【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题14《分式不等式》讲学案

分式不等式

 分式不等式的解法主要就是通过讨论分子和分母的符号求不等式的解集：

1. 分式不等式的定义：如或（其中、为整式且不为0）的不等式称为分式不等式；

2. 分式不等式的解法：

①根据分式不等式的符号，确定分子和分母是同号还是异号；

②根据分子和分母的符号列出不等式组；

③求出不等式组的解集，即为原分式不等式的解集.

例1：标准型分式不等式的解法

解不等式：

【解答】

【解析】原不等式可化为或，

解得或，

∴原不等式的解集为.

例2：非标准型分式不等式的解法

解不等式：

【解答】

【解析】先将原不等式化为，

即，∴，

由于，

∴进一步转化为，

即，解得，

∴原不等式的解集为.

巩固练习

一、选择题

1. 不等式的解集是   （　　）

Ａ.　  Ｂ.       Ｃ.　　　 Ｄ.

【解答】D

【解析】原不等式可化为或，解得，故选D.

2.  与不等式同解的不等式是  （　　）

Ａ. Ｂ.   Ｃ.　　Ｄ.

【解答】A

【解析】由同号原理可直接得到A选项正确.

3.  不等式的解集是   （　　）

Ａ.   Ｂ.    Ｃ.　 Ｄ.

【解答】C

【解析】先将原不等式化为，

即，化简得，

即，解得，故选C.

4. 不等式的解集为（   ）

A.     B.

C.    D.

【解答】C

【解析】原不等式可化为，

即，

解得或，故选C.

5. 不等式的解集为（    ）

A.   B.   C.   D.

【解答】C

【解析】由题意可知，，

原不等式可化为，

解得，故选C.

二、填空题

6．如果一个分式不等式的解集是，，这个分式不等式可以是               ．

【解答】解：一个分式不等式的解集是，，则这个分式的分母中有因式，分子中有因式，

且分式的值小于或等于零，故这个分式不等式可以是，

故答案为．

7.不等式的解集是         ．

【解答】

【解析】原不等式可化为，

即，解得，

∴原不等式的解集为.

8.不等式的解集是               .

【解答】

【解析】原不等式可化为，

即，

解得，

故原不等式的解集为.

9.已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为 　        　．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，

∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．

解得x＜﹣2或x＞4，

∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．

故答案是：x＜﹣2或x＞4．

10. 不等式的解集是__________．

【解答】

【解析】原不等式可化为，即，

化简得，∴，∴，

故原不等式的解集为.

11. 不等式的解集是                   .

【解答】

【解析】移项得，

通分得，

去括号得，

合并同类项得，

不等式两边同时乘以2得，

变形得，

拆项得，

化简得，

整理得，

即，

解得，

故原不等式的解集为.

三、解答题

12．解下列分式不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）．

【解答】解：（1）原不等式可化为：

或，

解得：或；

（2）原不等式可化为：

或，

解得：；

（3）原不等式可化为：，

解得：；

（4）原不等式可化为：，

即或，

解得：或．

13．已知集合既是分式不等式的解集，又是一元二次不等式的解集．

（1）求集合；

（2）求实数，的值．

【解答】解：（1）或，

所以集合，，．

（2）根据集合为一元二次不等式的解集，则方程的根即为，，

由韦达定理知．

14．先阅读理解下面的例题．再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0．

解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），

∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0．

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①，②解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2．

∴x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2

（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　x＞4或x＜﹣4　；

（2）分式不等式0的解集为　x＞3或x＜1　；

（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0；

（4）求使代数式有意义的x的取值范围．

【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）

∴x2﹣16＞0可化为

（x+4）（x﹣4）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

①，

②，

解不等式组①，得x＞4，

解不等式组②，得x＜﹣4，

∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，

即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．

（2）∵0，

∴或，

解得：x＞3或x＜1

（3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）

∴2x2﹣3x＜0可化为

x（2x﹣3）＜0

由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得

①或②，

解不等式组①，得0＜x，

解不等式组②，无解，

∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x；

（4）由题意得x2﹣1≥0，

（x+1）（x﹣1）＞0，

①，②，

解不等式组①，得x≥1，

解不等式组②，得x≤﹣1，

即x的取值范围为x≥1或x≤﹣1．