【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第04讲《特殊二次函数的性质》预习讲学案

第04讲 特殊二次函数的性质一、二次函数y=ax2（a≠0）与y=ax2+c(a≠0)的图象及性质（复习图像，分析性质，数形结合）1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：二、二次函数与的图象与性质1.函数的图象与性质 2.函数的图象与性质例1．下列说法中正确的是（       ）A．在函数中，当时y有最大值0B．在函数中，当时y随x的增大而减小C．抛物线，，中，抛物线的开口最小D．不论a取何值，的顶点都是坐标原点【答案】C【解析】【分析】直接利用y=ax2（a≠0）图象的性质分别分析得出答案．A 由函数的解析式y＝2x2，可知抛物线顶点坐标在原点，开口方向向上，故当x=0时y有最小值0，故A错误；B 由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B错误；C 根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的绝对值越大，函数图象开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，故C正确；D 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2 (a≠0)的顶点都是坐标原点，故D错误故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2（a≠0）的图像的特点．例2．函数y＝x＋1，y＝x2＋2，y＝x2，y＝－2x2＋1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的图象与性质即可判断．解：当x＞0时，y随x的增大而增大的函数是一次函数y＝x＋1和二次函数y＝x2＋2和y＝x2．故选C．【点睛】此题主要考查函数的图象，解题的关键是熟知一次函数与二次函数的图象与性质．例3．下列关于二次函数的说法正确的是（       ）A．它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．解：A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误；B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误；C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．例4．点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】解：由图象，根据二次函数的性质，有A．若，则，原说法错误；B．若，则，原说法错误；C．若，则，原说法错误；D．若，则，原说法正确．故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．例5．点P(m ，n)在函数y  x2的图象上，当-1 ≤ m ≤2时，则n的取值范围是（       ）A．1 ≤ n ≤4 B．0≤ n ≤4 C．0≤ n ≤1 D．-1≤ n ≤2【答案】B【解析】【分析】由题意确定出对称轴，再根据二次函数的增减性求出m取值范围内的最大值，然后写出n的取值范围即可．解：函数y=x2，所以对称轴为y轴，∵-1≤m≤2，a=1＞0即开口向上，∴当m=0时，n有最小值0，当m=2时，n有最大值为22=4，所以n的取值范围是0≤n≤4．故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握并利用二次函数的增减性以及最值问题进行分析是解题的关键．例6．已知二次函数，则有（       ）A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据抛物线顶点式解析式特征，结合抛物线图象的性质，开口向上的抛物线，在对称轴的右边，随的增大而增大，据此解题即可．抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为根据抛物线图象的性质，当时，随的增大而增大A、B、D都不正确，D正确故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．例7．已知抛物线y＝（x﹣2）2上任意两点A（x1，y1）与B（x2，y2），若x2＞x1＞2，则y1和y2的大小关系是（　　）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【答案】B【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，A、B两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系即可；解：∵抛物线y＝（x﹣2）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，∴x2＞x1＞2，则y2＞y1，故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.例8．若二次函数．当≤ 3时，随的增大而减小，则的取值范围是（     ）A．= 3 B．>3 C．≥ 3 D．≤ 3【答案】C【解析】【分析】由题知道二次函数对称轴为，开口向上，根据二次函数图像的性质，当x在对称轴左边的时候随的增大而减小，即可得解．解：由题知二次函数对称轴为，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足即可满足题意，故选C．【点睛】本题考查了顶点式的二次函数图像的性质；掌握好二次函数图像的性质时本题的关键．例9．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：  ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（　　）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【解析】【分析】直接由判断①；把A点坐标代入抛物线y1=a（x+2）2-3求出a值判断②；由x=0求得y2，y1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④．解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；对于③，，当x=0时，，③错误；对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．故选D．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题．例10．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而______．当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．【答案】     向上     x＝h     （h，0）     小     减小     增大     向下     x＝h     （h，0）     大     增大     减小【解析】略例11．已知二次函数y＝（a+2）x2有最小值，那么a的取值范围是_____．【答案】a＞﹣2．【解析】【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数大于0时抛物线开口向下，函数有最小值，即可得出答案．解：因为二次函数y＝（a+2）x2有最小值，所以a+2＞0，解得a＞﹣2．故答案为：a＞﹣2．【点睛】本题考查二次函数性质，熟练掌握y=ax2形的图象性质是解题关键．例12．当时，二次函数的最大值是______，最小值是______．【答案】     4     0【解析】【分析】利用二次函数图像找到范围内的图像变化规律，从而求解．∵二次函数，∴对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，y轴左边y随x的增大而减小，在y轴右边，y随x的增大而增大．∴当时，最小值是当x＝0时，y＝0；当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4．故答案为4；0．【点睛】本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．本题难度不大，注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值．例13．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________．【答案】【解析】【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系．解：抛物线，对称轴为，，点关于的对称点，，在的右边随的增大而减小，，，，，，故答案选：．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小．例14．已知关于x的二次函数，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为___________．【答案】或6【解析】【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h<1、h>3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得．∵中a=1>0，∴当xh时，y随x的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小值3，即2h=3，解得：h=；②若h<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即 解得：h=2；(舍去)③若h>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即 解得：h=6,h=2(舍去)；故答案为:或6.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.例15．我们知道：二次函数：，当x=1时，y有最小值，当x=2时，y有最小值；那么请同学们探究一下：，当x=______时，y有最小值．，当x=202时y有最小值，则___．【答案】          2020【解析】【分析】利用二次函数的，开口向上，求出对称轴，当x为对称轴的值时，函数取最小值即可．由，当时，y有最小值．由，得，当．函数取最小值∴，故答案为：，2020．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数中a决定开口方向，当a>0时，抛物线开口向上，x=时函数取最小值，反之，当a<0时，抛物线开口向下，x=时函数取最大值是解题关键．一、单选题1．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）A．y＝x+1 B．y＝2x2（x＞0） C．y＝﹣x2（x＜0） D．y＝﹣x2（x＞0）【答案】D【解析】【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．解：A．在y＝x+1中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B．在y＝2x2，x＞0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；C．在y＝﹣x2，x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；D．在y＝﹣x2，x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次例函数和二次函数的性质解答．2．下列关于函数说法中错误的有（       ）个．①它的图象是抛物线；②对称轴是y轴；③顶点坐标是；④当时有最大值；⑤当时y随x增大而增大；⑥当时，图象开口向下A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质逐项分析即可，根据二次项系数的符号判断开口方向，根据函数表达式确定顶点坐标对称轴，以及最值．关于函数①它的图象是抛物线，所以①正确；②对称轴是y轴，所以②正确；③顶点坐标是，所以③正确；④当时有最小值，所以④不正确；⑤当时，，y随x增大而增大，所以⑤不正确；⑥当时，图象开口向下，所以⑥正确；故不正确的有④⑤，共计2个．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．解：∵，∴抛物线对称轴为直线，∵，∴时，随的增大而增大，∵的对称点为，且，∴．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．4．下列关于二次函数（m为常数）的结论错误的是（       ）A．当时，y随x的增大而减小 B．该函数的图象一定经过点C．该函数图象的顶点在函数的图象上 D．该函数图象与函数的图象形状相同【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故选项错误，符合题意；B．∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故选项正确，不符合题意；C．∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，函数图像的顶点为（m，m2+1），对于函数y＝x2+1，当x＝m时，y＝x2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故选项正确，不符合题意；D．∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同， 故选项正确，不符合题意；故选：A【点睛】此题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于中考常考题型．5．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）A．该函数图象与轴的交点坐标是B．当时，的值随值的增大而减小C．当取1和3时，所得到的的值相同D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象【答案】C【解析】【分析】把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，∴A选项错误；∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，∴当时，的值随值的增大而增大，∴B选项错误；∵当取和时，所得到的的值都是11，∴C选项正确；∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，∴D选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．6．已知二次函数y＝a（x+1）2+b（a＜0）有最大值1，则b的大小为（　　）A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质，由最大值求出b即可．解：∵二次函数y＝a（x+1）2+b（a＜0），∴抛物线开口向下，又∵最大值为1，即b＝1，∴b＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．7．若 A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数 的图象上，且 1≤a＜2，则b 与 c 的大小关系为（       ）A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质，判断两点到对称轴的距离，即可判断．解：，开口向上，对称轴为所以抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为∵∴，∴，∴即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，则故选：A【点睛】此题考查了二次函数的性质，以及不等式的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，利用不等式的性质正确比较出点、点到对称轴距离的大小关系．8．下列关于二次函数的说法，正确的是（       ）A．当时，随的增大而增大 B．图象向右平移3个单位则变为C．当时，函数有最大值 D．图象的对称轴是直线【答案】A【解析】【分析】分别利用二次函数的性质分析得出即可.解：A. 当x>3时，y随x的增大而增大，故A正确；B. 图象向右平移3个单位则变为y=2(x−6)2−1，故B错误；C. 当x=3时，函数y有最小值−1，故C错误；D. 图象的对称轴是直线x=3，故D错误.故选：A.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的性质是解题关键．9．如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（       ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】【分析】当D点横坐标最大值时，抛物线顶点必为，可得此时抛物线的对称轴为直线，求出间的距离；当C点横坐标最小时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断C点横坐标的最小值．解：当点D横坐标为6时，抛物线顶点为，∴对称轴为直线，；当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为直线，∵，∴，∴点C的横坐标最小值为，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象．明确CD的长度是定长是解题的关键．10．已知A，B两点的坐标分别为，，线段AB上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点，两点（点P在Q的左侧）．若恒成立，则b的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由恒成立，即点M要在线段PQ上，即抛物线在x=1时的函数值要比B的纵坐标大和x=-2时函数值要比A的纵坐标大，由此求解即可．解：如图所示，∵恒成立，即点M要在线段PQ上，∴，∴， 故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解恒成立，即点M要在线段PQ上是解题的关键．二、填空题(共0分)11．二次函数y=，当x<0时，y随x的增大而增大，则m=___．【答案】【解析】【分析】根据二次函数定义可列出方程，再根据当x<0时，y随x的增大而增大，可确定m的值．解：由题意得，，解得，∵当x<0时，y随x的增大而增大，∴，故，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的定义列出方程，利用二次函数的增减性确定m的值．12．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y＝x2+5的图象上，则y1、y2、y3按从小到大排列为___．【答案】【解析】【分析】抛物线y=x2+5的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系．解：∵当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，而抛物线y=x2+5的对称轴为直线x=0，开口向上，∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y3＜y2＜y1．故答案为：y3＜y2＜y1．【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．13．沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣（x﹣1）2在对称轴_____侧的部分是下降的（填“左”、“右”）．【答案】右．【解析】【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2可以得到该抛物线的对称轴和在对称轴两侧，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∴在对称轴右侧的部分是下降的，故答案为：右．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数的图象是解题的关键.14．如果二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意得：二次函数的图像开口向上，进而，可得到答案.∵二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，∴二次函数的图像开口向上，∴.故答案是：【点睛】本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.15．当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．【答案】4【解析】【分析】先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，当函数值都随着x的增大而减小，则x≥4，即m的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．16．已知点、在二次函数的图象上，若，则，的大小关系为______．（用“<”连接）．【答案】【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．解：∵二次函数中，a=1＞0，∴该二次函数的图象开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵二次函数的对称轴是直线x=1，且，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，关键在于确定函数的对称轴，进而求解．17．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有_____．【答案】①【解析】【分析】根据二次函数图像的特点得出答案①因为y=3（x﹣1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.【点睛】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.18．如图，已知抛物线与抛物线的图象相交于点A，过A作x轴的平行线分别交y1，y2于点B、C，若AC＝AB，则m的值是_______．【答案】【解析】【分析】解：设，则，求出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，抛物线的对称轴为，建立等式求出，的横坐标为，把代入得，，，，代入求解即可．解：设，则，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，抛物线的对称轴为，，解得，的横坐标为，把代入得，，，，代入得，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是根据题意得出表示出的坐标．三、解答题19．若二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x≤1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．【答案】m≥1【解析】【分析】由题意易得二次函数的图像开口向上，然后结合二次函数的增减性及题意可进行求解．解：∵二次函数y＝（x﹣m）2+1中，a＝1＞0，∴此函数图象开口向上，∵当x≤1时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴x＝m≥1，∴m的取值范围为：m≥1．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．20．已知是关于x的二次函数.(1)求满足条件的k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？【答案】(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.【解析】【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．(1) 根据二次函数的定义得      解得k=±2. ∴当k=±2时，原函数是二次函数.  (2)   根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2. ∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大. (3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2. ∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，∴当k=-2时，函数有最大值为0.   当x＞0时，y随x的增大而减小.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．21．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象（1）求a，h，k的值；（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）当时，求函数y的取值范围．【答案】（1）；（2）向上，；（3）【解析】【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值；（2）根据二次函数的性质求解；（3）根据二次函数的函数与增减性，结合端点函数值即可求解．解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（−1，3），把点（−1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2，−1），所以原二次函数的解析式为 所以；（2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）．（3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，∴当x=2时，y的最小值为-1，∵x=1时，；x=5时，∴当时，求函数y的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．22．已知二次函数．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．【答案】（1）二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线；（2）函数y有最小值，y的最小值为．【解析】【分析】（1）直接由函数解析式可确定开口方向及对称轴；（2）由开口方向及顶点坐标可确定出其最值．（1）在中，∵，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为，∴y的最小值为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为(h，k) ．23．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；（3）求抛物线与y轴的交点坐标．【答案】（1）；（2）x的取值范围为；（3）抛物线与y轴的交点坐标为．【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，把点代入即可求解；（2）根据函数的对称轴即可求解；（3）令x=0，即可求解．（1）∵抛物线，当时，有最大值，∴抛物线的解析式为．∵抛物线过点，∴，∴．∴此抛物线的解析式．（2）∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，∴当时，y随x的增大而增大．∴x的取值范围为．（3）当时，，∴抛物线与y轴的交点坐标为．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知对称轴的应用．24．已知函数.（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）；（2）图象与y轴交于（0,-6）；（3）得当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（4）由顶点坐标，得当时，y有最小值，最小值是-8.【解析】【分析】（1）根据二次函数性质，即可得到答案；（2）令y=0，x=0，分别代入解析式，即可得到与坐标轴交点坐标；（3）根据二次函数的性质，即可得解；（4）根据二次函数的性质，以及a的值，即可得到答案.解：（1）由函数，∵，，，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）.（2）令，即，解得，.∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）.令，即，∴图象与y轴交于（0,-6）.（3）由二次函数的性质，得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.（4）由顶点坐标，得：当时，y有最小值，最小值是-8.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，并正确求出与坐标轴的交点坐标.25．已知：抛物线与直线交于点（m，3）．（1）求m和n的值；（2）试说出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）当x何值时，二次函数中y随x的增大而减小；（4）函数与的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）m=2，；（2）顶点坐标为，对称轴为y轴；（3）当时，y随x的增大而减小；（4）有，坐标为（，）．【解析】（1）把，代入以及，得：，（2分）解得，故m=2，； （2）由（1）知：抛物线方程为，∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为y轴；（6分）（3）二次函数即，图象开口向上，对称轴为y轴，故当时，y随x的增大而减小；（8分）（4）有，根据题意解方程组得：，，∴两函数图象除了交点（2，3），还有一个交点，其坐标为（，）．26．如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点与关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)点是抛物线上的一点，当的面积是8，求出点的坐标；(3)过直线下方的抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点，已知点的横坐标是，试用含的式子表示的长及△ADM的面积，并求当的长最大时的值．【答案】（1）y=（x-1）2-4， 点D的坐标为（2，-3）；(2)点P的坐标为或或(1,-4)；（3）当,，当MN的长最大时S的值为.【解析】【分析】（1）根据点C的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及AB的长，设点P的坐标为（a，b），由三角形的面积公式结合△ABP的面积是8，可求出b值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（3）根据点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，由点M的横坐标为m可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长，结合S=S△AMN+S△DMN可用含m的式子表示△ADM的面积S，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．解：（1）把C（0，-3）代入y=（x-1）2+n，得，-3=（0-1）2+n，解得n=-4，∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-4， ∴抛物线的对称轴为直线x=1∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，∴点D的坐标为（2，-3）．（2）当y=0时，（x-1）2-4=0，解得：x1=-1，x2=3，∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），AB=3-（-1）=4．设点P的坐标为（a，b），∵△ABP的面积是8，∴AB•|b|=8，即×4|b|=8，∴b=±4．当b=4时，（a-1）2-4=4，解得：a1=1-2，a2=1+2，∴点P的坐标为（1-2，4）或（1+2，4）；当b=-4时，（a-1）2-4=-4，解得：a3=a4=1，∴点P的坐标为（1，-4）．∴当△ABP的面积是8，点P的坐标为（1-2，4）或（1+2，4）或（1，-4）．（3）设直线AD的解析式为y=kx+c（k≠0），将A（-1，0），D（2，-3）代入y=kx+c，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y=-x-1．∵点M的横坐标是m（-1＜m＜2），∴点M的坐标为（m，（m-1）2-4），点N的坐标为（m，-m-1），∴MN=-m-1-[（m-1）2-4]=-m2+m+2（-1＜m＜2），S=S△AMN+S△DMN=MN•（m+1）+MN•（2-m）=mn=-m2+m+3（-1＜m＜2）．∵MN=-m2+m+2=-（m-）2+，-1＜0，∴当m=时，MN取得最大值，最大值为，此时S的值为×=，∴当MN的长最大时S的值为．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出n值；（2）利用三角形的面积公式，求出点P的纵坐标；（3）利用二次函数的性质，求出MN的最大值．函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．