【暑假小升初自学】苏科版数学六年级（六升七）暑假-专题2.6《有理数的乘法与除法》预习讲学案

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2.6有理数的乘法与除法
【推本溯源】
1.认识有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．
小试牛刀：
（1） 1 （2）6×2= 12


（3）（+5）×（-2）= -10 （4）0×（-1）= 0



2.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换 乘数 的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把 前面两个数 相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数 分别 同这两个数相乘，
再把积 相加 ．即：a(b+c)＝ab+ac．
3.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数．
（1）“互为倒数”的两个数是 同等 的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
（2）0和任何数相乘都不等于1，因此0 没有 倒数；
（3）倒数的结果必须化成 最简 ，使分母中不含小数和分数；
（4）互为倒数的两个数必定 同号 (同为正数或同为负数)．
4.认识有理数除法法则：
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数（2）两数相除，同号得正 ，异号得 负 ，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
注：1.解题时要灵活运用有理数的除法法则，一般能整除则直接整除，不能整除的则转化为有理数的乘法运算；2.除法运算应注意商的符号；3若遇小数可化为分数，若遇带分数应化为假分数。
小试牛刀：
（1） 6 （2）

（3） （4） 0




【解惑】
例1.2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)(－5)×(－4)
(2)
(3)
【答案】(1)20
(2)
(3)0
【分析】（1）（2）（3）根据有理数的乘法法则可直接进行求解．
【详解】（1）解：原式=5×4=20．
（2）解：原式=．
（3）解：原式=0．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
例2．（2022秋·四川眉山·七年级校考阶段练习）用乘法结合律计算
(1)(−0.4)×(+25)×(−5)
(2)(−10)×(−0.1)×(−8.25)
(3)(−2)×(−)×(−4)
(4)1.2×(−1)×(−2.5)×(−)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【详解】（1）解：(−0.4)×(+25)×(−5)


（2）(−10)×(−0.1)×(−8.25)


（3）(−2)×(−)×(−4)


（4）1.2×(−1)×(−2.5)×(−)


【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，有理数的乘法的运算律的应用，乘法的运算法则为：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，掌握运算法则与运算律的应用是解本题的关键．
例3．（2023·全国·九年级专题练习）（1）；             
（2）；
（3）；      
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：（1）；             
（2）；
（3）；      
（4）


．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
【摩拳擦掌】
1．（2023·陕西渭南·统考一模）计算的结果是（    ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】将除法转换成乘法，约分即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查有理数的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023·江苏南通·统考一模）计算（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B
【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．

3．（2023·河南三门峡·统考一模）的倒数是（    ）
A． B．2023 C． D．
【答案】D
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
4．（2023·山西吕梁·模拟预测）若，且，异号，则的符号为（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
【答案】A
【分析】根据同号得正，异号得负判断即可．
【详解】解：∵，异号，
∴，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键．
5．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（    ）
A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．至少有一个为正数
【答案】C
【分析】根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除来判断即可．
【详解】两个有理数的商是正数，那么这两个数一定同号．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除．
6．（2023·河北承德·校联考模拟预测）与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用有理数的运算法则对各式进行计算即可．
【详解】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）直接写出计算结果
(1)________
(2)________
(3)________
(4)________
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)

【详解】（1）解：，
故答案为：1；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
8．（2023秋·云南红河·七年级统考期末）2022年6月29日，昆明市号地铁线开通初期运营．如图为号线部分站点，北起世博园站，途径个上下车站点，至福海站，如图所示：

某天，小张从石闸站出发，负责号线上述站点路段志愿者服务，到A站下车时本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位：站)：，，，，，，，，，
(1)请通过计算说明站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小张这次志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是多少千米？
【答案】(1)站是弥勒寺站
(2)千米

【分析】（1）将记录数据相加，然后根据正负数的意义即可求解；
（2）将记录数据的绝对值相加乘以，即可求解．
【详解】（1）解：

（站），
石闸站后面第6站为弥勒寺站，
答：A站是弥勒寺站．
（2）

（千米），
答：这次小张志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是千米．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数加法的应用，有理数乘法的应用，根据题意列出算式，理解正负数的意义是解题的关键．
9．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）已知，．若，求的值．
【答案】3或
【分析】先根据绝对值的意义，得，，再根据有理数的乘法法则，得，异号，然后按两种情况分类讨论即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，异号，即，或，，
当，时，；
当，时，．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和有理数的乘法法则，掌握分类讨论的方法是本题的关键．
【知不足】
1．（2023·北京西城·北京育才学校校考模拟预测）在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴上点的位置可得，再由这两个点关于原点对称，即可得到，由此进行逐一判断即可．
【详解】解：由题可得，，
∵这两个点关于原点对称，
，互为相反数，
∴，故C选项不符合题意；
，故A选项符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故D选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判定式子的符号，解题的关键在于能够熟练掌握数轴与数轴上点的关系．
2．（2023·河北廊坊·廊坊市第四中学统考一模）下列式子计算结果和相等的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各个式子进行计算，再对计算结果进行比较即可得出答案．
【详解】解：，，，，，
下列式子计算结果和相等的是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知三个实数a，b，c满足，，，则下列结论一定成立的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据，可得a和b同号，再根据和，即可判断a，b，c的符号．
【详解】解：∵，
∴a和b同号，
又∵和，
∴，，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号．
4．（2022·浙江·九年级自主招生）若非零实数a，b，c满足，的所有可能值为（    ）
A．0 B．1或 C．2或 D．0或
【答案】A
【分析】由、、是非零实数，且可得，a、b、c只能为两正一负或一正两负，当a、b为正数时，则c为负；当a为正数时，则b、c为负；分情况讨论求的值．
【详解】解：、、为非零实数，且
、、只能为两正一负或一正两负，
①当、、为两正一负时，设、为正，为负
原式
②当、、为一正两负时，设为正，、为负
原式，
综上，的值为0，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2021秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）利用运算律作简便运算，写出计算结果．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）利用加法交换律与结合律将小数部分相同的数结合在一起，再根据加法法则计算即可；
（2）将化为，再利用乘法分配律计算即可；
（3）每一项都有，逆用乘法分配律，即可计算；
（4）利用加法的结合律，将相邻的两个数组成一组，得和为，共组，由此即可计算．
【详解】（1）解：



（2）解：




（3）解：




（4）




【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，解题是要注意灵活运用加法的结合律和乘法的分配律，凑整计算．
6．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）用简便方法计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)12
(3)
(4)0

【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律求解；
（2）将除法转换为乘法，利用乘法分配律求解；
（3）将变形为，利用乘法分配律求解；
（4）利用乘法分配律求解．
【详解】（1）解：




（2）解：




（3）解：




（4）解：



【点睛】本题考查有理数的混合运算以及简便运算，解题的关键是掌握加法交换律、加法结合律、乘法分配律等运算规律．
7．（2021秋·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)2
(2)
(3)0
(4)

【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；
（2）利用乘法分配律求解即可；
（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；
（4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可；
【详解】（1）解：原式

；
（2）解：原式

；
（3）解：原式

；
（4）解：原式


．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．
8．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把“洛书”（图1）的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2），即表格中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．

(1)图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于______．
(2)请将，，0，1，2，3，4，5，6填入图3，使其构成一个三阶幻方．
【答案】(1)15
(2)见详解（答案不唯一）

【分析】（1）根据图中数据即可作答；
（2）先将已知的9个数求和，再除以3即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可．
【详解】（1）任取两组数据，由图2可知：，
故答案为：15；
（2），
即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于6，
根据幻方的特点可知：从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，
即三阶幻方如下：

（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，掌握有理数的加减乘除运算法则，是解答本题的关键．
【一览众山小】
1．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）要使算式的运算结果最小，则“”内应填入的运算符号为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数加减乘除和有理数大小比较的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：，，，
∵
∴要使算式的运算结果最小，则“”内应填入的运算符号为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则运算，有理数比较大小，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，　　；若，　　；
（2）若，则＝　 　；
（3）若，则　 　．
【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．
【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可；
（2）由（1）可知，结合可知即，化简即可；
（3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：1，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（3）∵，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，
，
当a、b、c中有三个负数时，
，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
3．（2023秋·重庆南川·七年级统考期末）对每个数位数字均不为零且互不相等的一个三位正整数x，若x的十位数字与个位数字的和是百位数字的两倍，我们就称x为“翻倍数”．把一个“翻倍数”的百位、十位、个位上的数字之和称为这个“翻倍数”的“聚集数”，如231，因为，所以231是“翻倍数”，231的“聚集数”为．
(1)判断422与537是不是“翻倍数”，若是“翻倍数”，请求出它的“聚集数”，若不是，请说明理由；
(2)若一个“翻倍数”的“聚集数”为12，求满足条件的所有“翻倍数”．
【答案】(1)422不是“翻倍数”，理由见解析；537是“翻倍数”，537的“聚集数”为15
(2)417、426、435、453、462、471

【分析】（1）根据“翻倍数”和“聚集数”的定义即可判断；
（2）先求出百位数，再根据定义得出所有可能的十位数和个位数．
【详解】（1）解：∵，
∴422不是“翻倍数”，
∵，
∴537是“翻倍数”，
537的“聚集数”为 ；
（2）∵“翻倍数”的十位数字与个位数字的和是百位数字的两倍，“翻倍数”的“聚集数”为12，
∴，
∴满足条件的“翻倍数”百位数是4，十位与个位数字之和为8，十位数字与个位数字不为零且不相等即可．
∴满足条件的所有“翻倍数”是417、426、435、453、462、471．
【点睛】本题考查了新定义运算，培养了学生对新定义的阅读理解能力．
4．（2020秋·广西南宁·七年级南宁市第二十六中学校考阶段练习）三个有理数a、b、c满足abc>0，求++的值．
【答案】3或
【分析】根据绝对值的性质分几种情况解答即可．
【详解】解：，
，，都是正数或两个为负数，
当，，都是正数，即，，时，
则：；
，，有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
则；
综上所述，++的值为3或．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
5．（2022秋·四川达州·七年级校联考期中）观察下列等式＝1﹣，＝﹣，＝﹣，将以上三个等式两边分别相加得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．
（1）猜想并写出 ；
（2）+++…+＝ ；
（3）探究并计算：；
（4）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得；
（2）根据（1）中的猜想进行计算即可得；
（3）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得；
（4）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得．
【详解】（1），
，
，
归纳类推得：，
故答案为：；
（2），
，
，
，
故答案为：；
（3），
，
，
，
，
；
（4），
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
6．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考阶段练习）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决．
(1)计算：
(2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程

解：原式的倒数为：




．
故原式
请你根据对小明的方法的理解，计算
【答案】(1)5
(2)

【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可；
（2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解．
【详解】（1）解：


．
（2）解：原式的倒数为：




，
故原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键．
7．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_________．

【答案】①④
【分析】根据图示，可得：，，，据此逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，可得：，，，，
则，故①正确；
，故②错误；
，故③错误；
，故④正确；
∴正确的有①④，
故答案为：①④．
【点睛】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
8．（2021秋·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）的倒数的相反数是 _________ ．
【答案】
【分析】根据倒数和相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的倒数是，的相反数是，
∴的倒数的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相反数和倒数，熟知乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）计算：______．
【答案】1012
【分析】利用有理数的结合律，发现两两组合得，乘以组合对数再加上2023即可．
【详解】解：


，
故答案为：1012．
【点睛】本题考查了有理数的加减法中，结合律的使用，此题的关键是找到有理数之间的规律．
10．（2023·山东临沂·统考一模）已知，，则，的大小关系是______．
【答案】/
【分析】根据有理数的乘法法则得出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算中的符号问题是解题的关键．