则下列说法正确的有（ ）个．
①∠CAF＝50°；②∠BAG＝∠2+50°；③∠EBP＝∠HBA；④∠AEB＝∠ABE；⑤∠2＝65°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2分）（2018春•沙坪坝区期末）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A＝48°，则∠BQC的度数为（ ）
A．138° B．114° C．102° D．100°
5．（2分）（2018秋•前郭县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）
A．72° B．108° C．126° D．144°
6．（2分）（2022春•龙岗区期末）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2分）（2022春•和平区期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．40.5° C．41° D．42°
8．（2分）（2021秋•河东区期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．（2分）（2020春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
10．（2分）（2020•黄岩区模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•曲靖期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ ．
12．（2分）（2022春•张家川县期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ．
13．（2分）（2022春•榆林期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ °．
14．（2分）（2022秋•睢阳区期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 ．
15．（2分）（2021春•渠县期末）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝，ON＝6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
16．（2分）（2023春•东台市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE＝ ．
17．（2分）（2022春•菏泽期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
18．（2分）（2021春•静安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝ 度．
19．（2分）（2021秋•璧山区校级期中）在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝ ．
20．（2分）（2022春•即墨区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，AE：EC＝3：2，F为AD上的动点，则EF+CF的最小值为 ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（8分）（2023•龙岩模拟）如图，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．
（1）求作点D关于直线AB的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接AE，BE，求证：∠AEB+∠C＝180°．
22．（8分）（2023春•工业园区校级期中）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．∠DOB＝50°，求∠GOC的度数．
23．（8分）（2023•岳池县模拟）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： ；
特征2： ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）
24．（8分）（2022秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
25．（8分）（2022秋•茶陵县期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2） 如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
26．（10分）（2022秋•遂平县期末）阅读材料：
如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝ ．若不存在，请说明理由．
27．（10分）（2022春•古县期末）综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有的直角三角板如图1放置，PA，PB在直线MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以点P为顶点运动．操作探究：
（1）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板PAC开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，同时三角板PBD绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当PC，PB，PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板PBD关于直线PD的对称图形PB1D．三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，当AC∥B1P时，请直接写出旋转角的度数．
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