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【暑假提升】苏教版数学四年级（四升五）暑假预习：第7单元《解决问题的策略》讲义（知识点+例题+练习）（含解析）
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这是一份【暑假提升】苏教版数学四年级（四升五）暑假预习：第7单元《解决问题的策略》讲义（知识点+例题+练习）（含解析），共23页。试卷主要包含了要做到不重复，排列，四人互相通电话，总共要通的次数，10等内容，欢迎下载使用。
苏教版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第7单元 解决问题的策略
在之前的学习中，同学们学习了各种解决问题的方法策略，想必对很多类型的数学题都能摸索出解题规律。
1、把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。列举的方式有：列表、画图、连线、画“√”，也可按一定规律排列出来等。
2、要做到不重复、不遗漏，就要按顺序来排列。
3、排列（有顺序）：爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：2×3；(ABC、BAC不同)
组合（没有顺序）：5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1；(AB、BA相同)
4、四人互相通电话，总共要通的次数：3+2+1=6次，如果互相写信，总共要写的封数：3×4=12封。
【例1】把5块巧克力全部分给小丽、小明、小红，每人至少分1块，有多少种分法？
【分析】把5块巧克力全部分给小丽、小明、小红，至少有1块，最多有3块，这样，有：（1、2、2）、（2、2、1）、（2、1、2）、（3、1、1）、（1、3、1）、（1、1、3），共6种。
【解答】解：每个人至少有一块巧克力，最多有3块巧克力，这样，有：（1、2、2）、（2、2、1）、（2、1、2）、（3、1、1）、（1、3、1）、（1、1、3），共6种。
答：有6种分法。
故答案为：6。
【点评】列举时要按照一定的顺序，不要重复写和漏写。本题也可以先满足每人分1块，然后剩下的2块有3+2+1＝6（种）分法。
【例2】用三种重量分别为1克、2克和5克的砝码各1个，可以称出多少种不同的重量？
【分析】首先判断出1克、2克和5克砝码各1个，可以称出的重量一共有3种情况；再分别用两种重量的砝码结合，计算出用这些砝码一共可以称出多少种不同的重量即可。
【解答】解：用1种：1克、2克、5克，共3种；
用2种：1+2＝3克、1+5＝6克、2+5＝7克，共3种；
用3种：1+2+5＝8克，1种。
3+3+1＝7（种）
答：可以称出7种不同的重量。
【点评】此题主要考查了筛选与枚举问题的应用，解答此题的关键是从小砝码开始，依次计算出可以称出的重量有哪些。
【例3】用24个边长1厘米的小正方形拼成长方形，一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。
长/厘米
宽/厘米
（1）一共有多少种不同的拼法？
（2）在所有不同的拼法中，长方形的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？
【分析】（1）根据题干要求，利用列举法找出不同的拼法。
（2）利用长方形周长公式：C＝（a+b）×2，分别计算各种拼法拼成发长方形的周长，比较即可得出结论。
【解答】解：（1）
长/厘米
24
12
8
6
宽/厘米
1
2
3
4
答：一共有4种不同的拼法。
（2）（24+1）×2
＝25×2
＝50（厘米）
（12+2）×2
＝14×2
＝28（厘米）
（8+3）×2
＝11×2
＝22（厘米）
（6+4）×2
＝10×2
＝20（厘米）
50＞28＞22＞20
答：长方形的周长最大是50厘米；最小是20厘米。
【点评】本题主要考查图形的拼组，关键利用列举法解题。
【例4】王老师和李老师带30名同学去公园划船。
（1）如果每条船都要坐满，怎么租船？请你用列表法试一试。
租船方案
大船条数
小船条数
总座位数
答：我选择 1 。
（2）如果租一条大船需40元，租一条小船需30元，且每条船都坐满，那么哪种租船最便宜？
【分析】（1）根据大船和小船所坐人数和总人数，利用列举法找到合适的租船方案即可。
（2）根据每条船都坐满的条件，计算符合条件的租船方案所需钱数，找到最便宜的租船方案即可。
【解答】解：（1）
租船方案
大船条数
小船条数
总座位数
1
5
0
30
2
4
2
32
3
3
3
30
4
1
6
30
答：我选择方案1。（答案不唯一。）
（2）5×40＝200（元）
3×40+3×30
＝120+90
＝210（元）
1×40+6×30
＝40+180
＝220（元）
200＜210＜220
答：方案1（租5条大船）最省钱。
故答案为：1。
【点评】本题利用列举法解决鸡兔同笼问题，关键注意每条船都坐满的条件。
【例5】一起掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体。
（1）朝上面两个数字的和不可能是几？【写3个即可】
（2）它们的和都有哪些？【写完整】
【分析】（1）根据正方体的特点，掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体，正面朝上的数字其和不可能是超过12的数，不可能是：13、14、15。
（2）掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体，朝上的两个数字的和可能是：1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，1+6＝7；2+2＝4，2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8；3+3＝9，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9；4+4＝8，4+5＝9，4+6＝10；5+5＝10，5+6＝11，6+6＝12。
【解答】解：（1）朝上面两个数字的和不可能是13、14、15。（答案不唯一。）
（2）朝上面两个数字的和可能是：1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，1+6＝7；2+2＝4，2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8；3+3＝9，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9；4+4＝8，4+5＝9，4+6＝10；5+5＝10，5+6＝11，6+6＝12。
【点评】本题主要考查利用枚举法解决问题的方法，注意不要重复和遗漏。
一．选择题（共8小题）
1．有1克、2克、3克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出（ ）种不同的质量的物体．
A．3 B．4 C．6 D．7
2．□+○＝12，在□和○中填数，使它们的和为12，共有（ ）种填法．
A．5 B．10 C．9 D．无数种
3．现有1克、2克、4克、8克的砝码各1个，能称出（ ）种不同的重量。
A．4 B．10 C．15
4．用一个5分币、四个2分币、八个1分币买一张猪年8分的邮票，共有（ ）种付币方式。
A．6 B．7 C．8 D．9
5．有1克、4克、8克的砝码各一个，最多能称出（ ）种不同质量的物体。（砝码只能放在一边）
A．5 B．6 C．7
6．一批货物要从甲地运往乙地，有大卡车和小卡车两种车可供使用。每辆大卡车载质量6吨，每辆小卡车载质量4吨，如果每辆车都装满，有（ ）种安排方案能恰好运完24吨货物。
A．1 B．2 C．3
7．小李有5元和2元面值的人民币各5张。如果要买一本20元的书，有几种恰好付给20元的方式？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．三边均为整数，且最长边为11的三角形有（ ）个．
A．24 B．25 C．36 D．27
二．填空题（共10小题）
9．旅游团共46人租船游玩，每只大船可以坐6人，每只小船可以坐4人，一共有 种不同的租船方法。（不能有空座）
10．有1元、10元和20元的纸币各一张，共能表示出 种不同的钱数。
11．明明帮妈妈去超市买透明皂，现有3块装和4块装两种不同的包装，明明要买20块，共有 买法。
12．有两种洗涤液，单价分别为12元/瓶和8元/瓶。正好用完100元钱买洗涤液，可以有 种不同的买法。
13．从下面3张纸币中取两张纸币，一共可以取出 种不同币值。
14．一个细胞一分钟分裂为2个（原细胞不复存在），再过一分钟，每个细胞又分别分裂为2个，照这样规律分裂，5分钟后分裂成了 个细胞。
15．现有2克、3克、5克的砝码各一个，那么天平上能称出 种不同质量的物体．
16．某煤厂安排一辆载重2吨和一辆载重3吨卡车运煤，如果每次每种载重量的车辆都装满， 种方案能恰好运完10吨煤。
17．有长度分别是1cm、2cm、3cm…9cm的小木棒各1根，用它们中的若干根围成正方形，共有 种不同的方法。
18．三（3）班有28名同学去天鹅湖划船，如果每条船都坐满，需要租 条大船， 条小船。
大船限坐：8人
小船限坐：6人
三．应用题（共8小题）
19．一种巧克力有4块装和6块装两种不同包装，刘老师要买50块巧克力，一共有多少种不同的买法？请用列举法进行说明。
20．王叔叔用24根1米长的木条围一个长方形花圃，一共有几种不同的围法？面积最大是多少平方米？
21．三（1）班32名同学去公园划船，大船限坐6人，小船限坐4人，要求全都坐满，可以怎样租船？
22．50名同学答2道题，规定答对一道得3分，不答得1分，答错得0分，至少有几名同学的成绩相同？
23．五一班45名同学去秋游，分组游玩时，要求每组人数相等，并且每组至少有2人，可以分成几组，每组多少人？有几种分法？请列出算式说明。
24．三（1）班30名同学乘车去公园，小轿车每车可以坐4人，面包车每车可以坐6人。如果每辆车都坐满，怎样租车才能正好一次都全部乘车？请列表找答案吧。
派车方案
面包车
小轿车
坐的总人数
25．有22名同学在公园游玩，游园面包车每辆限坐6人，游园小轿车每辆限坐4人。怎样租车没有空座位？如果租一辆游园面包车6元，租一辆游园小轿车5元，哪个租车方案最省钱？
26．小红从下面的书中买了2套不同的书。她可能买了多少本书？
四．操作题（共1小题）
27．上面的直尺上只有4个刻度，用这把直尺可以直接画出哪些长度的线段？想一想，圈一圈。
1厘米
2厘米
3厘米
4厘米
5厘米
6厘米
五．解答题（共2小题）
28．“有5元和2元面值的人民币各6张。如果要买一个30元的书包，可以怎样付钱？”小明用列表方法研究有多少种付钱方案，请阅读理解，回答问题。
付钱方案
5元（共6张）
2元（共6张）
付出钱数
①
6张
0张
30元√
②
5张
1张
27元
③
5张
2张
29元
④
5张
3张
31元
⑤
4张
5张
30元√
⑥
3张
7张
29元
⑦
2张
9张
28元
⑧
2张
10张
30元√
⑨
1张
12张
29元
⑩
0张
15张
30元√
（1）一共有 种合适的方案。
（2）小明是从 元面值人民币张数最多的情况开始列表的。
（3）从方案②③④可以看出，付5张5元，再付几张2元， 正好共付出30元。（填“能”“不能”）
（4）从方案④到方案⑤再到，可以看出：小明发现了5元每减少1张，至少要增加 张2元。
（5）当5元付 张（写出所有情况）时，找不到正好付30元的方案。
（6）你还有什么发现或想法，至少写一条： 。
29．海绵宝宝给章鱼哥买了一份价值12元的礼物，它手上有1元、2元、5元的纸币若干张（每一种纸币的张数都足够多），那么它一共有多少种不同的付钱方法？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】分情况考虑：
（1）只用一个砝码可以有几种称法；
（2）两个砝码一起用有几种称法；
（3）三个砝码一块用有几种称法；
如果有称重一样的就按一种方法，最后将方法加起来就是在天平上能称出几种不同重量的物体．
【解答】解：只用一个砝码，可以称1克，2克，3克的物体，共3种称法；
用两个砝码，可以如下：共3种称法；
1克+2克＝3克，1克+3克＝4克，2克+3克＝5克；
三个砝码一起称：1+2+3＝6（克），一种称法；
其中称重3克的有两种方法相同，减去1种，
所以：3+3+1﹣1＝6（种）．
故选：C。
【点评】此题主要考查砝码称物体的用法，要综合单个，每两个，三个的所有称法，在计算中出现称重一样的就按一种方法算．
2．【分析】因为此题没有说明□和○中所填数是什么样的数，所以可以填小数，整数或者分数的，而和为12的两个数应该是有无数个的，据此解答．
【解答】解：因为和为12的两个数应该是有无数个的；
故选：D．
【点评】关键是理解要填的两个数是不确定范围的．
3．【分析】四个砝码选1个，可以有四种情况：1克、2克、4克、8克；选2个有6种情况：1+2＝3（克）、4+1＝5（克）、8+1＝9（克）、2+4＝6（克）、8+2＝10（克）、8+4＝12（克）；选3个有4种：1+2+4＝7（克）、1+4+8＝13（克）、2+1+8＝11（克）、4+8+2＝14（克）；选4个只有一种情况：1+2+4+8＝15（克）。据此解答。
【解答】解：4+6+4+1＝15（种）
答：能称出15种不同的重量。
故选：C。
【点评】本题考查了学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力。
4．【分析】根据题意，只用一种币值的付币方式有：4个2分币；8个1分币，两种方式；只付两种币值的付币方式：1枚5分和3枚1分；1枚2分和6枚1分；2枚2分和4枚1分；3枚2分和2枚1分，四种付币方式；用三种币值的付币方式：1枚5分、1枚2分、1枚1分，共1种付币方式。所以一共2+4+1＝7（种）付币方式。
【解答】解：只用一种币值的付币方式有：4个2分币；8个1分币，两种方式；
只付两种币值的付币方式：1枚5分和3枚1分；1枚2分和6枚1分；2枚2分和4枚1分；3枚2分和2枚1分，四种付币方式；
用三种币值的付币方式：1枚5分、1枚2分、1枚1分，共1种付币方式。
所以一共2+4+1＝7（种）付币方式。
答：共有7种付币方式。
故选：B。
【点评】此题考查了利用列举法解决问题，关键培养学生的分析推理能力。
5．【分析】分类列举：3个砝码中选1个、选2个、选3个；然后把得到的3种情况的方法数加起来，即可得解。
【解答】解：选1个有3种：1克、4克、8克；
选2个有3种：1+4＝5（克）、1+8＝9（克）、4+8＝12（克）；
选3个有1种：1+4+8＝13（克）；
3+3+1＝7（种）
答：最多能称出7种不同质量的物体。
故选：C。
【点评】此题考查了组合问题，分类解决此类组合问题，用加法原理。
6．【分析】根据4×6＝24可以得到两个方案，再根据4和6的最小公倍数为12，3×4＝2×6，所以每减少两辆大卡车需要补上三辆小卡车，据此提出方案。
【解答】解：因为4×6＝24，
所以，可以4辆大卡车或6辆小卡车，
又因为3×4＝2×6，
减少两辆大车，补上三辆小卡车，
即两辆大卡车三辆小卡车，
共有3种方案。
故选：C。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，根据两种卡车载重量的公倍数提出第三种方案是本题解题的关键。
7．【分析】2元面值的人民币最多可以付：2×5＝10（元），5元面值的人民币最多可以付：5×5＝25（元），现在要买一本20元的字典，所以，至少要用5元面值的人民币支付：20﹣10＝10（元），最多可以用5元面值的人民币支付20元，据此讨论即可。
【解答】解：2元面值的人民币最多可以付：
2×5＝10（元）
5元面值的人民币最多可以付：
5×5＝25（元）
要买一本20元的字典，至少要用5元面值的人民币支付：
20﹣10＝10（元）
最多可以用5元面值的人民币支付20元，
10÷5＝2
20÷5＝4
所以，5元面值的人民币至少用2张，最多用4张，
①当5元面值的用2张时，2元面值需要支付：
20﹣5×2
＝20﹣10
＝10（元）
需要2元面值的张数：
10÷2＝5（张）
②当5元面值的用3张时，2元面值需要支付：
20﹣5×3
＝20﹣15
＝5（元）
需要2元面值的张数：
5÷2＝2.5（张）
不是整数，不符合题意；
③当5元面值的用4张时，
5×4＝20
刚好够。
答：一共有2种恰好付20元的方式。
故选：B。
【点评】本题主要考查了钱币问题，根据2元面值的最大支付能力，求出5元面值最少使用的张数，是本题解题的关键。
8．【分析】根据在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，首先确定其中一条边的长度，然后求出另一条边的长度可能是多少，再求和，判断出三边均为整数，且最长边为11的三角形一共有多少个即可．
【解答】解：（1）当其中的一条边的长度为1时，
因为11﹣1＝10，11+1＝12，
所以另一条边的长度是11．
（2）当其中的一条边的长度为2时，
因为11﹣2＝9，11+2＝13，
所以另一条边的长度是10、11．
（3）当其中的一条边的长度为3时，
因为11﹣3＝8，11+3＝14，
所以另一条边的长度是9、10、11．
（4）当其中的一条边的长度为4时，
因为11﹣4＝7，11+4＝15，
所以另一条边的长度是8、9、10、11．
（5）当其中的一条边的长度为5时，
因为11﹣5＝6，11+5＝16，
所以另一条边的长度是7、8、9、10、11．
（6）当其中的一条边的长度为6时，
因为11﹣6＝5，11+6＝17，
所以另一条边的长度是6、7、8、9、10、11．
（7）当其中的一条边的长度为7时，
因为11﹣7＝4，11+7＝18，
所以另一条边的长度是5、6、7、8、9、10、11．
（8）当其中的一条边的长度为8时，
因为11﹣8＝3，11+8＝19，
所以另一条边的长度是4、5、6、7、8、9、10、11．
（9）当其中的一条边的长度为9时，
因为11﹣9＝2，11+9＝20，
所以另一条边的长度是3、4、5、6、7、8、9、10、11．
（10）当其中的一条边的长度为10时，
因为11﹣10＝1，11+10＝21，
所以另一条边的长度是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．
（11）当其中的一条边的长度为11时，
因为11﹣11＝0，11+11＝22，
所以另一条边的长度是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．
所以三边均为整数，且最长边为11的三角形有：
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1＝36（个）
答：三边均为整数，且最长边为11的三角形有36个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了筛选与枚举问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数．
二．填空题（共10小题）
9．【分析】根据题干，设租大船x只，小船y只，则正好坐满，再利用总人数是46人，即可列出方程：6x+4y＝46，由此求出这个方程中的x、y的整数解即可解答问题。
【解答】解：设租大船x只，小船y只，根据题意可得方程：
6x+4y＝46，方程变形为：x＝，
因为x、y都是整数，所以23﹣2y是3的倍数；
解得，当y＝1时，x＝7，
当y＝4时，x＝5；
当y＝7时，x＝3；
当y＝10时，x＝1。
所以，共有4种不同的租船方法。
答：有4种不同的租船方案。
故答案为：4。
【点评】解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系：大船只数×6+小船只数×4＝46人，合理分析得出结论。
10．【分析】按照取不同张数组成的不同币值列举出来即可．
【解答】解：可组成的币值为：
（1）单张表示：1元、10元，20元，共3种；
（1）任取两张：1元+10＝12元，1元+20元＝21元，10元+20元＝30元；共3种；
（3）任取3张：1元+10元+20元＝31元，有1种，
所以能表示的不同钱数为：3+3+1＝7（种）．
答：共能表示出7种不同的钱数。
故答案为：7。
【点评】解答此题的关键是，根据题意，能利用所给的币值，找出组成的不同币值时，一定不要重复和遗漏。
11．【分析】假设3块装的买x包，4块装的买y包，则根据题意，得到3x+4y＝20，然后根据数的奇偶性讨论，只要x、y是自然数，即可得解。
【解答】解：假设3块装的买x包，4块装的买y包，根据题意可得，
3x+4y＝20
y＝
要使y的值为自然数，20﹣3x为偶数，即x的值必须是偶数，
当x＝0时，y＝＝5；
当x＝2时，y＝＝3.5（不符合要求）；
当x＝4时，y＝＝2；
当x＝6时，y＝＝0.5（不符合要求）。
综上所述可得：3块装的买0包，4块装的买5包；或3块装的买4包，4块装的买2包；
共有2种不同的买法。
答：共有2种不同的买法。
故答案为：2种。
【点评】此题考查了学生用解方程的方法解决问题的能力。
12．【分析】根据题意，设12元/瓶的洗涤液买了x瓶，8元/瓶的洗涤液买了y瓶，然后根据买两种洗涤液需要的总钱数＝100，列出方程，根据y的取值，求出方程的解，判断出共有几种买法即可。
【解答】解：设12元/瓶的洗涤液买了x瓶，8元/瓶的洗涤液买了y瓶，
则12x+8y＝100，
y＝，
（1）当x＝1时，y＝11；
（2）当x＝3时，y＝8；
（3）当x＝5时，y＝5；
（4）当x＝7时，y＝2；
所以共有4买法。
故答案为：4。
【点评】此题主要考查了对方程的分析求解，解答此题的关键是用方程表示出等量关系。
13．【分析】从上面3张纸币中取两张纸币，即两两组合，据此列举即可。
【解答】解：取2张不同面值的纸币，有
1+5＝6（元）
1+10＝11（元）
5+10＝15（元）
三种币值，所以一共有3种币值。
答：一共可以取出3种不同币值。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，注意枚举时，不要重复枚举，也不要漏项。
14．【分析】根据规律一个细胞一分钟分裂为2个（原细胞不复存在），依次列举出5分钟后分裂成了多少个细胞即可。
【解答】解：第一分钟：2个
第二分钟：2×2＝4（个）
第三分钟：2×2×2＝8（个）
第四分钟：2×2×2×2＝16（个）
第五分钟：2×2×2×2×2＝32（个）
答：5分钟后分裂成了32个细胞。
故答案为：32。
【点评】先找到规律，再根据规律求解。
15．【分析】根据题意，用2克、3克、5克的砝码各一个可以称量：1克、2克、3克、4克、5克、7克、8克、10克的物体，共9钟。
【解答】解：现有2克、3克、5克的砝码各一个，
3﹣2＝1（克）
2+5＝7（克）
2+5﹣3＝4（克）
3+5＝8（克）
5+3﹣2＝6（克）
2+3+5＝10（克）
那么天平上能称出9种不同质量的物体：1克、2克、4克、3克、5克、6克、7克、8克、10克。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力，注意2克，3克及5克砝码各1枚是本题的一个突破点，可以减少很多种情况的分析。
16．【分析】因为10÷2＝5，所以可以用5辆两吨车来运；因为2和3的最小公倍数为6，即2×3＝3×2，所以，每减少3辆2吨车，需要补上两辆3吨车，即可满足恰好运完10吨煤，据此解答。
【解答】解：10÷2＝5（辆）
所以，可以用5辆两吨车来运；
又因为2×3＝3×2，
所以每减少3辆2吨车，需要补上2辆3吨车，
即2辆2吨车，2辆3吨车来运，
共有两种方案。
故答案为：两。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，根据整除的特性以及公倍数的性质来进行筛选可以简化问题。
17．【分析】根据题意，利用列举法分别列举出不同边长的正方形的围法，得出结论。
【解答】解：（1+9）×9÷2
＝10×9÷2
＝45（厘米）
45÷4＝11（厘米）……1（厘米）
所以正方形的边长最长是11厘米
①边长是11 厘米：
9+2＝8+3＝7+4＝6+5（围成1个正方形）
②边长是10厘米：
9+1＝8+2＝7+3＝6+4（围成一个正方形）
③边长是9厘米：
8+1＝7+2＝6+3＝5+4（围成5个正方形）
④边长是8厘米的：
7+1＝6+2＝5+3（围成1个正方形）
⑤边长是7厘米：
6+1＝5+2＝4+3（围成1个正方形）
1+1+5+1+1＝9（种）
答：共有9种不同的方法。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查列举法解决问题，主要列举时要按一定的顺序，防止重复或遗漏。
18．【分析】一条大船和一条小船可以乘坐：8+6＝14（人），14刚好能整除28，据此计算即可。
【解答】解：一条大船和一条小船可以乘坐：
8+6＝14（人）
28÷14＝2（条）
答：需要租2条大船，2条小船。
故答案为：2，2。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，根据两条船可乘坐的人数和刚好能整除学生的人数来简化问题是本题解题的关键，也可采用枚举法，一一列举出所有的租船方案，找到刚好能都坐满的方案。
三．应用题（共8小题）
19．【分析】假设6块装的买x包，4块装的买y包，则根据题意，得到不定方程6x+4y＝50，然后根据数的奇偶性讨论，只要x、y是自然数，即可得解。
【解答】解：假设6块装的买x包，4块装的买y包，根据题意可得，
6x+4y＝50
y＝
要使y的值为自然数，25﹣3x为偶数，即x的值必须是奇数，
当x＝1时，y＝（25﹣3×1）÷2＝11；
当x＝3时，y＝（25﹣3×3）÷2＝8；
当x＝5时，y＝（25﹣3×5）÷2＝5；
当x＝7时，y＝（25﹣3×7）÷2＝2；
当x＝9时，y＝（25﹣3×9）÷2为负数（不符合要求）；
综合上述可得：6块装的买1包，4块装的买11包；或6块装的买3包，4块装的买8包；或6块装的买5包，4块装的买5包；或6块装的买7包，4块装的买2包；
共有4种不同的买法。
答：共有4种不同的买法。
【点评】此题考查了学生用解方程的方法解决问题的能力。
20．【分析】根据题意，用24根1米长的木条围一个长方形花圃，则长方形的长和宽的和是24÷2＝12（米），然后利用列举法分别列举和是12米的长和宽的值（都是整数），利用长方形面积公式：S＝ab，计算其面积即可。
【解答】解：24÷2＝12（米）
12＝11+1＝10+2＝9+3＝8+4＝7+5＝6+6
11×1＝11（平方米）
10×2＝20（平方米）
9×3＝27（平方米）
8×4＝32（平方米）
7×5＝35（平方米）
6×6＝36（平方米）
长/米
11
10
9
8
7
6
宽/米
1
2
3
4
5
6
面积/平方米
11
20
27
32
35
36
答：一共有6种不同的围法，面积最大是36平方米。
【点评】本题主要利用列举法解决问题，注意长方形的长和宽的和是24÷2＝12（米）。
21．【分析】根据坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，确定坐船的方案：4×8＝32（人），2×6+4×5＝32（人），3×6+4×5＝38（人），4×6+2×6＝32（人），据此租船即可。
【解答】解：因为4×8＝32（人），2×6+4×5＝32（人），3×6+4×5＝38（人），4×6+2×6＝32（人），
所以，如果每条船都坐满，这样租船能正好一次运到：
①8只小船
②5只小船，2只大船
③2只小船，4只大船
答：可以这样租船：8只小船；5只小船，2只大船；2只小船，4只大船。
【点评】抓住题干中的坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，即可解决此类问题．
22．【分析】先枚举分类：①都答对的，得6分；②都答错的，得0分；③答对一道，另一道答错，得3分；④答对一道，另一道不答，得4分；⑤两道都不答，得2分；⑥一道不答，另一道答错，得1分；共有6种情况，然后把它看作6个抽屉，把50名同学看作50个元素，再根据抽屉原理解答即可。
【解答】解：根据分析可得，
①都答对的，得6分；
②都答错的，得0分；
③答对一道，另一道答错，得3分；
④答对一道，另一道不答，得4分；
⑤两道都不答，得2分；
⑥一道不答，另一道答错，得1分；共有6种情况；
50÷6＝8（名）……2（名）
8+1＝9（名）
答：至少有9名同学的成绩相同。
【点评】本题考查了筛选与枚举以及抽屉原理的综合应用，关键是求出有几种得分；至少数＝商+1（在有余数的情况下）。
23．【分析】求有几种分法，即求45的因数有多少，根据找一个数因数的方法，列举出45的所有因数，根据因数的个数，并结合题意，即可得出分法共有多少种。
【解答】解：45＝3×3×5
所以45的因数有：1、3、5、9、15、45，
①3×15＝45
可以分成3组，每组15人，或分成15组，每组3人；
②5×9＝45
可以分成5组，每组9人，或分成9组，每组5人。
答：有四种分法：分成3组，每组15人；分成15组，每组3人；分成5组，每组9人；分成9组，每组5人。
【点评】此题考查了因数倍数问题，应明确45的因数的个数，是解答此题的关键。
24．【分析】面包车每车可以坐6人，那么最多需要30÷6＝5辆，所以按面包车为5、4、3、2、1、0列举即可。
【解答】解：根据分析可得：
派车方案
面包车
小轿车
坐的总人数
1
5
0
30√
2
4
2
32
3
3
3
30√
4
2
5
32
5
1
6
30√
6
0
8
32
按方案1、3、5租车才能正好一次都全部乘车。
答：面包车租5辆；或面包车租3辆、小轿车租3辆；或面包车租1辆、小轿车租6辆才能正好一次都全部乘车。
【点评】对于解决方案问题，注意题目中蕴含的条件和数据，通过具体的计算，找出最优化的方案。
25．【分析】（1）根据各种车所坐人数及总人数，利用列举法求出符合题意的方案，完成填表即可。
（2）根据（1）的方案找出最合算的一种租车方案，计算所需钱数，比较即可得出结论。
【解答】解：（1）如果每辆车都坐满，租车方案如下：
租车方案
面包车（6人）
小轿车（4人）
总人数
（1）
4辆
0辆
24人
（2）
3辆
1辆
22人
（3）
2辆
3辆
24人
（4）
1辆
4辆
22人
（5）
0辆
6辆
24人
答：租3辆面包车和1辆小轿车或者租1辆面包车和4辆小轿车，正好坐满，没有空位。
（2）租一辆游园面包车6元，每人合6÷6＝1（元）
租一辆游园小轿车5元，每人合5÷4＝1.25（元）
所以尽量租面包车，且尽量满座时最省钱，
由上面所述可得方案（2），租3辆面包车和1辆小轿车最合算：
3×6+5
＝18+5
＝23（元）
答：按照方案（2）最省钱，需要花费23元。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是找到都坐满的方案，并计算所需钱数。
26．【分析】因为小红从下面的书中买了2套不同的书，则她可能买到的书的本数有很多种情况。将情况分门别类呈现即可。（1）1套4本的，1套6本的，4+6＝10（本）；（2）1套4本的，1套8本的，4+8＝12（本）；（3）1套6本的，1套8本的，6+8＝14（本）。然后将本数相同的合并可得最终可能买到本数。
【解答】解：（1）1套4本的，1套6本的，4+6＝10（本）；
（2）1套4本的，1套8本的，4+8＝12（本）；
（3）1套6本的，1套8本的，6+8＝14（本）。
所以她可能买了10，12，14本书。
答：她可能买了10，12，14本书。
【点评】本题考查筛选与枚举的方法。当种类较多时，可以按照规律去分类讨论。
四．操作题（共1小题）
27．【分析】只要进行列举即可得出结论：能画出1厘米，4厘米，6厘米，（4﹣1）厘米，（6﹣4）厘米，（6﹣1）厘米；据此解答即可。
【解答】解：1厘米，4厘米，6厘米，3厘米，2厘米，5厘米；
【点评】此题较简单，只要进行列举，然后根据列举的数进行计算，即可得出答案；类比于数线段解决问题也可。
五．解答题（共2小题）
28．【分析】（1）﹣（5）根据已知统计表中的数据可直接看出答案；
（6）写出自己的另外一条发现，只要合理即可（答案不唯一）。
【解答】解：（1）一共有4种合适的方案。
（2）小明是从5元面值人民币张数最多的情况开始列表的。
（3）从方案②③④可以看出，付5张5元，再付几张2元，不能正好共付出30元。
（4）从方案④到方案⑤再到，可以看出：小明发现了5元每减少1张，至少要增加2张2元。
（5）当5元付5、3、1张（写出所有情况）时，找不到正好付30元的方案。
（6）我还发现：
用列表的方法研究付钱方案时，要从面值较大的人民币入手。（答案不唯一）
故答案为：（1）4；（2）5；（3）不能；（4）2；（5）5、3、1；（6）用列表的方法研究付钱方案时，要从面值较大的人民币入手。（答案不唯一）
【点评】解答的关键是根据提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法解答。
29．【分析】采用分类枚举，先枚举只有1元和2元的前框，再枚举5元出现1张和两张的情况，据此解答。
【解答】解：按顺序分类枚举：先枚举只有1元和2元的情况，再枚举出现1张5元和2张5元的情况。
1元
2元
5元
12张
0张
0张
10张
1张
0张
8张
2张
0张
6张
3张
0张
4张
4张
0张
2张
5张
0张
0张
6张
0张
7张
0张
1张
5张
1张
1张
3张
2张
1张
1张
3张
1张
2张
0张
2张
0张
1张
2张
答：它一共有13种不同的付钱方法。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，注意枚举时做到不重不漏。
苏教版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第7单元 解决问题的策略
在之前的学习中，同学们学习了各种解决问题的方法策略，想必对很多类型的数学题都能摸索出解题规律。
1、把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。列举的方式有：列表、画图、连线、画“√”，也可按一定规律排列出来等。
2、要做到不重复、不遗漏，就要按顺序来排列。
3、排列（有顺序）：爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：2×3；(ABC、BAC不同)
组合（没有顺序）：5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1；(AB、BA相同)
4、四人互相通电话，总共要通的次数：3+2+1=6次，如果互相写信，总共要写的封数：3×4=12封。
【例1】把5块巧克力全部分给小丽、小明、小红，每人至少分1块，有多少种分法？
【分析】把5块巧克力全部分给小丽、小明、小红，至少有1块，最多有3块，这样，有：（1、2、2）、（2、2、1）、（2、1、2）、（3、1、1）、（1、3、1）、（1、1、3），共6种。
【解答】解：每个人至少有一块巧克力，最多有3块巧克力，这样，有：（1、2、2）、（2、2、1）、（2、1、2）、（3、1、1）、（1、3、1）、（1、1、3），共6种。
答：有6种分法。
故答案为：6。
【点评】列举时要按照一定的顺序，不要重复写和漏写。本题也可以先满足每人分1块，然后剩下的2块有3+2+1＝6（种）分法。
【例2】用三种重量分别为1克、2克和5克的砝码各1个，可以称出多少种不同的重量？
【分析】首先判断出1克、2克和5克砝码各1个，可以称出的重量一共有3种情况；再分别用两种重量的砝码结合，计算出用这些砝码一共可以称出多少种不同的重量即可。
【解答】解：用1种：1克、2克、5克，共3种；
用2种：1+2＝3克、1+5＝6克、2+5＝7克，共3种；
用3种：1+2+5＝8克，1种。
3+3+1＝7（种）
答：可以称出7种不同的重量。
【点评】此题主要考查了筛选与枚举问题的应用，解答此题的关键是从小砝码开始，依次计算出可以称出的重量有哪些。
【例3】用24个边长1厘米的小正方形拼成长方形，一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。
长/厘米
宽/厘米
（1）一共有多少种不同的拼法？
（2）在所有不同的拼法中，长方形的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？
【分析】（1）根据题干要求，利用列举法找出不同的拼法。
（2）利用长方形周长公式：C＝（a+b）×2，分别计算各种拼法拼成发长方形的周长，比较即可得出结论。
【解答】解：（1）
长/厘米
24
12
8
6
宽/厘米
1
2
3
4
答：一共有4种不同的拼法。
（2）（24+1）×2
＝25×2
＝50（厘米）
（12+2）×2
＝14×2
＝28（厘米）
（8+3）×2
＝11×2
＝22（厘米）
（6+4）×2
＝10×2
＝20（厘米）
50＞28＞22＞20
答：长方形的周长最大是50厘米；最小是20厘米。
【点评】本题主要考查图形的拼组，关键利用列举法解题。
【例4】王老师和李老师带30名同学去公园划船。
（1）如果每条船都要坐满，怎么租船？请你用列表法试一试。
租船方案
大船条数
小船条数
总座位数
答：我选择 1 。
（2）如果租一条大船需40元，租一条小船需30元，且每条船都坐满，那么哪种租船最便宜？
【分析】（1）根据大船和小船所坐人数和总人数，利用列举法找到合适的租船方案即可。
（2）根据每条船都坐满的条件，计算符合条件的租船方案所需钱数，找到最便宜的租船方案即可。
【解答】解：（1）
租船方案
大船条数
小船条数
总座位数
1
5
0
30
2
4
2
32
3
3
3
30
4
1
6
30
答：我选择方案1。（答案不唯一。）
（2）5×40＝200（元）
3×40+3×30
＝120+90
＝210（元）
1×40+6×30
＝40+180
＝220（元）
200＜210＜220
答：方案1（租5条大船）最省钱。
故答案为：1。
【点评】本题利用列举法解决鸡兔同笼问题，关键注意每条船都坐满的条件。
【例5】一起掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体。
（1）朝上面两个数字的和不可能是几？【写3个即可】
（2）它们的和都有哪些？【写完整】
【分析】（1）根据正方体的特点，掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体，正面朝上的数字其和不可能是超过12的数，不可能是：13、14、15。
（2）掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体，朝上的两个数字的和可能是：1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，1+6＝7；2+2＝4，2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8；3+3＝9，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9；4+4＝8，4+5＝9，4+6＝10；5+5＝10，5+6＝11，6+6＝12。
【解答】解：（1）朝上面两个数字的和不可能是13、14、15。（答案不唯一。）
（2）朝上面两个数字的和可能是：1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，1+6＝7；2+2＝4，2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8；3+3＝9，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9；4+4＝8，4+5＝9，4+6＝10；5+5＝10，5+6＝11，6+6＝12。
【点评】本题主要考查利用枚举法解决问题的方法，注意不要重复和遗漏。
一．选择题（共8小题）
1．有1克、2克、3克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出（ ）种不同的质量的物体．
A．3 B．4 C．6 D．7
2．□+○＝12，在□和○中填数，使它们的和为12，共有（ ）种填法．
A．5 B．10 C．9 D．无数种
3．现有1克、2克、4克、8克的砝码各1个，能称出（ ）种不同的重量。
A．4 B．10 C．15
4．用一个5分币、四个2分币、八个1分币买一张猪年8分的邮票，共有（ ）种付币方式。
A．6 B．7 C．8 D．9
5．有1克、4克、8克的砝码各一个，最多能称出（ ）种不同质量的物体。（砝码只能放在一边）
A．5 B．6 C．7
6．一批货物要从甲地运往乙地，有大卡车和小卡车两种车可供使用。每辆大卡车载质量6吨，每辆小卡车载质量4吨，如果每辆车都装满，有（ ）种安排方案能恰好运完24吨货物。
A．1 B．2 C．3
7．小李有5元和2元面值的人民币各5张。如果要买一本20元的书，有几种恰好付给20元的方式？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．三边均为整数，且最长边为11的三角形有（ ）个．
A．24 B．25 C．36 D．27
二．填空题（共10小题）
9．旅游团共46人租船游玩，每只大船可以坐6人，每只小船可以坐4人，一共有 种不同的租船方法。（不能有空座）
10．有1元、10元和20元的纸币各一张，共能表示出 种不同的钱数。
11．明明帮妈妈去超市买透明皂，现有3块装和4块装两种不同的包装，明明要买20块，共有 买法。
12．有两种洗涤液，单价分别为12元/瓶和8元/瓶。正好用完100元钱买洗涤液，可以有 种不同的买法。
13．从下面3张纸币中取两张纸币，一共可以取出 种不同币值。
14．一个细胞一分钟分裂为2个（原细胞不复存在），再过一分钟，每个细胞又分别分裂为2个，照这样规律分裂，5分钟后分裂成了 个细胞。
15．现有2克、3克、5克的砝码各一个，那么天平上能称出 种不同质量的物体．
16．某煤厂安排一辆载重2吨和一辆载重3吨卡车运煤，如果每次每种载重量的车辆都装满， 种方案能恰好运完10吨煤。
17．有长度分别是1cm、2cm、3cm…9cm的小木棒各1根，用它们中的若干根围成正方形，共有 种不同的方法。
18．三（3）班有28名同学去天鹅湖划船，如果每条船都坐满，需要租 条大船， 条小船。
大船限坐：8人
小船限坐：6人
三．应用题（共8小题）
19．一种巧克力有4块装和6块装两种不同包装，刘老师要买50块巧克力，一共有多少种不同的买法？请用列举法进行说明。
20．王叔叔用24根1米长的木条围一个长方形花圃，一共有几种不同的围法？面积最大是多少平方米？
21．三（1）班32名同学去公园划船，大船限坐6人，小船限坐4人，要求全都坐满，可以怎样租船？
22．50名同学答2道题，规定答对一道得3分，不答得1分，答错得0分，至少有几名同学的成绩相同？
23．五一班45名同学去秋游，分组游玩时，要求每组人数相等，并且每组至少有2人，可以分成几组，每组多少人？有几种分法？请列出算式说明。
24．三（1）班30名同学乘车去公园，小轿车每车可以坐4人，面包车每车可以坐6人。如果每辆车都坐满，怎样租车才能正好一次都全部乘车？请列表找答案吧。
派车方案
面包车
小轿车
坐的总人数
25．有22名同学在公园游玩，游园面包车每辆限坐6人，游园小轿车每辆限坐4人。怎样租车没有空座位？如果租一辆游园面包车6元，租一辆游园小轿车5元，哪个租车方案最省钱？
26．小红从下面的书中买了2套不同的书。她可能买了多少本书？
四．操作题（共1小题）
27．上面的直尺上只有4个刻度，用这把直尺可以直接画出哪些长度的线段？想一想，圈一圈。
1厘米
2厘米
3厘米
4厘米
5厘米
6厘米
五．解答题（共2小题）
28．“有5元和2元面值的人民币各6张。如果要买一个30元的书包，可以怎样付钱？”小明用列表方法研究有多少种付钱方案，请阅读理解，回答问题。
付钱方案
5元（共6张）
2元（共6张）
付出钱数
①
6张
0张
30元√
②
5张
1张
27元
③
5张
2张
29元
④
5张
3张
31元
⑤
4张
5张
30元√
⑥
3张
7张
29元
⑦
2张
9张
28元
⑧
2张
10张
30元√
⑨
1张
12张
29元
⑩
0张
15张
30元√
（1）一共有 种合适的方案。
（2）小明是从 元面值人民币张数最多的情况开始列表的。
（3）从方案②③④可以看出，付5张5元，再付几张2元， 正好共付出30元。（填“能”“不能”）
（4）从方案④到方案⑤再到，可以看出：小明发现了5元每减少1张，至少要增加 张2元。
（5）当5元付 张（写出所有情况）时，找不到正好付30元的方案。
（6）你还有什么发现或想法，至少写一条： 。
29．海绵宝宝给章鱼哥买了一份价值12元的礼物，它手上有1元、2元、5元的纸币若干张（每一种纸币的张数都足够多），那么它一共有多少种不同的付钱方法？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】分情况考虑：
（1）只用一个砝码可以有几种称法；
（2）两个砝码一起用有几种称法；
（3）三个砝码一块用有几种称法；
如果有称重一样的就按一种方法，最后将方法加起来就是在天平上能称出几种不同重量的物体．
【解答】解：只用一个砝码，可以称1克，2克，3克的物体，共3种称法；
用两个砝码，可以如下：共3种称法；
1克+2克＝3克，1克+3克＝4克，2克+3克＝5克；
三个砝码一起称：1+2+3＝6（克），一种称法；
其中称重3克的有两种方法相同，减去1种，
所以：3+3+1﹣1＝6（种）．
故选：C。
【点评】此题主要考查砝码称物体的用法，要综合单个，每两个，三个的所有称法，在计算中出现称重一样的就按一种方法算．
2．【分析】因为此题没有说明□和○中所填数是什么样的数，所以可以填小数，整数或者分数的，而和为12的两个数应该是有无数个的，据此解答．
【解答】解：因为和为12的两个数应该是有无数个的；
故选：D．
【点评】关键是理解要填的两个数是不确定范围的．
3．【分析】四个砝码选1个，可以有四种情况：1克、2克、4克、8克；选2个有6种情况：1+2＝3（克）、4+1＝5（克）、8+1＝9（克）、2+4＝6（克）、8+2＝10（克）、8+4＝12（克）；选3个有4种：1+2+4＝7（克）、1+4+8＝13（克）、2+1+8＝11（克）、4+8+2＝14（克）；选4个只有一种情况：1+2+4+8＝15（克）。据此解答。
【解答】解：4+6+4+1＝15（种）
答：能称出15种不同的重量。
故选：C。
【点评】本题考查了学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力。
4．【分析】根据题意，只用一种币值的付币方式有：4个2分币；8个1分币，两种方式；只付两种币值的付币方式：1枚5分和3枚1分；1枚2分和6枚1分；2枚2分和4枚1分；3枚2分和2枚1分，四种付币方式；用三种币值的付币方式：1枚5分、1枚2分、1枚1分，共1种付币方式。所以一共2+4+1＝7（种）付币方式。
【解答】解：只用一种币值的付币方式有：4个2分币；8个1分币，两种方式；
只付两种币值的付币方式：1枚5分和3枚1分；1枚2分和6枚1分；2枚2分和4枚1分；3枚2分和2枚1分，四种付币方式；
用三种币值的付币方式：1枚5分、1枚2分、1枚1分，共1种付币方式。
所以一共2+4+1＝7（种）付币方式。
答：共有7种付币方式。
故选：B。
【点评】此题考查了利用列举法解决问题，关键培养学生的分析推理能力。
5．【分析】分类列举：3个砝码中选1个、选2个、选3个；然后把得到的3种情况的方法数加起来，即可得解。
【解答】解：选1个有3种：1克、4克、8克；
选2个有3种：1+4＝5（克）、1+8＝9（克）、4+8＝12（克）；
选3个有1种：1+4+8＝13（克）；
3+3+1＝7（种）
答：最多能称出7种不同质量的物体。
故选：C。
【点评】此题考查了组合问题，分类解决此类组合问题，用加法原理。
6．【分析】根据4×6＝24可以得到两个方案，再根据4和6的最小公倍数为12，3×4＝2×6，所以每减少两辆大卡车需要补上三辆小卡车，据此提出方案。
【解答】解：因为4×6＝24，
所以，可以4辆大卡车或6辆小卡车，
又因为3×4＝2×6，
减少两辆大车，补上三辆小卡车，
即两辆大卡车三辆小卡车，
共有3种方案。
故选：C。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，根据两种卡车载重量的公倍数提出第三种方案是本题解题的关键。
7．【分析】2元面值的人民币最多可以付：2×5＝10（元），5元面值的人民币最多可以付：5×5＝25（元），现在要买一本20元的字典，所以，至少要用5元面值的人民币支付：20﹣10＝10（元），最多可以用5元面值的人民币支付20元，据此讨论即可。
【解答】解：2元面值的人民币最多可以付：
2×5＝10（元）
5元面值的人民币最多可以付：
5×5＝25（元）
要买一本20元的字典，至少要用5元面值的人民币支付：
20﹣10＝10（元）
最多可以用5元面值的人民币支付20元，
10÷5＝2
20÷5＝4
所以，5元面值的人民币至少用2张，最多用4张，
①当5元面值的用2张时，2元面值需要支付：
20﹣5×2
＝20﹣10
＝10（元）
需要2元面值的张数：
10÷2＝5（张）
②当5元面值的用3张时，2元面值需要支付：
20﹣5×3
＝20﹣15
＝5（元）
需要2元面值的张数：
5÷2＝2.5（张）
不是整数，不符合题意；
③当5元面值的用4张时，
5×4＝20
刚好够。
答：一共有2种恰好付20元的方式。
故选：B。
【点评】本题主要考查了钱币问题，根据2元面值的最大支付能力，求出5元面值最少使用的张数，是本题解题的关键。
8．【分析】根据在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，首先确定其中一条边的长度，然后求出另一条边的长度可能是多少，再求和，判断出三边均为整数，且最长边为11的三角形一共有多少个即可．
【解答】解：（1）当其中的一条边的长度为1时，
因为11﹣1＝10，11+1＝12，
所以另一条边的长度是11．
（2）当其中的一条边的长度为2时，
因为11﹣2＝9，11+2＝13，
所以另一条边的长度是10、11．
（3）当其中的一条边的长度为3时，
因为11﹣3＝8，11+3＝14，
所以另一条边的长度是9、10、11．
（4）当其中的一条边的长度为4时，
因为11﹣4＝7，11+4＝15，
所以另一条边的长度是8、9、10、11．
（5）当其中的一条边的长度为5时，
因为11﹣5＝6，11+5＝16，
所以另一条边的长度是7、8、9、10、11．
（6）当其中的一条边的长度为6时，
因为11﹣6＝5，11+6＝17，
所以另一条边的长度是6、7、8、9、10、11．
（7）当其中的一条边的长度为7时，
因为11﹣7＝4，11+7＝18，
所以另一条边的长度是5、6、7、8、9、10、11．
（8）当其中的一条边的长度为8时，
因为11﹣8＝3，11+8＝19，
所以另一条边的长度是4、5、6、7、8、9、10、11．
（9）当其中的一条边的长度为9时，
因为11﹣9＝2，11+9＝20，
所以另一条边的长度是3、4、5、6、7、8、9、10、11．
（10）当其中的一条边的长度为10时，
因为11﹣10＝1，11+10＝21，
所以另一条边的长度是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．
（11）当其中的一条边的长度为11时，
因为11﹣11＝0，11+11＝22，
所以另一条边的长度是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．
所以三边均为整数，且最长边为11的三角形有：
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1＝36（个）
答：三边均为整数，且最长边为11的三角形有36个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了筛选与枚举问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数．
二．填空题（共10小题）
9．【分析】根据题干，设租大船x只，小船y只，则正好坐满，再利用总人数是46人，即可列出方程：6x+4y＝46，由此求出这个方程中的x、y的整数解即可解答问题。
【解答】解：设租大船x只，小船y只，根据题意可得方程：
6x+4y＝46，方程变形为：x＝，
因为x、y都是整数，所以23﹣2y是3的倍数；
解得，当y＝1时，x＝7，
当y＝4时，x＝5；
当y＝7时，x＝3；
当y＝10时，x＝1。
所以，共有4种不同的租船方法。
答：有4种不同的租船方案。
故答案为：4。
【点评】解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系：大船只数×6+小船只数×4＝46人，合理分析得出结论。
10．【分析】按照取不同张数组成的不同币值列举出来即可．
【解答】解：可组成的币值为：
（1）单张表示：1元、10元，20元，共3种；
（1）任取两张：1元+10＝12元，1元+20元＝21元，10元+20元＝30元；共3种；
（3）任取3张：1元+10元+20元＝31元，有1种，
所以能表示的不同钱数为：3+3+1＝7（种）．
答：共能表示出7种不同的钱数。
故答案为：7。
【点评】解答此题的关键是，根据题意，能利用所给的币值，找出组成的不同币值时，一定不要重复和遗漏。
11．【分析】假设3块装的买x包，4块装的买y包，则根据题意，得到3x+4y＝20，然后根据数的奇偶性讨论，只要x、y是自然数，即可得解。
【解答】解：假设3块装的买x包，4块装的买y包，根据题意可得，
3x+4y＝20
y＝
要使y的值为自然数，20﹣3x为偶数，即x的值必须是偶数，
当x＝0时，y＝＝5；
当x＝2时，y＝＝3.5（不符合要求）；
当x＝4时，y＝＝2；
当x＝6时，y＝＝0.5（不符合要求）。
综上所述可得：3块装的买0包，4块装的买5包；或3块装的买4包，4块装的买2包；
共有2种不同的买法。
答：共有2种不同的买法。
故答案为：2种。
【点评】此题考查了学生用解方程的方法解决问题的能力。
12．【分析】根据题意，设12元/瓶的洗涤液买了x瓶，8元/瓶的洗涤液买了y瓶，然后根据买两种洗涤液需要的总钱数＝100，列出方程，根据y的取值，求出方程的解，判断出共有几种买法即可。
【解答】解：设12元/瓶的洗涤液买了x瓶，8元/瓶的洗涤液买了y瓶，
则12x+8y＝100，
y＝，
（1）当x＝1时，y＝11；
（2）当x＝3时，y＝8；
（3）当x＝5时，y＝5；
（4）当x＝7时，y＝2；
所以共有4买法。
故答案为：4。
【点评】此题主要考查了对方程的分析求解，解答此题的关键是用方程表示出等量关系。
13．【分析】从上面3张纸币中取两张纸币，即两两组合，据此列举即可。
【解答】解：取2张不同面值的纸币，有
1+5＝6（元）
1+10＝11（元）
5+10＝15（元）
三种币值，所以一共有3种币值。
答：一共可以取出3种不同币值。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，注意枚举时，不要重复枚举，也不要漏项。
14．【分析】根据规律一个细胞一分钟分裂为2个（原细胞不复存在），依次列举出5分钟后分裂成了多少个细胞即可。
【解答】解：第一分钟：2个
第二分钟：2×2＝4（个）
第三分钟：2×2×2＝8（个）
第四分钟：2×2×2×2＝16（个）
第五分钟：2×2×2×2×2＝32（个）
答：5分钟后分裂成了32个细胞。
故答案为：32。
【点评】先找到规律，再根据规律求解。
15．【分析】根据题意，用2克、3克、5克的砝码各一个可以称量：1克、2克、3克、4克、5克、7克、8克、10克的物体，共9钟。
【解答】解：现有2克、3克、5克的砝码各一个，
3﹣2＝1（克）
2+5＝7（克）
2+5﹣3＝4（克）
3+5＝8（克）
5+3﹣2＝6（克）
2+3+5＝10（克）
那么天平上能称出9种不同质量的物体：1克、2克、4克、3克、5克、6克、7克、8克、10克。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力，注意2克，3克及5克砝码各1枚是本题的一个突破点，可以减少很多种情况的分析。
16．【分析】因为10÷2＝5，所以可以用5辆两吨车来运；因为2和3的最小公倍数为6，即2×3＝3×2，所以，每减少3辆2吨车，需要补上两辆3吨车，即可满足恰好运完10吨煤，据此解答。
【解答】解：10÷2＝5（辆）
所以，可以用5辆两吨车来运；
又因为2×3＝3×2，
所以每减少3辆2吨车，需要补上2辆3吨车，
即2辆2吨车，2辆3吨车来运，
共有两种方案。
故答案为：两。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，根据整除的特性以及公倍数的性质来进行筛选可以简化问题。
17．【分析】根据题意，利用列举法分别列举出不同边长的正方形的围法，得出结论。
【解答】解：（1+9）×9÷2
＝10×9÷2
＝45（厘米）
45÷4＝11（厘米）……1（厘米）
所以正方形的边长最长是11厘米
①边长是11 厘米：
9+2＝8+3＝7+4＝6+5（围成1个正方形）
②边长是10厘米：
9+1＝8+2＝7+3＝6+4（围成一个正方形）
③边长是9厘米：
8+1＝7+2＝6+3＝5+4（围成5个正方形）
④边长是8厘米的：
7+1＝6+2＝5+3（围成1个正方形）
⑤边长是7厘米：
6+1＝5+2＝4+3（围成1个正方形）
1+1+5+1+1＝9（种）
答：共有9种不同的方法。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查列举法解决问题，主要列举时要按一定的顺序，防止重复或遗漏。
18．【分析】一条大船和一条小船可以乘坐：8+6＝14（人），14刚好能整除28，据此计算即可。
【解答】解：一条大船和一条小船可以乘坐：
8+6＝14（人）
28÷14＝2（条）
答：需要租2条大船，2条小船。
故答案为：2，2。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，根据两条船可乘坐的人数和刚好能整除学生的人数来简化问题是本题解题的关键，也可采用枚举法，一一列举出所有的租船方案，找到刚好能都坐满的方案。
三．应用题（共8小题）
19．【分析】假设6块装的买x包，4块装的买y包，则根据题意，得到不定方程6x+4y＝50，然后根据数的奇偶性讨论，只要x、y是自然数，即可得解。
【解答】解：假设6块装的买x包，4块装的买y包，根据题意可得，
6x+4y＝50
y＝
要使y的值为自然数，25﹣3x为偶数，即x的值必须是奇数，
当x＝1时，y＝（25﹣3×1）÷2＝11；
当x＝3时，y＝（25﹣3×3）÷2＝8；
当x＝5时，y＝（25﹣3×5）÷2＝5；
当x＝7时，y＝（25﹣3×7）÷2＝2；
当x＝9时，y＝（25﹣3×9）÷2为负数（不符合要求）；
综合上述可得：6块装的买1包，4块装的买11包；或6块装的买3包，4块装的买8包；或6块装的买5包，4块装的买5包；或6块装的买7包，4块装的买2包；
共有4种不同的买法。
答：共有4种不同的买法。
【点评】此题考查了学生用解方程的方法解决问题的能力。
20．【分析】根据题意，用24根1米长的木条围一个长方形花圃，则长方形的长和宽的和是24÷2＝12（米），然后利用列举法分别列举和是12米的长和宽的值（都是整数），利用长方形面积公式：S＝ab，计算其面积即可。
【解答】解：24÷2＝12（米）
12＝11+1＝10+2＝9+3＝8+4＝7+5＝6+6
11×1＝11（平方米）
10×2＝20（平方米）
9×3＝27（平方米）
8×4＝32（平方米）
7×5＝35（平方米）
6×6＝36（平方米）
长/米
11
10
9
8
7
6
宽/米
1
2
3
4
5
6
面积/平方米
11
20
27
32
35
36
答：一共有6种不同的围法，面积最大是36平方米。
【点评】本题主要利用列举法解决问题，注意长方形的长和宽的和是24÷2＝12（米）。
21．【分析】根据坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，确定坐船的方案：4×8＝32（人），2×6+4×5＝32（人），3×6+4×5＝38（人），4×6+2×6＝32（人），据此租船即可。
【解答】解：因为4×8＝32（人），2×6+4×5＝32（人），3×6+4×5＝38（人），4×6+2×6＝32（人），
所以，如果每条船都坐满，这样租船能正好一次运到：
①8只小船
②5只小船，2只大船
③2只小船，4只大船
答：可以这样租船：8只小船；5只小船，2只大船；2只小船，4只大船。
【点评】抓住题干中的坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，即可解决此类问题．
22．【分析】先枚举分类：①都答对的，得6分；②都答错的，得0分；③答对一道，另一道答错，得3分；④答对一道，另一道不答，得4分；⑤两道都不答，得2分；⑥一道不答，另一道答错，得1分；共有6种情况，然后把它看作6个抽屉，把50名同学看作50个元素，再根据抽屉原理解答即可。
【解答】解：根据分析可得，
①都答对的，得6分；
②都答错的，得0分；
③答对一道，另一道答错，得3分；
④答对一道，另一道不答，得4分；
⑤两道都不答，得2分；
⑥一道不答，另一道答错，得1分；共有6种情况；
50÷6＝8（名）……2（名）
8+1＝9（名）
答：至少有9名同学的成绩相同。
【点评】本题考查了筛选与枚举以及抽屉原理的综合应用，关键是求出有几种得分；至少数＝商+1（在有余数的情况下）。
23．【分析】求有几种分法，即求45的因数有多少，根据找一个数因数的方法，列举出45的所有因数，根据因数的个数，并结合题意，即可得出分法共有多少种。
【解答】解：45＝3×3×5
所以45的因数有：1、3、5、9、15、45，
①3×15＝45
可以分成3组，每组15人，或分成15组，每组3人；
②5×9＝45
可以分成5组，每组9人，或分成9组，每组5人。
答：有四种分法：分成3组，每组15人；分成15组，每组3人；分成5组，每组9人；分成9组，每组5人。
【点评】此题考查了因数倍数问题，应明确45的因数的个数，是解答此题的关键。
24．【分析】面包车每车可以坐6人，那么最多需要30÷6＝5辆，所以按面包车为5、4、3、2、1、0列举即可。
【解答】解：根据分析可得：
派车方案
面包车
小轿车
坐的总人数
1
5
0
30√
2
4
2
32
3
3
3
30√
4
2
5
32
5
1
6
30√
6
0
8
32
按方案1、3、5租车才能正好一次都全部乘车。
答：面包车租5辆；或面包车租3辆、小轿车租3辆；或面包车租1辆、小轿车租6辆才能正好一次都全部乘车。
【点评】对于解决方案问题，注意题目中蕴含的条件和数据，通过具体的计算，找出最优化的方案。
25．【分析】（1）根据各种车所坐人数及总人数，利用列举法求出符合题意的方案，完成填表即可。
（2）根据（1）的方案找出最合算的一种租车方案，计算所需钱数，比较即可得出结论。
【解答】解：（1）如果每辆车都坐满，租车方案如下：
租车方案
面包车（6人）
小轿车（4人）
总人数
（1）
4辆
0辆
24人
（2）
3辆
1辆
22人
（3）
2辆
3辆
24人
（4）
1辆
4辆
22人
（5）
0辆
6辆
24人
答：租3辆面包车和1辆小轿车或者租1辆面包车和4辆小轿车，正好坐满，没有空位。
（2）租一辆游园面包车6元，每人合6÷6＝1（元）
租一辆游园小轿车5元，每人合5÷4＝1.25（元）
所以尽量租面包车，且尽量满座时最省钱，
由上面所述可得方案（2），租3辆面包车和1辆小轿车最合算：
3×6+5
＝18+5
＝23（元）
答：按照方案（2）最省钱，需要花费23元。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是找到都坐满的方案，并计算所需钱数。
26．【分析】因为小红从下面的书中买了2套不同的书，则她可能买到的书的本数有很多种情况。将情况分门别类呈现即可。（1）1套4本的，1套6本的，4+6＝10（本）；（2）1套4本的，1套8本的，4+8＝12（本）；（3）1套6本的，1套8本的，6+8＝14（本）。然后将本数相同的合并可得最终可能买到本数。
【解答】解：（1）1套4本的，1套6本的，4+6＝10（本）；
（2）1套4本的，1套8本的，4+8＝12（本）；
（3）1套6本的，1套8本的，6+8＝14（本）。
所以她可能买了10，12，14本书。
答：她可能买了10，12，14本书。
【点评】本题考查筛选与枚举的方法。当种类较多时，可以按照规律去分类讨论。
四．操作题（共1小题）
27．【分析】只要进行列举即可得出结论：能画出1厘米，4厘米，6厘米，（4﹣1）厘米，（6﹣4）厘米，（6﹣1）厘米；据此解答即可。
【解答】解：1厘米，4厘米，6厘米，3厘米，2厘米，5厘米；
【点评】此题较简单，只要进行列举，然后根据列举的数进行计算，即可得出答案；类比于数线段解决问题也可。
五．解答题（共2小题）
28．【分析】（1）﹣（5）根据已知统计表中的数据可直接看出答案；
（6）写出自己的另外一条发现，只要合理即可（答案不唯一）。
【解答】解：（1）一共有4种合适的方案。
（2）小明是从5元面值人民币张数最多的情况开始列表的。
（3）从方案②③④可以看出，付5张5元，再付几张2元，不能正好共付出30元。
（4）从方案④到方案⑤再到，可以看出：小明发现了5元每减少1张，至少要增加2张2元。
（5）当5元付5、3、1张（写出所有情况）时，找不到正好付30元的方案。
（6）我还发现：
用列表的方法研究付钱方案时，要从面值较大的人民币入手。（答案不唯一）
故答案为：（1）4；（2）5；（3）不能；（4）2；（5）5、3、1；（6）用列表的方法研究付钱方案时，要从面值较大的人民币入手。（答案不唯一）
【点评】解答的关键是根据提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法解答。
29．【分析】采用分类枚举，先枚举只有1元和2元的前框，再枚举5元出现1张和两张的情况，据此解答。
【解答】解：按顺序分类枚举：先枚举只有1元和2元的情况，再枚举出现1张5元和2张5元的情况。
1元
2元
5元
12张
0张
0张
10张
1张
0张
8张
2张
0张
6张
3张
0张
4张
4张
0张
2张
5张
0张
0张
6张
0张
7张
0张
1张
5张
1张
1张
3张
2张
1张
1张
3张
1张
2张
0张
2张
0张
1张
2张
答：它一共有13种不同的付钱方法。
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，注意枚举时做到不重不漏。
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