安徽省合肥市肥西县2022-2023学年高二下学期阶段性测试（期末）数学试题

2022-2023学年（下）高二年级阶段性测试（期末）

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数是纯虚数，则实数（    ）

A． B． C． D．6

3．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．根据变量和的一组试验数据计算可得，，回归直线方程为，则可以预测当时，变量的估计值为（    ）

A．29 B．30 C．31 D．32

5．定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ）

A．45 B．85 C．121 D．166

6．已知等边的边长为2，，，连接并延长交于，则（    ）

A． B． C．1 D．

7．的展开式中的系数为（    ）

A． B．240 C． D．360

8．某校高三男生的身高（单位：）服从正态分布，且．从该校随机抽取名高三男生，其中至少有1人身高超过的概率大于0.6，则的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A．饭前服药的患者中，药效强的频率为

B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为

C．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异

D．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的最大值为

C．在上单调递增

D．将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象

11．在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知数列满足，，则（    ）

A．数列为等比数列 B．

C．，  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某电影院有4部科幻电影和2部喜剧电影即将上映，小明准备观看其中的3部，且至少观看1部喜剧电影，则不同的观看方案有________种．（用数字填写答案）

14．记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为________．

15．某工厂的，，车间生产同一产品，产量分别占总产量的，，，且，，车间生产的产品的次品率之比为，若该工厂整体的次品率为，则车间的次品率为________．

16．若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是________．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，且，求的面积．

18．（12分）

已知数列的前项和．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小整数值．

19．（12分）

如图，在三棱锥中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，点在平面内的射影恰好落在棱上．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20．（12分）

某社区居民中青少年、中年人、老年人的人数相同，现按三个年龄段人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取60人，调查他们的日均微信步数，统计结果如下：

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）从这60人中随机抽取2名日均微信步数在内的中年人，记这2人中日均微信步数在内的人数为，求的分布列与数学期望；

（Ⅲ）以样本数据中日均微信步数位于各区间的频率作为该社区居民日均微信步数位于该区间的概率，假设该社区的老年人中有年龄大于70岁，且年龄大于70岁的老年人中有的人日均微信步数在内，现从该社区任选一名老年人，若已知此老年人的日均微信步数在内，求他的年龄大于70岁的概率．

21．（12分）

已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为1的直线与的渐近线分别交于，两点（在第一象限），为坐标原点，．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）过点且倾斜角不为0的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：．

22．（12分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，讨论在区间上的单调性；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围．

2022-2023学年（下）高二年级阶段性测试（期末）

数学・答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．答案  C

命题意图  本题考查集合的表示与运算．

解析  由得，∴．

2．答案  D

命题意图  本题考查复数的基本运算．

解析  设（且），则，∴且，解得．

3．答案  B

命题意图  本题考查导数的计算及几何意义．

解析  求导得，则，所以曲线在点处的切线方程．

4．答案  A

命题意图  本题考查回归直线的性质．

解析  回归直线经过点，所以，解得，所以回归直线方程为，代入，得．

5．答案  C

命题意图  本题考查数列的基本概念．

解析  该数列的一阶差数列为3，6，10，15，，则二阶差数列为3，4，5，，因为二阶差数列是等差数列，故二阶差数列后面的项为6，7，8，，一阶差数列后面的项为21，28，36，，从而原数列后面的项为57，85，121，，故．

6．答案  D

命题意图  本题考查平面向量的线性运算与数量积运算．

解析  设，则．

∵，，三点共线，∴，解得．

∵，，∴．

7．答案  A

命题意图  本题考查二项式定理的应用．

解析  ，其展开式中的系数为．

8．答案  B

命题意图  本题考查正态分布以及二项分布的应用．

解析  因为，所以，

即该校男生身高超过的概率为0.2．从该校随机抽取名高三男生，

设事件“至少有1人身高超过”，则“身高都没有超过”，

由题意，则，

因为，，所以的最小值为5．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．答案  AC

命题意图  本题考查独立性检验的应用．

解析  对于A，饭前服药的100名患者中，药效强的有80人，所以频率为，故A正确；

对于B，饭前服药的有20人药效弱，饭后服药的有70人药效弱，所以药效弱的有90名患者，饭后服药的频率为，故B错误；

对于C，D，因为，

故在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误．

10．答案  AD

命题意图  本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质．

解析  

．

所以的最小正周期为，的最大值为1，故A正确，B错误；

当时，，所以在此区间上不单调，故C错误；

将的图象向左平移个单位长度所得图象对应函数为

，为偶函数，故D正确．

11．答案  BCD

命题意图  本题考查利用导数研究函数性质．

解析  由已知得，，

函数的图象为开口向上的抛物线，与轴在和处相交，

的图象是“型曲线”，当时有和两个极值点，

当时单调递增，且的图象与轴交于点．

对于A，由二次函数图象可知，但三次函数图象与轴的交点在轴上方，故A不正确；

B项图中两条曲线符合时的情况；C项图中两条曲线符合时的情形；

D项图中两条曲线符合时的情况．

12．答案  ABD

命题意图  本题考查数列的递推关系，以及数列的性质．

解析  对于A，依题意，由可得，

整理得，∵，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；

对于B，，∴，，故B正确；

对于C，易知关于单调递减，

∴数列是递减数列，又，∴数列为递增数列，故C错误；

对于D，

，故D正确．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．答案  16

命题意图  本题考查分类和分步计数原理的应用．

解析  若小明观看1部喜剧电影和2部科幻电影，则观看方案有种；若小明观看2部喜剧电影和1部科幻电影，则观看方案有种，故不同的观看方案有16种．

14．答案  6

命题意图  本题考查等差数列的性质．

解析  由已知得，，∴是递减数列，且当时，，当时，．∴当取最大值时，的值为6．

15．答案  

命题意图  本题考查全概率公式的应用．

解析  设车间的次品率为，则车间的次品率为，车间的次品率为，

则，解得，所以车间的次品率为．

16．答案  

命题意图  本题考查利用导数研究函数性质．

解析  关于的方程有三个不等实数根等价于函数的图象与直线有三个公共点，设，则，当时，，单调递增，在和上，，单调递减，，当或时，，且当时，，当时，，画出的大致图象如图，要使的图象与直线有三个交点，需，即，即的取值范围是．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．命题意图  本题考查正弦定理和余弦定理的应用

解析  （Ⅰ）由及正弦定理得，

即，

∵，∴．

（Ⅱ）由余弦定理可知．

由正弦定理可得，，∴，

∴的面积为．

18．命题意图  本题考查数列的通项公式和前项和．

解析  （Ⅰ）当时，，

当时，，，

作差得，

故

（Ⅱ）当时，，

当时，，

所以当时，

，

又，要使对任意恒成立，则，故的最小整数值为3．

19．命题意图  本题考查线面垂直的证明以及二面角的计算．

解析  （Ⅰ）取的中点，连接，，

由题意知平面，所以，

∵是等边三角形，是的中点，∴，

又，∴平面，∴．

在等腰直角中，，∴，∴，

又∵是的中点，∴是的中点，∴．

又∵，，∴平面．

（Ⅱ）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由已知可得，，∴．

∴，，，，

∴，

设平面的法向量为，

则取，则．

平面的一个法向量为．

∴，

∴二面角的余弦值为．

20．命题意图  本题考查统计表，随机变量的分布列及数学期望．

解析  （Ⅰ）由题意，得解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，日均微信步数在内的中年人有11人，在内的中年人有4人．

则的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以的概率分布列为

所以．

（Ⅲ）设表示事件“该社区老年人的日均微信步数在内，表示事件“该社区老年人的年龄大于70岁”．

由题知，，

，

则．

21．命题意图  本题考查双曲线的方程和性质，双曲线与直线的位置关系．

解析  （Ⅰ）由已知得：，

联立解得，同理可得．

∵，∴，整理得．

又，∴，，

∴的方程为．

（Ⅱ）要证明，只需证明的中点与的中点重合．

设的中点为，直线：，联立得，

设，，则，

，，即，

由得可得，

由得可得，

∴的中点为，

∴点与点重合∴．

22．命题意图  本题考查利用导数研究函数性质

解析  （Ⅰ）当时，，，

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）设，由题意知当时，．

求导得．

设，则，

利用函数，易证；利用函数，易证当时，．

所以当时，．

故在上单调递增，

当时，，且当时，．

若，则，函数在上单调递增，

因此，，符合条件．

若，则存在，使得，即，

当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．

综上，实数的取值范围是．