精品解析：广东湛江市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

湛江市2022-2023学年度第二学期期末高中调研测试

高二数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得的值，然后计算即可.

【详解】由题意可得，则.

故选：A.

2. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由共轭复数的概念求解即可.

【详解】∵与互为共轭复数，

∴.

故选：D.

3. 已知是第二象限角，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，结合同角三角函数的关系和正切函数的两角和公式求解即可

【详解】解：是第二象限角，，

所以，

所以，

所以，即，

解得，

故选：D

4. 圆台的上､下底面半径分别是，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用圆台的体积公式即可求得该圆台的体积.

【详解】圆台的上､下底面半径分别是，且圆台的母线长为5，

则圆台的高为，

则该圆台的体积是

故选：B

5. 已知，，且，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】求出和的坐标，根据空间向量共线的充要条件即可得，的值.

【详解】因为，，所以，

，

因为，所以，解得：，，

故选：B.

6. 有一组样本数据如下：

56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98

则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（    ）

A. 65，76，82 B. 66，74，82 C. 66，76，79 D. 66，76，82

【答案】D

【解析】

【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.

【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；

中位数为：，

因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.

故选：D.

7. 已知表示曲线是圆，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.

【详解】由方程可得，

所以当时表示圆，解得.

故选：C.

8. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. （多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ）

A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为

C. 焦点到准线的距离为4 D. 准线方程为

【答案】AC

【解析】

【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论

【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．

故选：AC

10. 下列命题是真命题的有（    ）

A. A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直

C. 直线l方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α

D. 平面α经过三点是平面α的法向量，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.

【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；

对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；

对于C，，故，可得l在α内或，C错误；

对于D，，易知，故，故，D正确.

故选：ABD.

11. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ）

A. 残差平方和变小

B. 相关系数变小

C. 决定系数变小

D. 解释变量与响应变量的相关性变强

【答案】AD

【解析】

【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．

【详解】解：从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强，且是正相关，

所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小

故选：AD

12. （多选）若函数的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称为R函数，则下列函数可称为R函数的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据导数的几何意义只需判定各选项函数是否存在不同的点的导函数值相等即可.

【详解】A项：因为，令，则恒成立，

所以在上单调递增，不存在两点的导函数值相等，

所以不是R函数，A错误；

B项：定义域为，，令，

所以，x＞0.

令，则；令，则，

当时，单调递减；当时，单调递增.

且是的极小值点，存在两点的导函数值相等，

所以是R函数，故B正确；

C项：，函数的定义域为，

令，则，令，

令；令，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以在上单调递增，

不存在两点的导函数值相等，所以不是R函数，C错误；

D项：，

取，，则，所以是R函数，D正确.

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中的系数为________．

【答案】240

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项，运算求解.

【详解】的展开式的通项为：

令，则

∴的展开式中的系数为240

故答案为：240.

14. 有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一､二台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是___________.

【答案】0.044##

【解析】

【分析】直接由全概率公式求解即可.

【详解】该产品是次品的概率是.

故答案为：0.044.

15. 数列中，，若其前k项和为86，则________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知是以为首项，公比为的等比数列，由等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】由可得：，

所以是以为首项，公比为的等比数列，

所以其前k项和为，

故，即.

故答案为：

16. 已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为_______．

【答案】4

【解析】

【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，

利用点到直线距离公式求解即可.

【详解】由双曲线经过点，则

，①

双曲线离心率：，②

又，③

联立①②③解得：，

所以双曲线标准方程为：

所以双曲线的一个焦点为，

一条渐近线为，

所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为：

，

故答案为：4.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知在中，，分别是角所对的边.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）因为且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；

（2）由题意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面积公式即可得解.

【详解】（1）因为且，

∴

∴

（2）由，得，

由，所以，

则，

由正弦定理，得，

∴面积为.

【点睛】本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.

18. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设的公差为，由等比中项的性质有可求，进而写出的通项公式；

（2）应用累加法求的通项公式，再由裂项相消法求的前项和.

【详解】（1）设数列的公差为，由，有：，解得或(舍去)

∴.

（2），

∴，将它们累加得：

∴，则.

19. 如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.

（1）设平面平面，证明：⊥平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到，证明出线面垂直，

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.

【小问1详解】

平面平面，

平面.

平面，平面平面，

.

由图①，得，

.

平面，

平面；

【小问2详解】

由题意，得.

又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，

.

设平面的一个法向量为.

则，

令，得，故.

设与平面所成角为.

直线与平面所成角的正弦值为.

20. 已知函数（，e为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）求函数的极值的最大值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）极小值的最大值1

【解析】

【分析】（1）先求函数的导数，然后再分类讨论即可；

（2）由单调性可知极值，再通过研究单调性求最值.

【小问1详解】

的定义域为，，

当时，，∴在上单调递增.

当时，令，得，

当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

由（1）知当时，无极值；

当时，存在极小值，且极小值为

，无极大值.

设，，则，

令，得，当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴的最大值为.

∴的极小值的最大值为1.

21. 甲乙两人进行乒乓球比赛,经过以往的比赛分析,甲乙对阵时,若甲发球,则甲得分的概率为,若乙发球,则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球),每人发两球后轮到对方进行发球.

（1）求在前4球中,甲领先的概率;

（2）12球过后,双方战平(6:6),已知继续对战奇数球后,甲率先取得11分获得胜利(获胜要求净胜2分及以上).设净胜分为(甲,乙的得分之差),求的分布列.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析

【解析】

【分析】（1）分甲乙比分为4:0和3:1两种情况计算，然后再求和即可

（2）12球过后至少再比5场,甲连胜率先取得11分赢得比赛,或者再比7场,这时甲乙比分为11:8,如果再比9场,甲11分的话，乙这时10分甲还需再赢一场才能获胜,所以该情况排除.继续对战5局,分别是甲发三球乙发两球,甲连赢,计算概率即可，继续对战7局, 最后一球是乙发球且最后一球一定是甲赢，前6局分别是甲发四球乙发两球,甲赢4局乙赢2局,分为三种情况，乙在甲发的四球里赢了两球、乙在乙发的两球里赢了两球、乙在甲发的四球和乙发的两球中各赢了一球,计算概率即可.

【小问1详解】

甲与乙的比分是4:0的概率为

比分是3:1的概率为

故前4球中,甲领先的概率

【小问2详解】

依题意,接下来由甲先发球.继续对战奇数球后,甲获得11分胜利,即甲11:6或11:8获胜,即在接下来的比赛中,甲乙的比分为5:0或5:2,且最后一球均为甲获胜.

记比分为5:0为事件,则

记比分为5:2为事件,即前6场比赛中,乙获胜两场,期间甲发球4次,乙发球两次

故甲依题意获胜的概率为

的所有可能取值为3,5

由条件概率有,,故的分布列为

22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程；

（2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.

【小问1详解】

由题意点是椭圆的一个顶点，知，

因为是等腰直角三角形，所以，即，

所以椭圆的标准方程为：．

【小问2详解】

若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．

由，得，

由题意知，设，，

所以，，

因为，所以

，

所以，整理得，

故直线的方程为，即，

所以直线过定点．

若直线的斜率不存在，设其方程为，，．

由题意得，解得，

此时直线的方程为，显然过点．

综上，直线过定点．

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用，的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性.