专题16 和差问题 2022-2023学年三年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义

专题16 和差问题

专题简析：

已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。

解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。

用数量关系表示：

（和＋差）÷2=大数

（和－差）÷2=小数

【典例分析01】期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？

【思路引导】根据题意画出线段图。

我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。

【典例分析02】某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？

【思路引导】用线段图表示题意。

已知第一、二两个车间共有车床96部，又根据“如果第一车间拨给第二车间8部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多8×2=16部车床。所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，第二车间原有56－8×2=40部。

【典例分析03】哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？

【思路引导】我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。

【典例分析04】把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？

【思路引导】用线段图来表示题意。

可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假设第二、第三段绳子都和第一段同样长，那么总长就变为100－16＋18=102米。

第一段绳子长：102÷3=34米

第二段绳子长：34+16=50米

第三段绳子长：34－18=16米

【典例分析05】四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。最大的年龄是多少岁？

【思路引导】我们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分别看作大数与小数，根据四个人的年龄和是88岁，年龄差是8岁，即可求出大数与小数。

大数：（88+8）÷2=48岁

最大的年龄：48－3=45岁

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）甲、乙两筐苹果共重46千克，从甲筐中取出3千克苹果放入乙筐，两筐苹果就同样重，甲筐苹果原来重（　　）千克．

A．18 B．20 C．26 D．28

【思路引导】由“从甲筐取出3千克放入乙筐，两筐的苹果重量就相等了”，可知甲筐比乙筐原来重3×2＝6（千克），然后根据和差问题的解法解答即可．

【规范解答】解：乙筐原有苹果：

（46﹣3×2）÷2，

＝40÷2，

＝20（千克）；

甲筐原有苹果：

46﹣20＝26（千克）；

答：甲筐苹果原来重26千克．

故选：C．

【考点评析】此题考查了和差问题的公式：（和﹣差）÷2＝小数，和﹣小数＝大数．

2．（2分）哥哥把自己的书送8本给妹妹，这样妹妹还是比哥哥少7本，哥哥原来比妹妹多（　　）本书．

A．15 B．23 C．22

【思路引导】根据题意可知：哥哥把自己的书送8本给妹妹，这样妹妹还是比哥哥少7本，即哥哥减去8本比妹妹加上8本多7本，就是说妹妹原来比哥哥少8+8+7＝23（本），即哥哥原来比妹妹多23本书．

【规范解答】解：8+8+7＝23（本）；

答：哥哥原来比妹妹多23本书．

故选：B．

【考点评析】本题是一个简单的整数的加法和减法应用题．做此类题目关键是读懂题意，搞清数量关系．

3．（2分）（2021秋•秀屿区校级期末）小欢有156元钱，小乐有140元钱，小欢给小乐（　　）元钱，两个人的钱一样多。

A．56 B．40 C．8 D．16

【思路引导】用小欢的钱数减去小乐的钱数，再除以2，就是小欢给小乐的钱数，此时两个人的钱一样多。

【规范解答】解：（156﹣140）÷2

＝16÷2

＝8（元）

答：小欢给小乐8元钱，两个人的钱一样多。

故选：C。

【考点评析】明确小欢的钱数与小乐的钱数差除以2就是小欢给小乐的钱数是解题的关键。

4．（2分）（2022秋•通州区期末）明明有28本课外书，洋洋有52本课外书，洋洋给明明（　　）本课外书后，两个人的课外书就一样多了。

A．40 B．24 C．12

【思路引导】把洋洋比明明多的本书的一半给明明，这时两人的课外书就一样多了。

【规范解答】解：（52﹣28）÷2

＝24÷2

＝12（本）

答：洋洋给明明12本课外书后，两个人的课外书就一样多了。

故选：C。

【考点评析】理解各个数量间的关系是解决本题的关键。

5．（2分）小明有48支铅笔，小方有40支铅笔，小明给小方（　　）支，他们的铅笔就同样多了．

A．4 B．8 C．6

【思路引导】根据题干分析可得，小明拿出比小方多的48﹣40＝8支铅笔后，二人的铅笔数就相等了，再把这8支铅笔平均分给他们，则铅笔数仍然相等，所以小明实际是拿出了4支铅笔给小方，据此即可解答．

【规范解答】解：（48﹣40）÷2

＝8÷2

＝4（支）

答：小明给小方4支，他们的铅笔就同样多了．

故选：A．

【考点评析】解答此题的关键是明确：把小明比小方多出的铅笔数的一半分给小方，二人的铅笔数就相等．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

6．（2分）第一盘有苹果12个，第二盘有苹果22个．要从第二盘拿　5　个苹果放到第一盘，才能使两盘苹果一样多．

【思路引导】由题意可得：两盘的苹果一样多时，各有苹果[（12+22）÷2]个，用第二盘原来的苹果数减去相等时的苹果数，就是应该放到第一盘的苹果数．

【规范解答】解：22﹣（12+22）÷2

＝22﹣34÷2

＝22﹣17

＝5（个）

答：要从第二盘拿5个苹果放到第一盘，才能使两盘苹果一样多．

故答案为：5．

【考点评析】求出两盘的苹果一样多时的数量，是解答本题的关键．

7．（2分）两只青蛙想在两张荷叶上互换位置，一声令下同时跳起来，不料扑通两下都没有到位，两只青蛙相撞跌入水中．落水点离两张荷叶距离的中点有1米．那么，两只青蛙跳的距离相差　2　米．

【思路引导】两只青蛙相撞跌入水中．落水点离两张荷叶距离的中点有1米，所以一只青蛙跳了比两张荷叶距离的一半多1米，另一只青蛙跳了比两张荷叶距离的一半少1米，据此可得两只青蛙跳的距离相差的米数．

【规范解答】解：由题意可得一只青蛙跳了比两张荷叶距离的一半多1米，另一只青蛙跳了比两张荷叶距离的一半少1米，

1+1＝2（米），

答：两只青蛙跳的距离相差2米．

故答案为：2．

【考点评析】本题考查了和差问题，关键是得出一只青蛙跳了比两张荷叶距离的一半多1米，另一只青蛙跳了比两张荷叶距离的一半少1米．

8．（2分）某工厂有3个车间共240名工人．第一车间比第二车间少7人，第二车间比第三车间多11人．第二车间有　86　人．

【思路引导】设第二车间有x人，则第一车间有（x﹣7）人，第三车间有（x﹣11）人，根据等量关系：“第一车间的人数+第二车间的人数+第三车间的人数＝240”，列出方程即可解答．

【规范解答】解：设第二车间有x人，则第一车间有（x﹣7）人，第三车间有（x﹣11）人，

x﹣7+x+x﹣11＝240

              3x＝258

                x＝86，

答：第二车间有86人．

故答案为：86．

【考点评析】本题考查了和差问题，关键是根据等量关系：“第一车间的人数+第二车间的人数+第三车间的人数＝240”，列出方程．

9．（2分）甲、乙、丙三个班共有图书186本．如果甲班向乙班借6本后，又分给丙班1本，这时三个班拥有的图书正好相等．甲原来有　57　本书，乙原来有　68　本书．

【思路引导】用甲、乙、丙三个班共有图书186本除以3，即可得三个班拥有的图书正好相等时的本数，加6本，即可得乙原来有的本数；减1本，即可得丙原来有的本数，用总本数减乙丙原来有的本数，即可得甲原来有的本数．

【规范解答】解：186÷3+6

＝62+6

＝68（本），

186÷3﹣1

＝62﹣1

＝61（本），

186﹣68﹣61

＝118﹣61

＝57（本），

答：甲原来有57本书，乙原来有68本书．

故答案为：57，68．

【考点评析】本题考查了和差问题，关键是利用逆推法解题．

10．（2分）三年级学生共有160人，男生比女生多20人，女生有　70　人．

【思路引导】根据“男生比女生多20人”，说明男女人数相差20人，又三年级学生共有160人，根据和差公式，即可解答．

【规范解答】解：（160﹣20）÷2

＝140÷2

＝70（人）

答：女生有70人，

故答案为：70．

【考点评析】此题主要考查了和差公式的应用，即：（和+差）÷2＝大数，（和﹣差）÷2＝小数，或和﹣大数＝小数．

11．（2分）甲乙两队进行篮球比赛，结果两队总分之和是100分，现在知道甲队加上7分，就比乙队多1分，那么甲队原来得　47　分，乙队得　53　分．

【思路引导】由题意甲队加上7分，就比乙队多1分，可知乙队比甲队多7﹣1＝6（分），也就是甲乙两队的差是6分，已知两队总分之和是100分，根据和差公式，就可求出甲乙两队的分数．

【规范解答】解：由题意可知乙队比甲队多的分数是：7﹣1＝6（分）．根据和差公式可得，

甲队的分数是，（100﹣6）÷2＝47（分）

乙队的分数是，（100+6）÷2＝53（分）

故填：47，53．

【考点评析】根据题意，知道两队的和，再根据题目给出的条件，可以求出两队的差，再根据和差公式就可求出两队各自的分数．

12．（2分）三（2）班图书角上层有88本书，小红把8本上层的书放到下层，下层的书就比上层多8本．三（2）班图书角共有　168　本书．

【思路引导】上层有88本书，把8本上层的书放到下层，用88减去8，求出后来上层的本数，后来下层的书比上层多8本，用后来上册的本数加上8本，求出后来下层的本数，再把上下层的本数相加即可求解．

【规范解答】解：后来上层的本数：88﹣8＝80（本）

后来下层的本数：80+8＝88（本）

总本数：80+88＝168（本）

答：三（2）班图书角共有 168本书．

故答案为：168．

【考点评析】解决本题关键是找清楚上下层本数的变化，分别求出后来的本数，再相加即可．

13．（2分）三（1）班举行联欢会，买来甲、乙两筐橘子共245个，从甲筐取出20个放入乙筐里，甲筐橘子比乙筐还多5个．则甲筐原有橘子　145　个，乙筐原有橘子　100　个．

【思路引导】根据“从甲筐取出20个放入乙筐里，甲筐橘子比乙筐还多5个”可知原来甲筐比乙筐多20×2+5＝45（个），根据和差问题的“（和﹣差）÷2＝较小数”可求得乙筐的个数，进而计算出甲筐的个数．

【规范解答】解：[245﹣（20×2+5）]÷2

＝[245﹣45]÷2

＝200÷2

＝100（个）

245﹣100＝145（个）

答：甲筐原有橘子145个，乙筐原有橘子100个．

故答案为：145、100．

【考点评析】解答此题的关键是根据题干推出甲筐比乙筐多20×2+5＝45（个），进而利用和差问题进行解答即可．

三．判断题（共2小题，满分4分，每小题2分）

14．（2分）（2019秋•淅川县期中）若甲数给乙数12，那么这两个数相等，所以甲数比乙数多12。 　×　（判断对错）

【思路引导】根据题意可知，乙数加12的和等于甲数减去12的差相等，可列式进行计算即可得到答案。

【规范解答】解：甲数﹣12＝乙数+12

甲数﹣乙数＝12+12

甲数﹣乙数＝24

甲数比乙数多24，所以原题说法错误。

故答案为：×。

【考点评析】解答此题的关键是确定甲乙两数之间的关系，然后列式解答后判断即可。

15．（2分）（2019春•铁西区期末）淘气有12本书，笑笑有6本书，淘气给笑笑自己书本数的一半，两个人的书就同样多了。 　×　（判断对错）

【思路引导】淘气给笑笑自己书本数的一半，计算出淘气剩下的本数和笑笑现在的本数，再比较即可。

【规范解答】解：12÷2＝6（本）

淘气有12﹣6＝6（本）

笑笑有：6+6＝12（本）

6＜12

此时笑笑的本数大于淘气的本数。

所以原题说法错误。

故答案为：×。

【考点评析】先计算出笑笑自己书本数的一半，再分别算出淘气给笑笑自己书本数的一半后，两人现在的本数，就可以知道现在他们的本数是否相同。

四．应用题（共14小题，满分70分，每小题5分）

16．（5分）（2021春•简阳市 期末）果园里原有桃树和梨树共371棵，今年又种植了12棵桃树15棵梨树后，两种树的棵数正好一样多。原来两种树各有多少棵？

【思路引导】先用加法求出现在桃树和梨树的总棵数，再除以2求出桃树和梨树的平均数，用平均数分别减去又种植的12棵桃树15棵梨树，就是原来两种树各有的棵数。

【规范解答】解：（371+12+15）÷2

＝398÷2

＝199（棵）

199﹣12＝187（棵）

199﹣15＝184（棵）

答：原来桃树有187棵，梨树有184棵。

【考点评析】明确用平均数分别减去又种植的12棵桃树15棵梨树，就是原来两种树各有的棵数是解题的关键。

17．（5分）（2021春•洪泽区期中）一个篮球和一个足球一共36元，篮球比足球贵6元。一个篮球多少元？

【思路引导】假设篮球和足球的价钱一样，则它们的总价为36+6＝42（元），再用总价除以2等于篮球的单价。

【规范解答】解：（36+6）÷2

＝42÷2

＝21（元）

答：一个篮球21元。

【考点评析】和差问题的公式：（和+差）÷2＝大数。

18．（5分）甲乙两个班共有学生125人，如果从甲班调20人去乙班后，甲班比乙班还多5人，两班原有学生各多少人？

【思路引导】总人数始终是125人，最终甲班比乙班还多5人，根据和差问题公式：（和﹣差）÷2＝较小数，可求出最终甲班65人，乙班60人，再计算原来的人数。

【规范解答】解：（125﹣5）÷2

＝120÷2

＝60（人）

60﹣20＝40（人）

125﹣40＝85（人）

答：甲班原有85人，乙班原有40人。

【考点评析】本题考查的是和差问题，但要注意现在的差是5人，所以需要求出现在的和，而和不变是求解本题的关键。

19．（5分）红红上街花96元买了一件上衣和一条裤子，已知上衣比裤子贵14元。请问红红买上衣和裤子各花多少钱？

【思路引导】根据题意可知，一条裤子和一件上衣的钱数和是96元，上衣与裤子钱数差是14元，由和差公式“(和+差)÷2＝较大数”可求得上衣的价格，计算即可。

【规范解答】解：(96+14)÷2

＝110÷2

＝55(元)

55﹣14＝41(元)

答：红红买上衣花55元钱，裤子花41元钱。

【考点评析】此题主要考查了和差公式的应用，即：(和十差)÷2＝较大数，(和一差)÷2＝较小数，或和﹣较大数＝较小数。

20．（5分）（2022春•涧西区期末）附加题。

小华家养的小黑鸭和小黄鸭一共有30只，如果再买6只小黑鸭，小黑鸭和小黄鸭的只数就一样多，小华家的小黑鸭和小黄鸭各有几只？

【思路引导】根据题意，两种颜色鸭子的和是30只，差是6只，再根据和差问题的解题公式：（和﹣差）÷2＝小数，可以计算出小黑鸭的只数，再用两种颜色鸭子的和减去小黑鸭的只数，可以计算出小黄鸭的只数。

【规范解答】解：（30﹣6）÷2

＝24÷2

＝12（只）

30﹣12＝18（只）

答：小华家的小黑鸭有12只，小黄鸭有18只。

【考点评析】本题解题关键是找出题目中两种量的和与差各是多少，再根据和差问题的解题公式：（和﹣差）÷2＝小数，列式计算。

21．（5分）想一想：有两桶油，从大桶倒入小桶5千克后，大桶里的油就与小桶的油相等，那么，原来大桶的油比小桶的油多多少？

【思路引导】因为大桶油减少几千克，小桶油增加几千克，所以从大桶倒入小桶5千克后，大桶里的油就与小桶的油相等，那么，原来大桶的油比小桶的油多倒入的2倍，据此解答．

【规范解答】解：5×2＝10（千克）

答：原来大桶的油比小桶的油多10千克．

【考点评析】此题属于易错题，应明确：如果甲给乙n个物体，这时甲和乙物体的个数相等，则原来甲比乙要多2n个物体．

22．（5分）（2022春•台儿庄区期末）李亮、王强、张兰共有60张卡片。如果李亮给王强10张，王强再给张兰5张，这时他们三人的卡片张数就相等。王强原来有多少张卡片？

【思路引导】先用三人共有卡片的张数之和除以3，可以计算出三人卡片相等时每人的张数，再用王强现在的张数加上5，再减去10，可以计算出王强原来有多少张卡片。

【规范解答】解：60÷3＝20（张）

20+5﹣10

＝25﹣10

＝15（张）

答：王强原来有15张卡片。

【考点评析】本题解题关键是用三人共有卡片的张数之和除以3，计算出三人卡片相等时每人的张数，再用“还原”的思想，计算出王强原来有多少张卡片。

23．（5分）（2015春•淮安月考）两筐水果共重50千克，如果从第一筐取出5千克放入第二筐中，那么第一筐还比第二筐多4千克．两筐原有水果各多少千克？

【思路引导】先求出第一筐比第二筐多的千克数，用总的减去多的除以2就是第二筐的千克数，用总的千克数减去第二筐的千克数就是第一筐千克数．

【规范解答】解：第一筐比第二筐多：4+5×2＝14（千克）

第二筐：

（50﹣14）÷2

＝36÷2

＝18（千克）

第一筐：50﹣18＝32（千克）

答：原来第一筐水果重32千克，第二筐水果重18千克．

【考点评析】本题主要考查了整数的复合应用题，解题的关键是求出第一筐比第二筐多的千克数．

24．（5分）（2012春•杭州校级月考）师傅和徒弟两小时一共完成110个零件，其中师傅每小时比徒弟多完成5个，师傅和徒弟每小时分别完成几个零件？

【思路引导】根据师傅每小时比徒弟多完成5个，设徒弟每小时完成x个，则师傅每小时完成x+5个，再根据师傅和徒弟两小时一共完成110个零件，列出方程解答即可．

【规范解答】解：设徒弟每小时完成x个，则师傅每小时完成x+5个，

（x+x+5）×2＝110，

        2x+5＝110÷2，

          2x＝55﹣5，

           x＝25，

25+5＝30（个）；

答：师傅和徒弟每小时分别完成30个，25个．

【考点评析】有关差倍问题的应用题，最好列方程，关键是根据题意，设出未知数，再根据所给出的信息，列出方程即可．

25．（5分）（2020秋•郏县月考）文具批发商店一共有1000个排球和篮球，卖掉120个排球后，排球的个数与篮球一样多，商店原来有篮球、排球各多少个？

【思路引导】根据“卖掉120个排球后，排球的个数与篮球一样多”，可以推测排球比篮球多120个，再根据和差问题的解题公式：（和﹣差）÷2＝小数，计算出篮球的个数，再用1000减去篮球的个数，计算出排球的个数。

【规范解答】解：（1000﹣120）÷2

＝880÷2

＝440（个）

1000﹣440＝560（个）

答：商店原来有篮球440个，排球560个。

【考点评析】本题解题关键是找出题目中两种量的和与差各是多少，再根据和差问题的解题公式：（和﹣差）÷2＝小数，列式计算。

26．（5分）（2018秋•泗洪县校级期末）姐姐和妹妹共有540元，姐姐用掉60元后，就和妹妹的钱同样多．原来姐姐有多少元？妹妹有多少元？

【思路引导】根据题意可知 姐姐比妹妹多60元，用姐妹共有的钱减去姐姐多的，就是姐妹同样多时，两人共有的钱数，再除以2即可求出妹妹的钱数，再用妹妹的钱数加上60元就是姐姐的钱数．

【规范解答】解：妹妹的钱数：（540﹣60）÷2＝240（元），

姐姐的钱数：240+60＝300（元），

答：原来姐姐有300元，妹妹有240元．

【考点评析】此题关键是明白如果姐姐用掉60元后，两个人钱一样多，是说姐姐比妹妹多60元，再根据题中数据解答即可．

27．（5分）（2015春•成都校级期末）数学兴趣小组共有学生45人，男生比女生多3人，这个兴趣小组男生、女生各有多少人？

【思路引导】根据题意，总人数减去3人就是男生和女生人数的2倍，除以2即可得出女生人数，女生人数加上3就是男生人数．

【规范解答】解：

女：（45﹣3）÷2

＝42÷2

＝21（人）

男：21+3＝24（人）

答：这个兴趣小组男生24人，女生21人．

【考点评析】解答本题的关键是根据题意求出女生的人数．

28．（5分）（2020秋•丰县期末）李平家收获的核桃和红枣一共43袋．卖掉15袋核桃后，剩下的核桃和红枣袋数相等．他家收获的红枣有多少袋？核桃有多少袋？

【思路引导】卖掉15袋核桃后，剩下的核桃和红枣共43﹣15＝28（袋），因为袋数相等，红枣的袋数又没变，所以用28袋除以2即可得他家收获的红枣有多少袋，再求核桃有多少袋即可．

【规范解答】解：（43﹣15）÷2

＝28÷2

＝14（袋）

43﹣14＝29（袋），

答：他家收获的红枣有14袋，核桃有29袋．

【考点评析】本题考查了和差问题，关键是抓住红枣的袋数没变．

29．（5分）（2017秋•浦口区期末）赵华家今年收获的核桃和红枣一共51袋．卖掉15袋核桃后，剩下的核桃和红枣袋数相等．他家今年收获的红枣和核桃各有多少袋？

【思路引导】卖掉15袋核桃后，核桃的数量减少15袋，而红枣的袋数不变，此时剩下的核桃和红枣袋数相等，先用原来的总袋数减去15袋，求出后来的总袋数，再除以2，就是后来核桃和红枣各有多少袋，再加上15袋，就是原来核桃的袋数．

【规范解答】解：（51﹣15）÷2

＝36÷2

＝18（袋）

18+15＝33（袋）

答：他家今年收获的红枣18袋，核桃有33袋．

【考点评析】解决本题关键是明确减少的袋数是核桃的袋数，红枣的袋数不变，根据后来的袋数相等即可求出后来各有多少袋，进而求解