6初中数学全等三角形（三）.第06讲

常见辅助线的作法有以下几种：

1)        遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)        遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)        遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)        过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)        截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、借助角平分线造全等

【例1】         如图，中，平分，且平分，

于，于. （1）说明的理由；（2）如果，，求的长.

【解析】构造全等

【答案】（1）连接、，显然，因为为角分线，所以，，所以

     （2）显然,所以，所以

【例2】        如图，已知中，，，平分， 求证：.

【解析】有垂直和角平分线想等腰三角形

【答案】延长与的延长线交于点，因为为角平分线和垂线，所以显然即

        证，所以

【例3】         如图，，平分，且，求证：.

【解析】略

【答案】上取所以，

又可证，所以.

【例4】         如图，平分，，且，求证：.

【解析】略

【答案】过作的垂线交延长线于，

二、倍长中线（线段）造全等

【例5】         已知，如图中，，，则中线的取值范围是_________.

【解析】延长至使，连接.利用三角形三边关系

【答案】

【例6】         如图，中，分别在上，，是中点，试比较与的大小.

【解析】略

【答案】延长至使，所以有和，所以。

所以结论成立。

【例7】         如图，中，。

求证：.

【解析】略

【答案】连接，，所以，所以

【例8】         如图，，.求证：

【解析】略

【答案】连接，，易证，所以，再证

得证

【例9】         如图，中，，是的中点，求证：平分.

【解析】略

【答案】倍长至连所以，显然所以

即平分

【例10】     如图，，为的中点，，求证：

【解析】略

【答案】倍长至连易证得出相对应的角与边相等再证

即

三、补形法

【例11】     如图，在凸五边形中，，，，是的中点. 求证：.

【解析】略

【答案】延长与的延长线交于，的延长线与的延长线交于，证明

，所以，所以所以.

【例12】     如图，在四边形中，，，若这个四边形的面积为，则=___________.

【解析】如图：过做，，证，所以

【答案】8

四、平移变换

【例13】     在的边上取两点，使，过分别作的平行线，分别交于. 求证：.

【解析】过作交于点，易证，。显然，，结论成立。

【答案】如图

【例14】     如图，在内存在一点，求证：

【解析】延长交于，由三角形三边关系，，。代入得出结论

【答案】略

【例15】     如图，在的边上取两点，且，求证：.

【解析】过做且，连接，易证，，易证

       即结论得证

【答案】如图

五、对称

【例16】     如图，中，由点作边上的高线，垂足为. 如果，求证：.

【解析】在上截取，，，，所以。得证

【答案】略

【例17】     如图，中，，为的平分线上的一点，求证：.

【解析】在上截取一点使，故，

所以

【答案】略

【例18】     如图，四边形中，，求证：

【解析】取的交点，在上去点使得，去的交点

所以，，，两个不等式相加，故

，即

【答案】略

六、旋转

【例19】     正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数.

【解析】延长，在的延长线上取一点，使得，故 ，

所以

【答案】略

【例20】     如图，已知，是边上的中线，分别以边，边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：

【解析】倍长至点，连接，故，所以

【答案】略

1. 如图所示．是等腰三角形，分别是腰及延长线上的一点，且，连接交底于．求证：．

【解析】法一：过作的垂线，法二：过点作的平行线，法三：过作的平行线

【答案】略

2. 如图所示．在等边中，，，交于点，于．

求证：．

【解析】，，故，所以

【答案】略

3. 如图所示．，，是边的中点，交于，交于．求证：．

【解析】延长，过点作的垂线交的延长线于点，故，，所以

【答案】略

4. 如图所示．正方形中，在边上任取一点，连，过作，交于，交于，正方形对角线交点为，连．求证：．

【解析】，，，故，，所以

【答案】略

5. 如图所示．已知正方形中，为的中点，为上一点，

且．求证：．

【解析】取中点，故，，过点作，连接，，，所以

【答案】略