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【暑假提升】浙教版数学八年级(八升九)暑假-专题第31讲《由平行线截得的比例线段》预习讲学案
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第31讲 由平行线截得的比例线段
一、平行线截线段成比例
基本事实:两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例
已知如图,直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线,l4、l5是任意画的两条直线,分别于这组平行线一下相交于点A,B,C,D,E,F,则比例式 成立.
要点:上图的变式图形:分A型和X型;
A型 X型
则常用的比例式:依然成立.
二、把已知线段AB五等分.
已知线段AB,请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法
1. 以A为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2. 连结A5B,并过点A1,A2,A3,A4分别作A5B的平行线,依次交AB于点B1,B2,B3,B4.则点B1,B2,B3,B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据:实际上,过点A作l∥A5B,根据平行线分线段成比例的基本事实,就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5,
∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
∴点B1,B2,B3,B4把线段AB五等分.
要点:
在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.
例1.如图,已知,那么( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例定理,得到;利用AO、BO、CO的长度,求出DO的长度即可解决问题.
解:∵AB∥CD,
∴;
∵AO=2,CO=6,BO=3,
∴,
解得:DO=4,
故选B.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例,解题的关键是读懂题意,掌握平行线分线段成比例.
例2.如图,在△ABC中,DE∥BC,若,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题解析::∵DE∥BC,
∴,
故选C.
考点:平行线分线段成比例.
例3.已知线段a、b、c,求作线段,下列作法中正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理判断即可.
由A得,,则x=,A错误;
由B得,,则x=,B错误;
由C得,,则x=,C错误;
由D得,,则x=,D正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理,灵活运用定理,找准对应关系是解题的关键.
例4.如图,点、分别在、上,以下能推得的条件是( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理进行判断即可.
解:根据平行线分线段成比例定理可知,如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边,
A. ,不符合题意,错误;
B. ,不符合题意,错误;
C. ,符合题意,正确;
D. ,不符合题意,错误;
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理,准确找到成比例线段是解题关键.
例5.如图,若l1∥l2∥l3,则下列各式错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段比例定理,得到对应的线段成比例,判断出错误的选项.
∵l1∥l2∥l3,
∴,,
∴.
故选:D.
【点睛】
本题考查平行线分线段比例定理,解题的关键是掌握这个定理,根据平行的条件得到对应的线段成比例.
例6.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,AD:BD=5:3,CF=6,则DE的长为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据DE∥BC,EF∥AB,判断出,在根据DE∥BC,EF∥AB,便可以找到分的线段成比例。,,便可求解了.
解:DE∥BC,EF∥AB
四边形BFED是平行四边形
DE∥BC AD:BD=5:3
又EF∥AB
又 CF=6
即DE=10
故选C
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,以及平行四边形的判定和性质,掌握这些基本知识是解此题的关键.
例7.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则( )
A. B.2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意易得AB=3,然后根据平行线所截线段成比例直接求解即可.
解: AH=2,HB=1,BC=5,
AB=3,
,
;
故选A.
【点睛】
本题主要考查平行线所截线段成比例,熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键.
例8.如图,点G、F分别是的边、上的点,的延长线与的延长线相交于点A,交于点E,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理即可得到答案.
解:∵交GA于点E,
,,,,
所以,A,B,D正确,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例定理,找准对应关系是解答此题的关键.
例9.如图,DE、NM分别是ABC、ADE的中位线,NM的延长线交BC于点F,则:S四边形MFCE等于( )
A.1:5 B.1:4 C.2:5 D.2:7
【答案】B
【解析】
【分析】
过N作NH⊥DE于H,过A作AP⊥BC于P交DE于G,得到NM∥AG,根据三角形中位线定理得到DE∥BC,得到AG=PG,求得NM=AG=PG,根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论.
解:过N作NH⊥DE于H,过A作AP⊥BC于P交DE于G,
∴NM∥AG,
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
∴AG=PG,
∵M是DE的中点,
∴DM=ME=DE,
∵NM∥AG,AN=DN,
∴==,
∴NM=AG=PG,
∵DM=ME,
∴S△DMN:S四边形MFCE===1:4.
故选:B.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理.本题关键是找准比例关系求解.
例10.如图,四条平行直线、、、被直线、所截,,若,则线段和线段的长度之和是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式,分别求出EF、GH,计算即可求解.
解:∵,
∴,即,
解得,EF=,
∵,
∴,即,
解得GH=,
则线段EF和线段GH的长度之和=+=6.
故选B.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
例11.如图,直线,直线分别交、、于点A、B、C,直线分别交、、于点D、E、F,与相交于点H,如果,那么的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得出结论.
解:∵,,∴,
∵,AB=5,
∴,
∴.
故选D.
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理,掌握根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键.
例12.如图,AB∥CD∥EF,AC与BD相交于点E,若CE=5,CF=4,AE=BC,则的值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
∵AB∥EF,
∴;
∵CE=5,CF=4,AE=BC,
∴,
解得AE=20.
∵AB∥CD,
∴.
故选D.
例13.如图,,点在上,与交于点,,,则的长为 .
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理,由AB∥GH,得出,由GH∥CD,得出,将两个式子相加,即可求出GH的长.
解:,
,
即①,
,
,
即②,
①②,
得,
,
,
解得.
故答案为:
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理,熟练运用等式的性质进行计算.本题难度适中.
例14.如图,AD是△ABC的中线,AE=EF=FC,BE交AD于点G,则=_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得到GE是△ADF的中位线,从而根据平行线分线段成比例定理可求得的值.
解:∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵AE=EF=FC,
∴F是CE中点,
∴DF∥GE,
∴=.
故答案为.
例15.如图,在中,为上一点,且,过点作交于点,连接,过点作交于点.若,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由DE与BC平行,由平行得比例求出AE的长,再由DF与CE平行,由平行得比例求出EF的长即可.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
则.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键.
例16.如图中,、为的三等份点,为的中点,与、分别交于、,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先过点M作MK∥BC,交AF,AE分别于K,N,由M是AC的中点与D、E是BC的三等分点,根据平行线分线段成比例定理,即可求得MK=NK=BE=EF=EC,然后根据比例的性质,即可求得BG:GH:HM的值.
解:过点M作MK∥BC,交AF,AE分别于K,N,
∵M是AC的中点,
∴,
∵E、F是BC的三等分点,
∴BE=EF=FC,
∴MN=2NK,
∵,,
∴MH=BH,MG=BG,
设MH=a,BH=4a,BG=GM=,
∴GH=GM-MN=,
∴BG:GH:HM=::a=5:3:2.
故答案为5:3:2.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质.此题难度适中,解题的关键是注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
一、单选题
1.如图,△ABC中,点D,E分别在边AB,AC的反向延长线上,且DE∥BC.若AE=2,AC=4,AD=3,则AB为( )
A.9 B.6 C.3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,据此可得结论.
解:∵,
∴根据平行线分线段成比例定理可得,
∵,,,
∴,
∴,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例运用,平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
2.如图,在中,点D,E分别在,边上,.若,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例,得到;
解:∵,
∴,
故选:A.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,解题的关键是找准对应线段.
3.如图,.若,DE=4,则EF的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例的性质即可求解.
解:由题意得,
则EF=,
故选:A.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,解题的关键是掌握.
4.如图,点A,E,F,C在同一条直线上,,BE的延长线交AD于点G,且,则下列结论中错误的是( )
A.= B.= C.= D.=
【答案】C
【解析】
【分析】
根据,可得=,,即可判断ABC选项,根据,可得△AFD∽△CFH,根据平行线分线段成比例可得=,即可判断D选项.
解:∵,
∴
∴=,,
∴A选项结论正确,不符合题意;C选项结论错误,符合题意;B选项结论正确,不符合题意;
∵,
∴=,D选项结论正确,不符合题意;
故选:C.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,找出对应边是解题的关键.
5.如图,l1∥l2∥l3,且=,则错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据比例的性质与平行线分线段成比例,列出比例式,逐项判断即可
=,
,
故A选项正确,不符合题意;
l1∥l2∥l3,且=,
,
故B选项正确,不符合题意;
故D选项正确,不符合题意;
根据已知条件不能求出的值,故C选项不正确,
故选C.
【点睛】
本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例,掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键.
6.如图,在中,,两边上的中线,相交于点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因为BE、CD是△ABC中的两条中线,可知DE是△ABC的中位线,于是,,根据,可得出,即可得出结论.
解:∵BE、CD是△ABC中的两条中线,
∴DE是△ABC的中位线,
∴,DE=BC,
∴,
∴,故D正确.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查的是三角形中位线的性质,平行线分线段成比例定理,根据题意得出,是解题的关键.
7.如图是一架梯子的示意图,其中,且.为使其更稳固,将A,间加一条安全绳(线段),分别交,于点E,F,量得.则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到,同理得到,计算即可.
解:,
,
,
,
同理可得:,
,
,
故选C.
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
8.如图,在中,,,已知,则的长是
A. B.3 C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点,则DG∥EH∥FI,根据平行线分线段成比例定理,即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系,由此可求出DG+EH+FI的长.
∵AD=DE=EF=FB,AG=GH=HI=IC,
∴DG∥EH∥FI;
∴,即DG=BC;
同理可得:EH=BC,FI=BC;
∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3;
故选B.
【点睛】
此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用.
9.如图,在中,点,点为边的三等分点,与交于点,则下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系,选出正确选项.
解:A选项错误,
∵点D、点E是AB的三等分点,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
则;
B选项错误,无法证明;
C选项正确,
∵,
∴,
∵,
∴,
则;
D选项错误,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理,解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系.
10.如图,正方形的边,上各有一个点,,连结,且,点,,分别在,,边上,连结,,,,其中与相交于点,,为求出平行四边形的面积,只需知道下列哪条边的长度( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解:设,根据正方形的性质及平行四边形的性质利用AAS易证明,得出,再根据平行成比例线段可得出,最后根据平行四边形的面积等于大正方形的面积减去两组全等三角形的面积,化简即可得出答案.
解:设
四边形ABCD为正方形
,
四边形EFGH是平行四边形
HG=EF,
,
在和中
,
同理可证明
S△BGH=S△DEF,S△AGF=S△CEH
即
S平行四边形EFGH=
故选D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、平行线成比例线段、全等三角形的判定及性质定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
二、填空题
11.如图,已知,、交于点,若,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由AE∥BC可知△AED∽△CBD,从而可求得=,然后即可求得的值.
解:∵AE∥BC,
∴△AED∽△CBD,
∴,
∴=,
∴=,
故答案为
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.
12.如图,,如果,那么________.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式,分别求出AE、GC的长,计算即可.
∵DE∥FG∥BC,
∴AE:EG:GC=AD:DF:FB=2:3:4,
∵EG=4,
,
.
故答案为:12.
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
13.如图,AB∥CD∥EF,若,则_____.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题;
解:∵AB∥CD∥EF,
∴,
∵,
∴,
故答案为.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
14.如图,已知,,则______,______.
【答案】 ,
【解析】
【分析】
由,则有,又,得,即可得到.
解:∵,
∴,
∴,
设
∴,
故答案为,.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理,解题的关键是熟记平行线分线段成比例的性质,以及合比性质等.
15.如图,已知,,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由,可得,由,可得,然后根据等量代换得,然后即可得到.
解:∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理,解题的关键是求出,注意等量代换和数形结合思想的应用.
16.如图,在中,是中线,是重心,过点作,分别交、于点、,若,则____________.
【答案】12
【解析】
【分析】
如图,运用平行线分线段成比例定理列出比例式:,根据AC=18,求出AF即可解决问题.
解:∵G是△ABC的重心,
∴AG=2DG,AD=3DG;
∵EF∥BC,
∴,
∵AC=18,
∴AF=12.
故答案为12.
【点睛】
该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题;牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
17.如图,在中,为边上的中线,是的角平分线,交于点F.则的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
过点E作EG⊥AB,垂足为G,证明△CBE≌△GBE,求得CE,EG,AE的长,过点F作FO⊥AC,垂足为O,利用平行线分线段成比例定理求解即可.
∵
∴AB==10,
过点E作EG⊥AB,垂足为G,
∵是的角平分线,
∴∠CBE=∠GBE,
∵∠C=∠BGE=90°,BE=BE,
∴△CBE≌△GBE,
∴BC=BG=6,EC=EG,
设CE=x,则EG=x,AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中,根据勾股定理,得,
即,
解得x=3,
∴CE=3,AE=5,
过点F作FO⊥AC,垂足为O,,
∴FO∥BC,
∴,
∴即FO=2OE,
∵AD是中线,BC=6,
∴CD=3,
∵FO∥DC,
∴,
∴,
解得OE=,
在直角三角形OEF中,,
∴EF==.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了勾股定理,三角形全等,平行线分线段成比例定理,中线,角的平分线,构造辅助线实施全等证明,平行线分线段成比例证明是解题的关键.
18.如图,在中,点是边的中点,直线交边于点,交的延长线于点,如果,那么的值为____.(用含、的式子表示)
【答案】
【解析】
【分析】
过点B作BH∥AC交EF于点H,先证明△BDH≌△CDF,得出BH=CF,再根据得出即可得解.
解:过点B作BH∥AC交EF于点H,
∴,∠C=∠DBH,
∵点是边的中点,
∴BD=CD,
∵∠BDH=∠CDF,
∴△BDH≌△CDF,
∴BH=CF,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为: .
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理,解题的关键是正确作出辅助线.
三、解答题
19.如图,在△ABC中,DE∥BC,分别与AB、AC交于点D、E,若AE:EC=2:3,DB-AD=3,求AD和DB的长.
【答案】AD和DB的长分别为6和9
【解析】
【分析】
首先由在△ABC中,DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理,即可求得AE:EC=2:3=AD:BD,设AD=2k,BD=3k,再根据DB-AD=3,可得AD和DB的值.
解:∵DE∥BC
∴ AE:EC=2:3=AD:BD
设AD=2k,BD=3k,则k=3
∴AD=6,BD=9
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理.解题的关键是数形结合思想的应用,注意线段的对应关系.
20.如图,已知AD∥EB∥FC,AC=12,DB=3,BF=7,求EC的长.
【答案】EC的长为.
【解析】
【分析】
根据AD∥EB∥FC,由平行线分线段成比例可得EC:AC= BF:DF,代入数据计算即可.
∵AD∥EB∥FC,
∴EC:AC= BF:DF,
∴EC:12=7:10,
∴EC=.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理,根据平行线写出对应比例式是解题的关键.
21.如图,已知ADBECF,它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F,且AB=6,BC=8.
(1)求的值;
(2)当AD=5,CF=19时,求BE的长.
【答案】(1);(2)11
【解析】
【分析】
(1)根据ADBECF可得,由此计算即可;
(2)过点A作AGDF交BE于点H,交CF于点G,得出AD=HE=GF=5,由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6,即可得出结果.
解:(1)∵ADBECF,
∴,
∵AB=6,BC=8,
∴,
故的值为;
(2)如图,过点A作AGDF交BE于点H,交CF于点G,
∵AGDF,ADBECF,
∴AD=HE=GF=5,
∵CF=19,
∴CG=CF-GF=14,
∵BECF,
∴,
∴,
解得BH=6,
∴BE=BH+HE=11.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例;熟练掌握平行线分线段成比例,通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键.
22.如图,B、C、D、N分别是⊿AMO边AO、MO上的点,MC∥ND,,求证:NB∥MA
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例就可解决问题.
解:∵MC∥ND
∴
∵
∴
∴NB∥MA
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例的知识,掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
23.如图,在△ABC中,点D、F是在边AB 上,点E在边AC上,且FE∥CD,线段AD是线段AF与AB的比例中项.
求证:DE∥BC
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】
由FE∥CD,可得,由AD是线段AF与AB的比例中项,可得,进而可得,可得结论.
∵FE∥CD,
∴,
∵AD是线段AF与AB的比例中项,
∴,
∴,
∴DE∥BC.
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理,根据平行判断成比例线段是解题的关键.
24.已知:平行四边形ABCD,E是BA延长线上一点,CE与AD、BD交于G、F.
求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到,,得到△DFG∽△BFC,△DFC∽△BFE,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,,
∴△DFG∽△BFC,△DFC∽△BFE
∴,,
∴,
即.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
25.如图,DE∥BC,EF∥CG,AD:AB=1:3,AE=3.
(1)求EC的值;
(2)求证:AD•AG=AF•AB.
【答案】(1)6;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由平行可得 ,可求得AC,且EC=AC-AE,可求得EC;
(2)由平行可知 ,可得出结论.
解:(1)∵DE∥BC,
∴,
又,AE=3,
∴,
解得AC=9,
∴EC=AC-AE=9-3=6;
(2)∵DE∥BC,EF∥CG,
∴,
∴AD•AG=AF•AB.
26.已知,如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且EF∥BD,AE、AF分别交BD于点G和点H,BD=12,EF=8.
求:(1)的值;
(2)线段GH的长.
【答案】(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6.
【解析】
试题分析:(1)根据EF∥BD,则CF:CD=EF:BD,再利用平行四边形的性质即可得出DF:AB的值;
(2)利用DF∥AB,则FH:AH=DF:AB=1:3,进而得出GH:EF=AH:AF=3:4,求出GH即可.
试题解析:(1)∵EF∥BD,
∴CF:CD=EF:BD,
∵BD=12,EF=8,
∴CF:CD=2:3,
∴DF:CD=1:3,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,
∴DF:AB=1:3;
(2)∵DF∥AB,
∴FH:AH=DF:AB=1:3,
∴AH:AF=3:4,
∵EF∥BD,
∴GH:EF=AH:AF=3:4,
∴GH:8=3:4,
∴GH=6.
考点:1.平行线分线段成比例;2.平行四边形的性质.
27.如图,MN经过DABC的顶点A,MN∥BC,AM=AN,MC交AB于D,NB交AC于E.
(1)求证:DE∥BC;
(2)联结DE,如果DE=1,BC=3,求MN的长.
【答案】(1)见解析;(2)3
【解析】
【分析】
(1)由平行线分线段成比例结合条件可证得,可证得结论;
(2)由(1)的结论,结合平行线分线段成比例可得到,结合条件可求得,可求得AM,可求出MN.
(1)证明:∵,∴,.
∵,∴.
∴.
(2)∵,,.∴
∴,∴.
∴
∵,∴.
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定,掌握线段对应成比例⇔两直线平行是解题的关键.
28.如图,在中,,,点为边上的中点,连接,过点作于点,延长交于点,求的值.
【答案】2
【解析】
【分析】
过点作的平行线,过点作的平行线相交于点,延长交于点.先证明,得到,然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可.
解:如解图,过点作的平行线,过点作的平行线相交于点,延长交于点.
∵,,
∴四边形为正方形,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴.
又∵,
∴.
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及平行线分线段成比例定理,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形,灵活运用平行线分线段成比例定理解答.
29.如图,已知在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M在线段OD上,联结AM并延长交边DC于点E,点N在线段OC上,且ON=OM,联结DN与线段AE交于点H,联结EN、MN.
(1)如果EN∥BD,求证:四边形DMNE是菱形;
(2)如果EN⊥DC,求证:AN2=NC•AC.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据正方形性质及ON=OM,求出MN∥CD,进而得出四边形DMNE是平行四边形,在证明出△AOM≌△DON即可得到平行四边形DMNE是菱形;
(2)根据MN∥CD得到,再由EN⊥DC得到EN∥AD,,再由AB∥DC,得到,即可得到,即为所求.
证明:(1)如图1,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,
∵ON=OM,
∴ ,
∴MN∥CD,
又∵EN∥BD,
∴四边形DMNE是平行四边形,
在△AOM和△DON中,
∵∠AOM=∠DON=90°,OA=OD,OM=ON,
∴△AOM≌△DON(SAS),
∴∠OMA=∠OND,
∵∠OAM+∠OMA=90°,
∴∠OAM+∠OND=90°
∴∠AHN=90°.
∴DN⊥ME,
∴平行四边形DMNE是菱形;
(2)如图2,
∵MN∥CD,
∴,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,AB=DC,∠ADC=90°,
∴AD⊥DC,
又∵EN⊥DC,
∴EN∥AD,
∴,
∵AB∥DC,
∴,
∴,
∴AN2=NC•AC.
【点睛】
此题考查正方形相关知识,主要是利用平行线分线段成比例求解,难度较大.
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