【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第05讲《用配方法求解一元二次方程》预习讲学案

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第05讲 用配方法求解一元二次方程
【学习目标】
1．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论。
【基础知识】
一．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
二．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【考点剖析】
一．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）
1．（2021秋•简阳市 期中）解方程：2（x﹣1）2＝18．
【分析】先把方程两边除以2得到（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2．（2021•天河区二模）解方程：（x﹣1）2﹣16＝0．
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）2﹣16＝0，
∴（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x1＝5，x2＝﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3．（2021•饶平县校级模拟）解方程：4（x﹣1）2﹣9＝0．
【分析】由原方程得到（x﹣1）2＝，利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣1）2＝，
直接开平方，得
x﹣1＝±，
解得x1＝，x2＝﹣．
【点评】题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
4．（2020秋•孟津县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【分析】直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解．
【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）
即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），
解得：y1＝，y2＝﹣．
【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
二．解一元二次方程-配方法（共4小题）
5．（2021秋•鼓楼区期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．（2021秋•绵竹市期末）解方程：x2+6x＝1．
【分析】方程两边加上9，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：方程配方得：x2+6x+9＝10，
即（x+3）2＝10，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2021秋•富县月考）用配方法解方程：x2+6x+2＝0．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：移项得x2+6x＝﹣2，
配方得x2+6x+9＝﹣2+9，
即（x+3）2＝7，
开方得x+3＝±，
解得：，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2x．
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+2＝2x，
∴x2﹣2x+2＝0，
（x﹣）2＝0，
∴x1＝x2＝．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
三．配方法的应用（共4小题）
9．（2021春•奉化区校级期末）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于？
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，m≥1，
则m2+2n2+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵m≥1，
∴（m+3）2﹣12≥4，即代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．
【点评】本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
10．（2021秋•阳信县月考）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，求x+y+z的值．
【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质分别求出x、y、z，代入计算即可．
【解答】解：x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，
x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9＝0，
（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2＝0，
则x﹣1＝0，y+2＝0，z﹣3＝0，
解得，x＝1，y＝﹣2，z＝3，
则x+y+z＝2．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．
11．（2020春•滨湖区期中）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
方法应用：
（1）a2+4a+b2+4＝0，则a＝　﹣2　，b＝　0　；
（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式的左边变形，根据偶次方的非负性求出a、b；
（2）用x表示y，把原式变形，根据偶次方的非负性、负整数指数幂的概念解答即可．
【解答】解：（1）∵a2+4a+b2+4＝0，
∴a2+4a+4+b2＝0，
∴（a+2）2+b2＝0，
∴（a+2）2＝0，b2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
故答案为：﹣2；0；
（2）∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x，
原式变形为x（8﹣x）﹣z2﹣4z＝20，
整理得，8x﹣x2﹣z2﹣4z＝20，
∴x2﹣8x+16+z2+4z+4＝0，
∴（x﹣4）2+（z+2）2＝0，
∴（x﹣4）2＝0，（z+2）2＝0，
∴x＝4，z＝﹣2，
∴y＝8﹣x＝4，
∴（x+y）z＝．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
12．（2021春•灞桥区校级月考）阅读材料：把形如x2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．
例如：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3；
x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x；
x2﹣2x+4＝x2﹣2x+4+x2＝（x﹣2）2+x2；
是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，将二次三项式x2﹣6x+16配成完全平方式（直接写出两种形式）；
（2）已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求a﹣b+c的值；
（3）已知2x+y＝6，求当x、y分别取什么值时，x2+2xy+y2﹣3x﹣2y取最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可；
（3）已知的式子可以变形成（a2+b2﹣2ab）+（c2+2c+1）＝0，得到两个完全平方式的和是0，即可根据两个非负数的和是0，则每个数是0，求得a，b，c的关系，从而求解．
（3）将题中求最小值的式子变形成含有已知值的式子，再进行分析求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+16＝x2﹣6x+9+7＝（x﹣3）2+7；
x2﹣6x+16＝x2﹣8x+16+2x＝（x﹣4）2+2x；
（2）a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，
∴，
∴，
∴，
∴a﹣b+c＝1；
（3）x2+2xy+y2﹣3x﹣2y
＝（x+y）2﹣（2x+y+x+y）
＝（x+y）2﹣6﹣（x+y）
＝
＝，
当，即时，原式取得最小值；
又，解得：，最小值为．
【点评】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．
【过关检测】
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•新罗区校级月考）用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝7 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝1
【分析】方程常数项移动右边，左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：方程x2+4x+3＝0，
移项得：x2+4x＝﹣3，
两边同时加4，得：x2+4x+4＝﹣3+4，即（x+2）2＝1．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
2．（2022•大渡口区模拟）方程x2﹣1＝0的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．0 D．x＝±1
【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：x2﹣1＝0，
移项，得x2＝1．
直接开平方，得x＝±1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3．（2022春•广西月考）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x＝1
【分析】先移项，再两边开平方即可．
【解答】解：∵x2﹣1＝0，
∴x2＝1，
∴x＝±1，
即x1＝﹣1，x2＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
4．（2021秋•中山市期末）一元二次方程（x+1）2＝4的解为 　x1＝1，x2＝﹣3　．
【分析】利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：（x+1）2＝4
x+1＝±2
x＝±2﹣1
x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
5．（2022春•邹城市期中）方程3x2﹣6＝0的解是　x1＝，x2＝﹣　．
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：3x2﹣6＝0，
x2＝2，
x＝±，
所以x1＝，x2＝﹣．
故答案为x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程
6．（2021秋•金台区期末）方程x2+2x﹣2＝0配方得到（x+m）2＝3，则m＝　1　．
【分析】利用配方法得到（x+1）2＝3，从而得到m的值．
【解答】解：x2+2x＝2，
x2+2x+1＝3，
（x+1）2＝3．
所以m＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7．（2021秋•方城县期末）若方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m﹣4与3m﹣8，则＝　1　．
【分析】利用直接开平方法得到x＝±，得到方程的两个根互为相反数，所以m﹣4+3m﹣8＝0，解得m＝3，则方程的两个根分别是1与﹣1，则有＝1，然后两边平方得到＝1．
【解答】解：∵x2＝，
∴x＝±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m﹣4+3m﹣8＝0，解得m＝3，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是1与﹣1，
∴＝1，
∴＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
8．（2021秋•德城区校级月考）当a＝　﹣1　时，多项式a2+2a+2有最小值为 　1　．
【分析】利用配方法将多项式a2+2a+2，转化为（a+1）2+1，然后利用非负数的性质进行解答．
【解答】解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1，
∴当a＝﹣1时，多项式a2+2a+2有最小值，最小值是1．
故答案为：﹣1，1．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
三．解答题（共6小题）
9．（2021秋•船营区校级月考）用配方法解方程：2x2﹣7x+6＝0．
【分析】移项、二次项系数化成1，两边加上一次项系数一半的平方，则左边是一次式的平方，右边是常数，即可利用直接开平方法求解．
【解答】解：移项，得：2x2﹣7x＝﹣6，
二次项系数化成1得：x2﹣x＝﹣3，
配方，x2﹣x+＝﹣3+，
即（x﹣）2＝，
则x﹣＝±，
则x1＝2，x2＝．
【点评】本题考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
10．（2020秋•东城区校级期中）解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．
【分析】把常数项移到右边，然后在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方进行计算即可．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0，
x2﹣6x+9＝﹣2+9，
（x﹣3）2＝7，
x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，解决本题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
11．（2020秋•朝阳区校级期中）解方程：2x2＝8．
【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：2x2＝8，
则x2＝4，
解得：x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
12．（2020秋•高州市月考）解方程：（x﹣3）2＝9．
【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣3）2＝9，
开方得：x﹣3＝±3，
解得：x1＝0，x2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
13．（2020秋•嘉定区期中）用配方法解方程：3x2+6x﹣4＝0．
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：3x2+6x﹣4＝0，
方程两边同时除以3，得x2+2x﹣＝0，
移项，得x2+2x＝，
配方，得x2+2x+1＝+1，
则（x+1）2＝，
所以，x+1＝±，
所以，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
【点评】本题考查的是配方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
14．（2020秋•滑县月考）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）．
②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2．
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　；
（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（3）求x2+8x+7的最小值．
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；
（2）将35化为36﹣1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）将x2+8x+7转化为（x+4）2﹣9，再利用完全平方式最小值为0，即可求解．
【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4；
（2）a2﹣12a+35＝a2﹣12a+36﹣1
＝（a﹣6）2﹣1
＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
＝（a﹣5）（a﹣7）；
（3）x2+8x+7＝x2+8x+16﹣9
＝（x+4）2﹣9，
∵（x+4）2≥0，
∴（x+4）2﹣9≥﹣9，
∴x2+8x+7的最小值为﹣9．
【点评】本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．