5初中数学全等三角形（二）第05讲

一：全等三角形（二）

【例1】         已知：如图，点在同一条直线上，

．求证：

【解析】利用

【答案】略

【例2】         如图，和均为等腰直角三角形，，连接．求证：

【解析】利用

【答案】略

【例3】         已知：如图，为上一点．

求证：

【解析】利用

【答案】略

【例4】         已知：如图，,点是的中点，平分．，垂足为，求证：．

【解析】先利用，然后利用

【答案】略

【例5】         已知：如图，在正方形中，分别是上的点，且．求证：

【解析】利用

【答案】略

【例6】         已知：如图，是正方形．是上的一点，于，于．（1）求证：；（2）求证：．

【解析】（1）利用角角边证（2）利用对应边来证明

【答案】略

【例7】         如图，是的外角的平分线上的点（不与重合），求证：.

【解析】由所求证的结论可以初步断定利用截长补短法，再由大于号和所给的图形，估计出根据三角形的两边之和大于第三边来证明，由此可以进行初步的尝试，最后得到：在射线上找一点，使，连接．很容易证明：，得到，在中，有，即，得证：．

【答案】略

【例8】         如图，已知，，，.

求证：（1）；（2）

【解析】（1）根据题中条件，利用三角形全等的判定定理，可证明，即．（2）设与的交点为．根据第一问可知：，又在中，即，，得证：．

【答案】略．

【例9】         如图，在线段、上有一点，使得 ，，求证：.

【解析】连接，，，，故

【答案】略

【例10】     如图所示，在中，，的角平分线相交于。求证：.

【解析】在上取一点，使得，，，故

【答案】略

【例11】     已知：如图，中，，是上一点，于，交于，且有．求证：.

【解析】在上去中点，，故

【答案】略

【例12】     已知：如图，在中，，是的平分线。求证：.

【解析】在上取一点使得，连接，，故

【答案】略

【例13】     已知：如图，过的顶点，在内任引一射线，过作此射线的垂线。设为的中点。

求证：.

【解析】延长交于点，，故点为中点，所以

【答案】略

【例14】     已知：如图，四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明．①,②③，④

【解析】任意选两角一边都行

【答案】略

【例15】     直线经过的顶点，．分别是直线上两点，且．（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若则      （填“”，“”或“”）；

②如图②，若，若使①中的结论任然成立，则与应满足的关系式       

（2）如图3，若直线经过的外部，，请探究与三条线段的数量关系，并给予证明．

                     图①                 图②                 图③

【解析】略

【答案】（1）①，②+=（2） 证明略

【例16】     将两个全等的直角三角形和按图①方式摆放，其中

点落在上，所在直线交所在直线于点．

（1）求证：；

（2）若将图①中的绕点按顺时针方式旋转角，且，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图③．你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时与之间的关系，并说明理由．

                                 图①                   图②                 图③

【解析】略

【答案】（1）连接，证明，得出，利用（2）同第一问的方法

（3）同第一问的方法

1. 如图，在中，，为边上的中线，求证：.

【解析】根据题中的求证，以及所学的内容，初步可以推断解答本题所需的理论知识为：同一三角形当中大边对大角．

【答案】过点作的平行线交的延长线于点．

∵，点为线段的中点

∴，，

在中，

∵

∴

∴

2. 如图，是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点，

（1）若，问是等边三角形吗？

试证明你的结论；

（2）若是等边三角形，问成立吗？

试证明你的结论．

【解析】（1）根据条件可以证明：，所以．

（2）根据是等边三角形，可以利用来证明，得到

【答案】（1）∵是等边三角形，

∴

∴

∴

∴是等边三角形

（2）∵且

∴

同理：

易证：（）

∴

是等边三角形

3. 如图所示．相交于点，且，，．

求证：．

【解析】，所以

【答案】略

4. 如图所示．正中，分别为的中点，为上任意一点(不同于 )，且为正三角形．求证：．

【解析】连接，故，所以

【答案】略

5. 如图所示．为正方形对角线上任一点，，．

求证：．

【解析】连接，延长交于点，，因为，所以

【答案】略