【暑假培优训练】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假第13天：《多边形的内角和》提升训练

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第13天：多边形的内角和
1．若从n边形的一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则该n边形的内角有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：多边形的边数为2+3=5．
故选：D
【点评】此题主要考查了多边形的对角线，熟练掌握一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3是解题的关键．
2．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形的边数是（       ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】由过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，列出等式计算即可．
【详解】解：∵过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，
∴n－2=7，
∴n=9，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的对角线把多边形分成三角形的个数，能熟练掌握多边形的边数与多边形对对角线分成的三角形的个数之间的关系是解决本题的关键．
3．若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（       ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】根据从n边形的一个顶点作对角线的条数为(n-3)条，即可得出答案．
【详解】根据题意可知，
解得：．
故选B．
【点评】本题考查多边形的对角线．掌握从n边形的一个顶点可作(n-3)条对角线是解题关键．
4．五边形的对角线一共有（       ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】A
【解析】利用n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线．从n个顶点出发引出(n−3)条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n(n−3)（n≥3，且n为整数）计算．
【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，
故选A．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形的对角线的算法．
5．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（       ）
A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18
【答案】A
【解析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.
【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，

如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，

如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，

故选：
【点评】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.
6．小明同学在计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2000°，则n等于（       ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【解析】设少输入的内角度数为，然后根据多边形内角和公式列方程计算即可．
【详解】设少输入的内角度数为（），
由题意得 ，
当时，内角和为2160°，
解得 ，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，即，解题的关键在于明确多边形的内角和是180°的整数倍．
7．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（            ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【解析】从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【详解】解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
8．下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（　　）.
A．正六边形和正五边形 B．正八边形和正三角形
C．正五边形和正八边形 D．正六边形和正三角形
【答案】D
【解析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A.正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B.正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D.正六边形的每个内角是180°-360°÷6=120°，正三角形的每个内角是60°，2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；
故选：D.
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
9．客厅的地面是长6米、宽4.8米的长方形，如果要用完整的地砖铺满客厅的地面，那么下列规格的地砖（单位：厘米）中，可以选择（　　）
A．48×48 B．50×50 C．60×60 D．80×80
【答案】C
【解析】先换算6米＝600厘米，4.8米＝480厘米，再找600和480的公约数即可得到结论．
【详解】解：6米＝600厘米，4.8米＝480厘米，
600和480的最大公约数是120，
选项中只有60是120的因数．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的密铺，找到600和480 的公约数是解题的关键．
10．若多边形的内角和是，则此多边形的边数为（       ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【解析】根据多边形内角和可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故选D．
【点评】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
11．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____．

【答案】20，22，26，28
【解析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长；
【详解】解：①如图周长=20；

②如图周长=22；

③如图周长=26；

④如图周长=28；

⑤如图周长=22；

∴四边形的周长为：20，22，26，28；
故答案为：20，22，26，28．
【点评】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键．
12．从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形．边形没有对角线，则的值为______．
【答案】10
【解析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2，三角形没有对角线，依此求出m、n、k的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：对角线的数量m=6-3=3条；
分成的三角形的数量为n=6-2=4个；
k=3时，多边形没有对角线；
m+n+k=3+4+3=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2．
13．下列说法：①41.25°等于；②从十边形的一个顶点出发，分别连接这个点和其余各个顶点，可得到8个三角形；③若，则的补角为20°；④已知点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，若线段，则线段的长为8或10．其中正确的有______．（填序号）
【答案】①②④
【解析】根据角度制，多边形对角线分三角形个数公式，补角的定义，线段中点的定义逐一判断即可．
【详解】解：①，说法正确；
②从十边形的一个顶点出发，分别连接这个点和其余各个顶点，可得到10-2=8个三角形，说法正确；
③若，则的补角为110°，说法错误，不符合题意；
④知点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，若线段，则，
∵点D是线段的三等分点，
∴或，
∴或10，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了角度制，多边形对角线分三角形个数公式，补角的定义，线段中点有关的计算，熟知相关知识是解题的关键．
14．定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段____相连组成的______ 图形叫做多边形，各边相等______也相等的多边形叫做正多边形．
【答案】     首尾顺次     封闭     各内角
【解析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可．
【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．
故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角．
【点评】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义．
15．过多边形的一个顶点作对角线，可将多边形分成5个三角形，则多边形的边数是______．
【答案】7
【解析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成（n﹣2）个三角形，依此可得n的值．
【详解】解：设多边形的边数为n，
由题意得，n﹣2＝5，
解得：n＝7，
即这个多边形是七边形．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
16．正八边形一个外角的大小为________度．
【答案】
【解析】根据正八边形得出八个内角都相等，再因为每个内角与它相应的外角互补，且多边形外角和为，算出正八边形一个外角的大小．
【详解】解：∵正八边形，
∴正八边形八个内角都相等，
∵正八边形的每个内角和它对应的外角互补，且外角和，
∴正八边形有八个相等的外角，
∴正八边形一个外角为，
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，正确理解以上图形性质是解题的关键．
17．一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是__边形．
【答案】六
【解析】根据多边形的内角和公式即可求出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
则这个多边形的边数是六，
故答案为：六．
【点评】本题考查了多边形的内角和，本题易错点答案写成六，而不能写成6．
18．商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．
（1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有__
（2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有__．
【答案】     ①②③     ①和②；①和③；②和④
【解析】几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．据此作答．
【详解】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为
（1）∵
使用其中的一种规格的地砖，那么有：正方形、正三角形、正六边形，一共3种方案；
（2）∵
使用其中两种地砖镶满地面，那么有：正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形，一共3种方案；
故答案为：（1）①②③；（2）①和②；①和③；②和④．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
19．多边形的内外角和：
n边形(n≥3)的内角和是___________外角和是______正n边形的每个外角的度数是______，每个内角的度数是___________ ．
【答案】                   
【解析】根据多边形的内角和定理和外有和定理求解即可．
【详解】解：n边形(n≥3)的内角和是
n边形(n≥3)的外角和是
正n边形的每个外角的度数是的，每个内角的度数是
故答案为：；；；
【点评】本题主要考查多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和与外角．
20．如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝____°．

【答案】48
【解析】设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°，则∠B4B3D=72°，由平行线的性质得出∠EDA3=∠B4B3D=72°，再由四边形内角和即可得出答案．
【详解】设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：

∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和=（6-2）×180°=720°，
∴∠A1A2A3=∠A2A3A4= ，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠B2B3B4= ，
∴∠B4B3D=180°-108°=72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3=∠B4B3D=72°，
∴α=∠A2ED=360°-∠A1A2A3-∠A2A3A4-∠EDA3=360°-120°-120°-72°=48°，
故答案为：48．
【点评】本题考查了正六边形的性质、正五边形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．
21．从四边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？六边形……n边形呢？和同伴交流你的想法．

【答案】见解析
【解析】根据图形，得出从多边形一个顶点可以画出多少条对角线即可．
【详解】解：由图形可知，从四边形的一个顶点出发，可以画出1条对角线；
从五边形的一个顶点出发，可以画出2条对角线；
从六边形的一个顶点出发，可以画出3条对角线；
从七边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线；
可以发现，从多边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数比边数少3；
从n边形的一个顶点出发，可以画出（n-3）条对角线；
因为从一个顶点出发，有它本身这个顶点和左右相邻的各一个顶点不能连出对角线，故从多边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数比边数少3；
【点评】本题考查了多边形对角线的条数问题，解题关键是准确识图，通过计算发现规律．
22．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O．利用尺规，按下列要求作图：
（1）在射线上作线段，使它们分别与线段a相等；
（2）在射线OD上作线段，使与线段b相等；
（3）连接．
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．

【答案】见解析；四边形（筝形）
【解析】（1）根据尺规作图的方法作出线段即可；
（2）根据尺规作图的方法作出线段即可；
（3）根据（1）（2）作出的线段围成的图形即可判断．
【详解】解：（1）如图所示，根据题意作出线段；
（2）如图所示，根据题意作出线段；
（3）如图所示，多边形是一个四边形（筝形）．

【点评】此题考查了尺规作图的方法，四边形的概念，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法．
23．三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)分别写出三角形ABC各顶点的坐标：A_____，B______，C______
(2)三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
(3)求三角形ABC的面积．
【答案】(1)（1，3），（2，0），（3，1）；
(2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位
(3)2
【解析】（1）直接写出个点的坐标，即可求解；
（2）根据点A（1，3）的对应点为，即可求解；
（3）用长方形的面积减去三角形ABC周围3个三角形的面积，即可求解．
(1)
解：根据题意得：点A（1，3），B（2，0），C（3，1）；
故答案为：（1，3），（2，0），（3，1）；
(2)
解：根据题意得：点A（1，3）的对应点为，
∴三角形是由三角形ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到的；
(3)
解：三角形ABC的面积=
．
【点评】本题考查坐标与图形变化一平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积．
24．【教材重现】如图是数学教材第135页的部分截图．
在多边形中，三角形是最基本的图形．如图4.4.5所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．

数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？
在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．
【问题思考】结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表：
多边形边数
四
五
六
……
十二
……
n
从一个顶点出发，得到对角线的数量
1条
　 　
　 　
……
　 　
……
　 　

【问题探究】n边形有n个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导出，n边形共有 　 　对角线（用含有n的代数式表示）．
【问题拓展】
（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　 　条线段．
（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　 　条线段．
（3）已知平面上共有x个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　 　条线段（用含有x的代数式表示，不必化简）．
【答案】规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数； 2条，3条，9条，条；条；（1）6；（2）105；（3）
【解析】通过观察多边形边数与其分割的三角形个数，即可发现规律
利用规律，多边形的边数一个顶点出发的对角线数，直接填写表格即可
先求出所有顶点得到的对角线之和，最后除以2即可得到边形的对角线条数
（1）根据题意，四边形一个顶点可以得到一条，四个点共4条，再去除一半，加上四个点单独连接的4条线段，即可得到答案．
（2）根据规律可以发现：十五边形的每个点可以得到12条，15点有180条，去掉一半，加上15个点组成的十五边形的的15条边，即可得到答案．
（3）通过上述两小题，即可以找到对应的规律，利用规律进行求解即可．
【详解】由图可以直接发现：多边形的边数与其分割的三角形个数相差2，故规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数．
利用上图规律，便可以知道从五边形的一个顶点出发，得到2条对角线；六边形的一个顶点出发，得到3条对角线；十二边形的一个顶点出发，得到9条对角线；边形的一个顶点出发，得到条对角线．
边形的一个顶点可以得到条对角线，故个顶点共有，由于每条对角线重复连接了一次，故n边形共有条对角线
（1）解：有四个点可以组成四边形，每个点可以得到1条对角线，四个点共4条，
每条对角线重复连接了一次，
对角线条数为2，
四边形的边数为4，
一共可以连接2+4=6条线段．
（2）解：有15个点可以组成十五边形，每个点可以得到12条对角线，四个点共180条，
每条对角线重复连接了一次，
对角线条数为90，
四边形的边数为15，
一共可以连接90+15=105条线段．
（3）解：由前面题的规律可知：有个点可以组成边形，每个点可以得到条对角线，四个点共条，
每条对角线重复连接了一次，
对角线条数为，
四边形的边数为，
一共可以连接条线段．
【点评】本题主要是考察了图形类的规律问题以及列代数式，根据题意，找到对角线与多边形的边数关系是解决本题的关键，另外，注意本题是问的点与点之间可连接的线段数，不要只算对角线的条数．
25．在学完“三角形内角和等于180度”的数学知识后，数学学习小组进行“多边形内角和”的探究活动．
甲：任意画了一个四边形，然后用量角器测量每个角的度数，发现四边形的内角和等于；
乙：任意画了一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合），发现四个角正好拼成一个周角．于是在纸上写下“四边形的内角和等于360度”；
丙：任意画了一个四边形，从某个顶点出发，将四边形分成2个三角形（如图所示），他对乙说：“看，我用这种方法也得到了跟你一样的结论．”
丁：“那我来算一算五边形的内角和的度数．”
根据以上同学的交流，你能解决下列问题吗？

(1)请简单说明，丙同学是如何得到“四边形的内角和等于360度”这个结论的．
(2)已知四边形的三个内角分别是、、，请求出第四个内角的度数．
(3)请用合适的方法求出八边形的内角和的度数．
【答案】(1)见解析
(2)63°
(3)1080°
【解析】（1）丙同学将四边形分成了（4-2）＝２个三角形，四边形的内角和为（4-2）×180°=360°；
（2）用四边形的内角和360°分别减去三个已知角的度数，得到第四个角的度数为63°；
（3）仿照丙同学的做法，从八边形的某个顶点出发，将八边形分成（8-2）=6个三角形，得到八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°．
(1)
丙同学从四边形的某个顶点出发，将四边形分成2个三角形，
也就是分成了（4-2）个三角形，
；
(2)
360°-（84°+57°+156°）=63°；
(3)
仿照丙同学的方法，从八边形的某个顶点出发，将八边形分成（8-2）=6个三角形，得到八边形的内角和，
．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式的探究，解决问题的关键是熟练掌握分割法，把多边形分割成三角形，运用三角形的内角和来探究，n边形是内角和为（n-2）×180°．
26．如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？
【答案】12；
【解析】根据多边形从一个顶点引出的对角线条数公式（n﹣3）求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：设多边形边数为n，
∵从凸多边形的一个顶点出发可以引出9条对角线，
∴n﹣3＝9，
解得n＝12，
所以，它是十二边形，
它的每个内角＝×（12﹣2）×180°＝150°．
答：它是十二边形，它的每个内角150°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形对角线公式求出边数是解题的关键．
27．一个零件的形状如图所示，按规定，，质检工人测得，就断定这个零件不合格，这是为什么？

【答案】见解析
【解析】在五边形DHGFE中利用内角和定理求得∠GFE的度数即可作出判断．
【详解】解：∵四边形ABCD的内角和是：180×（4－2）=360°．
∠H=360°－∠A－∠B－∠C=90°
五边形DHGFE的内角和是180×（5－2）=540°．
则∠GFE =540°－∠FGH －∠EDH－∠H －∠FED =130°．
因为质检工人测得∠GFE=140°
因此这个零件不合格．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，正确进行角度的计算是关键．
28．如图，在四边形中，．与有怎样的关系？

【答案】
【解析】根据多边形的内角和公式，可得 ；接着结合 可得到 与之间的关系．
【详解】解： 图形是四边形

∴

．
【点评】本题考查了多边形的内角和，灵活运用掌握多边形的内角和公式是解题的关键．