【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.1.2《空间向量的数量积运算》讲学案（必修1）

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1．1.2　空间向量的数量积运算

知识点一　空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.

知识点二　空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).


知识点三　 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．


题型一、数量积的计算
1．空间向量的夹角
图示

定义
已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，
则_________叫做向量，的夹角，记作_________
范围
通常规定：__________________；
当_________时，与垂直，记作_________
【答案】     ；  ； 0 ； ；  ； .

2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，，则_________叫做，的数量积，记作．即_________．
【微提醒】零向量与任意向量的数量积为0．
（2）由数量积的定义，可以得到：
_________；_________．
【答案】     向量的模长与在向量方向上的投影的乘积 ；；  ；

3．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________.

【答案】      ； ；  ； 0
【详解】在棱长为1的正四面体ABCD中，每个面都是正三角形.所以.
因为E､F分别是AB､AD的中点，所以,
所以的夹角为60°，所以；
所以的夹角为0°，所以；
所以的夹角为120°，所以；
取CD的中点G，连结AG、BG，则.
又,所以面ABG,所以AB，所以的夹角为90°.
所以的夹角为90°，所以.
故答案为：.

4．如图，在单位正方体中，设，，，求：

(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0； (2)1；(3)3
【详解】(1)在单位正方体中，由题意，
所以
(2)
(3)

5．已知在四面体ABCD中，，，则______．
【答案】24
【详解】由题设，可得如下四面体示意图，

则，
又，，
所以.
故答案为：24

题型二、 投影向量
1．投影向量
（1）在空间，向量向向量投影：
如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，_________，称向量为向量在向量上的投影向量．
（2）向量在直线l上的投影如图②．

（3）向量向平面投影：
如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量_________称为向量在平面上的投影向量．
【答案】      ；

2．判断正误：
（1）向量在向量方向上的投影数量等于向量在向量方向上的投影数量；( )
（2）和向量在向量方向上的投影数量等于，在向量方向上的投影数量之和．( )
【答案】     错     正确
【详解】（1）向量在向量方向上的投影数量：
向量在向量方向上的投影数量：
因为与不一定相等，所以与不一定相等
所以（1）错.
（2）向量在向量方向上的投影数量：
因为
所以
，在向量方向上的投影数量之和为：
所以向量在向量方向上的投影数量等于，在向量方向上的投影数量之和
故（2）正确.
3．已知，向量为单位向量，，求向量在向量方向上的投影的数量．
【答案】
【详解】由题意，
则向量在向量方向上的投影的数量为

4．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为___________
【答案】
【详解】在方向上的投影向量为，
故答案为：.

5．已知向量与的夹角为．
(1)若是与方向相同的单位向量，求在上的投影向量；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】(1)在上的投影向量为

(2)，所以

(3)


题型三、利用数量积证明垂直问题
1．如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．

求证：OA⊥BC．
【详解】证明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC．∴∠AOB＝∠AOC．
∵
∴.即OA⊥BC．

2．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.

(1)用向量表示向量；
(2)求证.
【详解】(1)根据题意，
.
(2)根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，
由（1）
，
所以.

3．如图在正方体中，为与的交点，为的中点．求证：平面.

【详解】证明：设，，，则，，.
而，
，
.
∴
.
∴，∴.同理可证，∴.
又且平面，∴平面.

题型四、利用数量积求模
1．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则（       ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】

由题设，，
因为，
所以，
所以．
故选：C．

2．已知平行六面体，，，求.

【答案】
【详解】∵为平行六面体，∴，
∴




，
∴.

3．如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°.

（1）求AC1的长;
（2）证明:AC1⊥BD．
【详解】（1）∵||2=(+)2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=
a2+a2+b2+2a2cos 90°+2abcos 120°+2abcos 120°=2a2+b2-2ab,
∴AC1=||=.
（2∵·=(++)·(-)=·+||2+·-||2-·-··-·=bacos 120°-bacos 120°=0,
∴⊥,即AC1⊥BD．

题型五、利用数量积求夹角
1．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，，
所以，得，故与的夹角为.
故选：D

2．四面体中，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
故选：C

3．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：

（1）的长；
（2）与夹角的余弦值.
【详解】（1）记，，，则，，
，
，
，即的长为；
（2），，
，，
，，
又，
，即与夹角的余弦值为.



1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______．
【答案】
【详解】连接AC、BD，由题意得A-BCD为正四面体，底面为等边三角形，
因为点E、F分别是AB、AD的中点，
所以，且，
所以.
故答案为：
   
2．三棱锥中，，，，则______．

【答案】-2
【详解】由题意得，故，
,
故答案为：-2

3．已知单位正方体，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【答案】(1)0；(2)0；(3)1；(4)1；(5)1；(6).
【详解】(1)；

(2)

；
(3)

；
(4)；
(5)
；
(6)


.

4．已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为（       ）
A．－ B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，与的夹角为135°，
所以在方向上的投影为，
所以在方向上的投影向量为－，
故选：A.

5．中，角、、的对边分别为、、，并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由余弦定理可得，因为，，则，
所以，向量在向量上的投影向量为.
故选：C.

6．已知向量、的夹角为120°，且，．
(1)求；
(2)求向量在向量方向上的投影．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)∵·＝||||cos120°＝4×3×＝－6，
∴＝．
(2)∵·（＋）＝＋·＝＝10，
∴向量在向量＋方向上的投影为：．

7．已知四面体OABC，，．求证：．
【详解】

因为,
所以,
因为，，
所以，
所以，即.

8．已知空间四边形中，，且，分别是的中点，是的中点，求证：
【详解】证明：如图所示，设，，，，则.∵，，∴
，∴，即


9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．

【详解】∵
               
∴
，
∴，即AO⊥CD1.

10．如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，．求证：平面．

【详解】不妨设，则，
由空间向量数量积的定义可得，
因为且，所以，，
所以，，，
又因为，，因此，平面.

11．已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（       ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【详解】．
故选：C.

12．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（       ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【详解】，
故，
故选：C

13．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（       ）
A． B．
C． D．异面直线与所成角的余弦值为
【答案】BD
【详解】设，，，则，，，
，，，
，，
所以．
故选：BD.

14．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.
【答案】
【详解】由已知可得，且，
由空间向量数量积的定义可得，
所以，，
因此，.
故答案为：.

15．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，．

(1)用，，表示，并求；
(2)求．
【答案】(1)，；(2)0
【详解】(1)因为，，，,
所以，
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，，
所以



(2)因为，底面ABCD是边长为1的正方形，，，
所以

16．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.

（1）求对角线的长；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】连接，，，如图：

（1）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，，，
由（1）可知平行四边形中 ，

，，即对角线的长为.
（2），，
∴.

17．如图所示，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M．

(1)求证：两两垂直；
(2)求异面直线与所成角的大小．
【详解】(1)解：设，，，
不妨令正四面体的棱长为1，则有，，
则，，
同理可得，，
所以
．
所以，即，
同理可得：，．
所以两两垂直.
(2)因为，
所以，，
则，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为．

18．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点．设，，．

（1）求证：；
（2）求异面直线和所成角的余弦值．
【详解】（1）由已知得

，
所以，所以；
（2）



，
设异面直线和所成角为，则，
所以异面直线和所成角的余弦值为．



1．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，故.
故选：D.

2．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，且，
所以是的中点，即是圆的直径，且，
由于，所以三角形是等边三角形，
设圆的半径为，则，

所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.

3．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图示：

因为△ABC的外接圆圆心为O，，，
所以,所以△AOC为等边三角形，所以OBAC为菱形，所以.
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B

4．下列命题中正确的个数为（       ）
①若，则
②若，且，则
③若，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为
④若，则必定存在实数，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】对于①，向量不能比较大小，故①错误；
对于②，当时，，此时与不相等，故②错误；
对于③，在方向上的投影向量为，故③正确；
对于④，当，为非零向量时，，但不存在实数，使得，故④错误；
故选：B

5．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，设，，，棱长均为，
由题意，，，，

，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A.

6．在平行六面体中，，，，则（       ）
A． B．5 C． D．3
【答案】B
【详解】，
所以，
所以，
故选：B.

7．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（       ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【详解】在四面体OABC中，不共面，则，令，
依题意，，
设与AC所成角的大小为，则，而，解得，
所以与AC所成角的大小为.
故选：B

8．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则

.
故选：D.

9．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（       ）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】根据堑堵的几何性质知：，，．

因为，，
所以
.
故选：A．

10．在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，
∴ ，
∴．
故选：C．

11．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（       ）

A． B． C．或 D．3或
【答案】A
【详解】取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点，
∴ME∥BC，且，∥AD，且，

∵向量与向量的夹角为，
∴向量与向量的夹角为，
又，
∴，
∴，即线段长为.
故选：A.

12．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是平行六面体，
所以，
所以有：，
因此有：
，
因为，，，，，
所以，
所以，
故选：B

13．（多选）下列说法正确的是（       ）
A．对于任意两个向量，若，且同向，则
B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为
C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D．若，则与的夹角是钝角
【答案】BC
【详解】选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；
选项B：在单位向量上的投影向量为，故选项B正确；
选项C：若存在负数，使得，则；
若，则向量与的夹角为钝角或，故选项C正确；
选项D：若，则与的夹角是钝角或角，故选项D错误；
故选：BC.

14．（多选）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（       ）

A．
B．
C．直线与直线所成角的正该值是
D．直线与平面所成角的正弦值是
【答案】AB
【详解】记，则
因为，所以，故A正确；
因为，故B正确；
因为，，，
所以，所以，故C不正确；
易知，又，所以为平面的法向量，记直线与平面所成角为，则，故D不正确.
故选：AB

15．判断正误
（1）向量与的夹角等于向量与的夹角．( )
（2）若，则或．( )
（3）对于非零向量，，与相等．( )
（4）若，且，则．( )
（5）若，均为非零向量，则是与共线的充要条件．( )
【答案】     ×     ×     ×     ×     ×
【详解】
(1)向量与的夹角与向量与的夹角互补，错误；
(2)比如，错误；
(3)由非零向量，，与互补，错误；
(4)不一定相等，错误；
(5)若，均为非零向量，，则，
若与共线，则或，错误.

16．正四面体的棱长为1，E为中点，则__________
【答案】
【详解】因为正四面体的棱长为1，点E是BC的中点，
所以


.
故答案为：

17．如图在平行六面体中，，，则的长是_________．

【答案】
【详解】因为在平行六面体中，，，
，
所以，
所以的长是，
故答案为：.

18．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.

【答案】
【详解】因为
所以

即
故答案为：
19．设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.
【答案】等腰三角形
【详解】因为，
所以，
则，即，
所以的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形

20．已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=___________.
【答案】
【详解】∵空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，
∴，
∴.
故答案为：.

21．已知空间向量与满足，且，若与的夹角为，则________．
【答案】
【详解】因为，与的夹角为，
所以由，
故答案为：

22．已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.
【答案】6
【详解】设，，，则，
∴，
∴.

故答案为：6

23．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.

【答案】4
【详解】
由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，，得，，又，
∴
，
所以，即.
故答案为：4.
24．六面体的所有棱长都为2，底面ABCD是正方形，AC与BD的交点是O，若，则___________.
【答案】
【详解】，

.
所以.
故答案为：

25．已知空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2，E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，求下列数量积：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2；(2)2；(3)-2；(4)1
【详解】(1)因为空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2, 如图，

所以在空间四边形ABCD中，且，
∴.
(2)，，
.
(3)，，
又，，

(4)∵，，，
∴.
∴.

26．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【详解】(1)证明：在矩形中，，
因为平面平面，且平面平面，
平面，
所以平面，
又因平面，所以，


，
所以，
所以；
(2)因为，
所以，
则，
即的长为.

27．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．

（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
【详解】（1）证明：，．
因为BB1⊥平面ABC，
所以0，0．
又△ABC为正三角形，
所以，π，π．
因为（）（）
•
＝||||•cos，1+1
＝0，
所以AB1⊥BC1．
（2）由（1）知||•||•cos，1．
又||||，
所以cos，，
所以||＝2，
即侧棱长为2．

28．如图所示，已知是△所在平面外一点，，
求证：在面上的射影是△的垂心．

【详解】证明：∵，
∴，，，平面.
∴.由题意可知，面，
∴，，.
∴.
∴.同理可证，. ∴是△的垂心．

29．如右图,一个结晶体的形状为平行六面体，以点A为端点的三条棱AB，AD，的长都等于，且彼此之间的夹角都是.
(1)用向量表示向量.
(2)求晶体的对角线长.

【答案】（1）.（2）．
【详解】（1）.
（2）设，，，则两两夹角为，且模均为．
∵，
∴|，
∴|即AC1的长为．

30．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．

【答案】，
【详解】因为是的中点，底面是正方形，
所以
，
又由题意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的长为.

31．已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)判断与是否垂直；
(3)求异面直线BD与AC所成角的余弦值．
【详解】(1)
，
；
(2)
，
∴与不垂直；
(3)，，，
且，
于是，
∴异面直线BD与AC所成角的余弦值为．

32．如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点．

(1)用向量、、表示和；
(2)求、；
(3)求．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【详解】(1)连接，

因为为的中点，则，
，
故，
.
(2)由空间向量数量积的定义可得，

，

.
(3)
.

33．如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．

【答案】向量在、、方向上的投影数量分别为、、.
【详解】非零向量在非零向量方向上的投影数量为，
由空间向量的平行六面体法则可得，
在长方体中，，
因此，向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为.

34．已知都是空间向量，且，求.
【答案】
【详解】与同向，与反向，且

另解：


又向量的夹角范围为，


35．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角为，求．

【答案】.
【详解】设平面与平面的夹角为，又，
∴，
∴，即的长度为.

36．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．

(1)求；
(2)求．
【答案】(1)3；(2)
【详解】(1)设，，，
由题意得：，，，，，，
；
(2)

37．如图，正方体的棱长是，和相交于点．

(1)求；
(2)求与的夹角的大小；
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)；(2)；(3)垂直
【详解】(1)正方体中， ,
故;
(2)由题意知, ,
,
，
故，
故 ，
故与的夹角的大小为 ；
(3)由题意， ,

,
故与垂直.