15初中数学.直线与圆的位置关系.第15讲

模版一  直线与圆位置关系的确定

设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

二．切线的性质及判定

1. 切线的性质

（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心

①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．

②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．

③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．

2. 切线的判定

（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

3. 切线长和切线长定理

（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

三．三角形的内切圆

1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系

设．．分别为中．．的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则．

【例1】         （2011•成都）已知的面积为，若点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（  ）

A．相交    B．相切    C．相离    D．无法确定

【难度】1星

【解析】设圆的半径是，根据圆的面积公式求出半径，再和点到直线的距离π比较即可．

【答案】设圆的半径是，

则，

∴，

∵点到直线的距离为，

∵，

即：，

∴直线与的位置关系是相离，

故选．

【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当时相离；当 时相切；当 时相交．

【巩固】（2010•湘西州）如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（  ）

A．相离    B．相交    C．相切    D．不能确定

【难度】1星

【解析】欲求圆与的位置关系，关键是求出点到的距离，再与半径进行比较．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．

【答案】∵圆的半径是，圆心到直线的距离也是，

∴直线与圆相切．

故选．

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

【巩固】已知⊙O的半径为，点是直线上一点，长为，则直线与的位置关系为（  ）

    A．相交    B．相切    C．相离    D．相交．相切．相离都有可能

【难度】1星

【解析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：

若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．

【答案】∵垂线段最短，∴圆心到直线的距离小于等于．

此时和半径的大小不确定，则直线和圆相交．相切．相离都有可能．

故选．

【点评】判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．

特别注意：这里的不一定是圆心到直线的距离．

【巩固】中，，，．给出下列三个结论：

（1）以点为圆心，2.3 cm长为半径的圆与相离；

（2）以点为圆心，2.4 cm长为半径的圆与相切；

（3）以点为圆心，2.5 cm长为半径的圆与相交；

则上述结论中正确的个数是（  ）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【难度】2星

【解析】此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过作于，根据勾股定理得，再根据直角三角形的面积公式，求得．（1），即，直线和圆相离，正确；（2），即，直线和圆相切，正确；（3），，直线和圆相交，正确．共有3个正确．

【答案】（1），，直线和圆相离，正确；

（2），，直线和圆相切，正确；

（3），，直线和圆相交，正确．故选．

【点评】此题首先根据勾股定理以及直角三角形的面积公式求得直角三角形斜边上的高．掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系时解决问题的关键．

【拓展】已知：点到直线的距离为，以点为圆心，为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线的距离均为，则半径的取值范围是（  ）

A．    B．    C．    D．

【解析】首先要确定所画的圆与直线的位置关系．根据题意可知，圆与直线有两种情况符合题意：当圆与直线外离时，即可；当圆与直线相交时，要求，所以．

【答案】根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，

则当圆与直线外离时，；

当圆与直线相交时，；

所以．

故选．

【点评】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．

【例2】         如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（）

A．相离    B．相切    C．相交    D．相切或相交

【难度】2星

【解析】作于点．根据三角函数求的长，与圆的半径比较，作出判断．

【答案】作于点．

∵，，

∴，等于半径．

∴与相切．

故选．

【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．

【巩固】如图，在直角梯形中，，，且，是的直径，则直线与的位置关系为（   ）

 A．相离    B．相切    C．相交    D．无法确定

【难度】2星

【解析】要判断直线与的位置关系，只需求得的中点到的距离，根据梯形的中位线定理进行求解．根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．

【答案】作于．

∵，，，

∴，

又，

∴．

∴．

又，

∴，

即圆心到直线的距离小于圆的半径，则直线和圆相交．

故选．

【点评】此题要利用梯形的中位线定理，得到圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，从而解决问题．

【巩固】正方形中，点是对角线上的任意一点（不包括端点），以为圆心的圆与相切，则与的位置关系是（   ）

A．相离    B．相切    C．相交    D．不确定

【难度】2星

【解析】根据正方形的对角线平分一组对角，以及角平分线上的点到角两边的距离相等，得点到的距离等于点到的距离．所以若以为圆心的圆与相切，则与的位置关系是相切．

【答案】∵点到的距离等于点P到的距离，以为圆心的圆与相切，

∴与的位置关系是相切．

故选．

【点评】综合运用了正方形的性质和角平分线的性质．

【拓展】如图，矩形（）与矩形全等，点在同一条直线上，的顶点在线段上移动，使为直角的点的个数是（   ）

A．0    B．1    C．2    D．3

【难度】3星

【解析】要判断直角顶点的个数，只要判定以为直径的圆与线段的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．

【答案】连接．．，如图在中，∵，∴，然后画出以为直径半圆，发现存在的点实际上有两个

【点评】本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决．

【例3】         如图，点在轴上，交轴于两点，连接并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，．若函数（）的图象过点，则的值是（   ）

 A．    B．﹣4    C．    D．4

【难度】3星

【解析】本题的关键是求出点的坐标，由于是的直径，那么连接后三角形就是直角三角形，已知，的长，可通过勾股定理求出的值，那么即可得出点的坐标，将的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出的值．

【答案】连接，则，如图所示：

在中，，，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴的坐标为，将的坐标代入（）中，可得故选B．

【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的方法，难度适中，主要掌握用数形结合的思想求出点的坐标是解题的关键．

【巩固】已知在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，则直线（）与的位置关系是（   ）

A．相切    B．相交    C．相离    D．与值有关

【解析】要判断直线（）与的位置关系，只需求得直线和轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析．

【答案】因为直线与y轴的交点是，所以．

则圆心到直线的距离一定小于1，所以直线和一定相交．故选．

【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．

【例4】         如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切点，则当最小时，点的坐标为（   ）

A．（﹣4，0）               B．（﹣2，0）    

C．（﹣4，0）或（﹣2，0）    D．（﹣3，0）

【难度】3星

【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．

【答案】连接，．

根据切线的性质定理，得；

要使最小，只需最小，

则根据垂线段最短，则作轴于，即为所求作的点；

此时点的坐标是．

故选．

【点评】此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．

【巩固】如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与、分别相交于点、，则线段长度的最小值是（     ）

A．    B．    C．    D．8

【难度】3星

【解析】取中点，作于点点，连接，当连接，根据三边关系∵，当三点共线时，直径取得最小值，∴

【答案】B

【巩固】如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是

A．2        B．1              C．            D．

【难度】3星

【解析】过点作，ABE面积的最小值，即最小，故最小，最大，即为的切线，∵，故

【答案】C

模版二  切线的性质及判定

☞切线的性质

【例5】         如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，，，则切线        ．

【题型】填空

【解析】略

【答案】4

【巩固】如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半径为2，则的长为（    ）

A．  B．  C．2  D．4

【难度】2星

【解析】根据切线的性质结合三角函数求线段长度，所以答案选A．

【答案】A

【巩固】如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，，则___________．

【考点】切线的性质及判定，公共边型的相似问题

【题型】填空

【难度】3星

【关键词】

【解析】连结，

，

∴，

∵是半圆的切线，∴，

又，∴，

∴．

【答案】

☞切线的判定

【例6】         如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．

判断直线和的位置关系，并给出证明；

【难度】3星

【解析】倒角

【答案】∵，，

∴．∵，

∴．∴．

即．∴直线和相切．

【巩固】如图，已知的弦垂直于直径，垂足为，点在上，且，延长到点，连结，若，试判断与的位置关系，并说明理由．

【难度】3星

【解析】略

【答案】连结

∵，∴

∵，∴，∴

∵，∴

∵，∴

∴，即

∴与相切．

【巩固】已知：如图，内接于，是过的一条射线，且．求证：是的切线．

【难度】3星

【解析】略

【答案】如图，过作的直径，连接

∵为直径，

∴，∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴

∴为切线．

点评：若已知直线与圆有公共点时，则连接圆心和公共点，只要证明这条直线垂直于经过这个公共点的半径(有时候过这个公共点作直径更方便)即可．

【巩固】已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分．求证：为的切线．

【难度】3星

【解析】略

【答案】连结

∵平分，

∴

∵，∴

∴，

∴

∵，

∴

∴为的切线．

☞求线段长

【例7】         已知：如图，中，，是的切线，以为直径的交于点，于点．若，，求的值．

【难度】2星

【解析】连接，根据已知可求得的长，从而可求得的长．

【答案】连接，

∵是直径，

∴；

∵，，

∴，

∴，

∴．

【巩固】如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，求的长．

【难度】3星

【解析】连接，证即可．根据题意，证可得，从而，得证；根据垂径定理可求后求解．在中，根据三角函数可得．结合求，从而得解．

【答案】连接

∵，∴．

由翻折得，，．

∴，∴．

∴．

∴直线与相切．

在中，，

∴．

在中，．

∵直径垂直于弦，

∴．

【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．

【巩固】如图，的直径，弦．过点作直线，使．延长交于点，求的长．

【解析】先证明为的切线，然后利用相似

【答案】∵=

∵

∴

∴，

∴

1．     已知，点在的平分线上，，以为圆心3cm为半径作圆，则与的位置关系是________．

【难度】2星

【解析】结合直角三角形30°所对直角边是斜边一半求出O到直线BC的距离，从而根据圆半径判断直线与圆的位置关系，答案是相交．

【答案】相交

2．     如图，以等腰中的腰为直径作，交于点．过点作，垂足为．

（1）求证：为的切线；

（2）若的半径为5，，求的长．

【难度】3星

【解析】（1）证明：连接，．

∵是直径，∴，即

又∵，∴，∴

又∵，∴

∴是的切线

（2）易知

∴．

【答案】见解析

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1．     如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．

【难度】3星

【解析】略

【答案】（1）如图所示，过点作于．

∵为的切线，平分，

∴

∴是的切线；

（2）在和中，

∵，，

∴

∴

又

∴．

2．     已知：如图，为上一点，交于，连结，且．求证：（1）为的切线；（2）．

【难度】3星

【解析】略

【答案】（1）连结并延长交于，连结．

可知是的直径，∴，∴

∵，∴，

∴

∵是直径，∴是的切线．．

（2）∵是公共角，

∴，

∴，即．

点评：不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．

3．     如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长．

【难度】3星

【解析】略

【答案】（1）证明：连接，∵平分，∴．

∵，∴．∴．

∴．∵，∴，

∴．

∴是的切线．

（2）∵是直径，∴．

∵，

∴．

∵平分，∴

∴．在中，，，∴．在中，，，∴．

∵的长时，∴的长是．