【暑假小初衔接】北师大版数学六年级（六升七）暑假预习-第09讲《丰富的图形世界全章复习》同步讲学案

第09讲 丰富的图形世界全章复习

【学习目标】

1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；

2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；

3. 理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.

【基础知识】

一．认识立体图形

（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．

（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．

（3）重点和难点突破：

结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．

二．点、线、面、体

（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．

（2）从运动的观点来看

点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．

（3）从几何的观点来看

点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．

（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．

（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．

三．几何体的表面积

（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）

（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 

①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）

②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）

③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）

④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）

四．几何体的展开图

（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．

（2）常见几何体的侧面展开图：

①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．

（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．

从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．

五．展开图折叠成几何体

通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．

六．专题：正方体相对两个面上的文字

（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．

（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．

（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．

七．截一个几何体

（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．

（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．

八．简单几何体的三视图

（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．

（2）常见的几何体的三视图：

圆柱的三视图：

九．简单组合体的三视图

（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．

（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

（3）画物体的三视图的口诀为：

主、俯：长对正；

主、左：高平齐；

俯、左：宽相等．

十．由三视图判断几何体

（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：

①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；

②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；

③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；

④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．

【考点剖析】

一．认识立体图形（共2小题）

1．（2021秋•亭湖区期末）下列几何体中，不是柱体的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】对每个选项中的几何体分别进行判断即可．

【解答】解：圆柱体，正方体、三棱柱都是柱体，而圆锥是锥体，

故选：D．

【点评】本题考查认识立体图形，理解柱体、锥体、球体的特征是正确判断的前提．

2．（2021秋•南岸区期末）如图，在这个直三棱柱中，与棱AB一定相等的棱是（　　）

A．AD B．DE C．AC D．BE

【分析】根据三棱柱的特征判断即可．

【解答】解：在这个直三棱柱中，与棱AB一定相等的棱是：DE，

故选：B．

【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．

二．点、线、面、体（共2小题）

3．（2021秋•博白县期末）“汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面”可以说是（　　）

A．面与面交于线 B．点动成线 

C．面动成体 D．线动成面

【分析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．

【解答】解：汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是运用了线动成面的原理，

故选：D．

【点评】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．

4．（2021秋•海珠区期末）如图的图形，是由（　　）旋转形成的．

A． B． 

C． D．

【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．

【解答】解：A．可以旋转形成圆台；

B．可以旋转形成球；

C．可以旋转形成圆柱；

D．可以旋转形成圆锥；

故选：A．

【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．

三．几何体的表面积（共2小题）

5．（2022•无锡二模）若圆柱的底面半径为3，母线长为5，则这个圆柱的侧面积为（　　）

A．15 B．12π C．15π D．30π

【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．

【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×5＝30π，

故选：D．

【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．

6．（2021秋•顺德区月考）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（　　）

A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2

【分析】先数出每个面的正方形的个数，然后加起来求出面积即可．

【解答】解：由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和，

∴该几何体前后左右上下各都有6个小正方形，共36个小正方形，

∵小正方体的棱长为 a，

∴该图形的表面积为 36a2，

故选：A．

【点评】本题主要考查正方形的面积公式，关键是要准确数出图形外表面一共有几个正方形．

四．几何体的展开图（共1小题）

7．（2022•海淀区二模）如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　）

A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥

【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．

【解答】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，

故选：B．

【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．

五．展开图折叠成几何体（共1小题）

8．（2021秋•丹东期末）在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．

【解答】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是2．、

故选：B．

【点评】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的11种展开图的模型是解决本题的关键．

六．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）

9．（2021秋•宿城区期末）某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“洗”字相对的面上的汉字是（　　）

A．罩 B．勤 C．口 D．戴

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“洗”与“戴”是相对面，

故选：D．

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

七．截一个几何体（共1小题）

10．（2021秋•连州市期末）下列说法正确的是（　　）

A．长方体的截面形状一定是长方形 

B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 

C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线” 

D．圆柱的截面一定是长方形

【分析】分别判断每个选项的对错即可．

【解答】解：∵长方体的截面形状可能是长方形也可能是正方形，

故A选项不符合题意，

∵棱柱侧面的形状是长方形或正方形，

故B选项不符合题意，

∵“天空划过一道流星”能说明“点动成线”，说法正确，

故C选项符合题意，

∵圆柱的截面还可以是圆形，

故D选项不符合题意，

故选：C．

【点评】本题主要考查点、线、面、体的知识，熟练利用几何直观得出正确结论是解题的关键．

八．简单几何体的三视图（共1小题）

11．（2022•河东区一模）下列几何体中，其正视图与俯视图相同的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据正视图和俯视图的定义解答即可．

【解答】解：三棱锥的正视图为三角形，三角形的内部有一条纵向的实线；俯视图是三角形，三角形内部有一点与三角形的三个顶点相连接，故正视图与俯视图不相同；

球的正视图与俯视图相同，都是圆；

正方体的正视图与俯视图相同，都是正方形；

圆柱的正视图与俯视图不相同，正视图是矩形，俯视图是圆．

所以正视图与俯视图相同的有2个．

故选：B．

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握观察的方向是解答本题的关键．

九．简单组合体的三视图（共1小题）

12．（2022•宣州区二模）如图所示的几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据主视图的意义得出该几何体的主视图即可．

【解答】解：从正面看该几何体，可得如下图形，

故选：B．

【点评】本题考查了组合体的三视图，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．

一十．由三视图判断几何体（共1小题）

13．（2022•山西模拟）某数学兴趣小组的同学探究用相同的小立方块搭成几何体的三视图及其变化规律，下面是他们画出的左视图与俯视图．由此可知，搭这个几何体时，最多需要的小立方块的个数是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【分析】根据左视图中的正方形的个数，即可得到俯视图中各个位置的正方体的数量，进而得出搭建该几何体所需要的小立方块最多的个数．

【解答】解：由左视图可得，俯视图中各个位置正方体的最多的数量如图所示，

故搭建几何体所需要的小立方块最多的个数为9块．

故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，注意几何体的层数和列数．

【过关检测】

一、单选题

1．（2021·河南七年级期末）在本学期第一章的数学学习中，我们曾经辨认过从正面、左面、上面三个不同的方向观察同一物体时看到的形状图．如图是马老师带领的数学兴趣小组同学搭建的一个几何体，这个几何体由6个大小相同的正方体组成，你认为从左面看到的几何体的形状应该为（    ）

A．                     B． 

C． D．

【答案】B

【分析】从左面看到的平面图形是该组合体的左视图，根据看到的平面图形画出左视图即可得到答案．

【详解】解：从左面看该组合体，可以看到两列，

左起第一列可以看到两个正方形，第二列看到一个正方形，

所以该组合体的左视图是：

故选：

【点睛】本题考查的是三视图的含义，掌握左视图的含义是解题的关键．

2．（2021·福建七年级期末）如图，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆柱体的截面图形可得．

【详解】解：将圆柱形玻璃杯斜着放可得到A选项的形状，

将圆柱形玻璃杯竖直着放可得到B选项的形状，

将圆柱形玻璃杯平躺着放可得到C选项的形状，

不能得到三角形的形状，

故选：D．

【点睛】本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．

3．（2021·广东深圳市·七年级期末）将圆锥如图放置，现用一个平面截去它的上半部分，则从正面看下半部分的几何体可能的图形是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据简单组合体的三视图的特征进行判断即可．

【详解】解：用一个平面截去圆锥的上半部分，从正面看下半部分的几何体所得到的图形是等腰梯形

故选：A．

【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，熟悉掌握几何题的形状特点是解题的关键．

4．（2020·山西七年级期末）小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

【详解】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，解题的关键是提高空间想象能力，同时掌握正方体展开图的特点．

5．（2021·全国七年级专题练习）某正方体的每个面上都有一个汉字，分别是“时、间、就、是、生、命”，其中“时”与“命”相对．如图是它展开图的一部分，则汉字“命”位于（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】C

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可求得答案．

【详解】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，

∵“时”与“命”相对，

∴“命”位于③．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

6．（2021·四川成都市·成都实外七年级期末）如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上面的字是（　　）

A．共 B．建 C．实 D．外

【答案】B

【分析】根据正方体表面展开图的特征判断相对的面，再根据翻转得出答案．

【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，

标注“共”与“外”的面是相对的，

标注“建”与“丽”的面是相对的，

标注“美”与“实”的面是相对的，

翻转第1次，“美”在下，

翻转第2次，“共”在下，

翻转第3次，向上的面是“建”，

故选：B．

【点睛】此题考查专题：正方体相对两个面上的文字，解题关键在于掌握正方体的表面展开图．

二、填空题

7．（2021·辽宁七年级期末）如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为_____．

【答案】7，12．

【分析】正方体切一个顶点多一个面，少三条棱，又多三条棱，依此即可求解．

【详解】解：如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数是6+1＝7，棱的条数是12﹣3+3＝12．

故答案为：7，12．

【点睛】此题考查了截一个几何体，解决本题的关键是找到在原来几何体的基础上增加的面和棱数．

8．（2021·江西七年级期末）一个棱柱有6个面，则它的棱数是_____．

【答案】12

【分析】根据n棱柱的特点，由n个侧面和两个底面构成，可得该棱柱是四棱柱，由此即可解答．

【详解】解：由题意可知：6-2=4，

故该棱柱是四棱柱，它的棱数是12．

故答案为：12．

【点睛】本题主要考查了棱柱的概念，根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键．

9．（2021·福建七年级期末）如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为、、．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为_______．

【答案】310

【分析】根据边长最长的多剪，边长最短的剪的最少，可得答案．

【详解】解：如图：

这个平面图形的最大周长是25×8＋20×4＋15×2＝310（cm）．

故答案为：310．

【点睛】此题主要考查了长方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出一个平面展开图必须有5条棱连接是解题关键．

10．（2021·山东七年级期末）如图，一块长方形铁皮的宽是50cm，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是22000cm3的无盖长方体容器，则这块铁皮的长为_____cm ．

【答案】120

【分析】折成的长方体盒子的高是5厘米，长是50-5×2=40厘米，根据长方体的体积公式：V=sh可知h=V÷s可求出长方体的底面积，再除以长可求出长方体的宽，再加剪去的长度，就是原来的宽．据此解答．

【详解】解：22000÷5=4400（平方厘米） ，

4400÷（50-5×2） =4400÷（50-10） =4400÷40 =110（厘米），

110+5×2 =110+10 =120（厘米），

答：原来这块铁皮的宽是120厘米．

【点睛】本题主要考查了长方体体积和长方形面积公式，解决本题的关键是要熟练灵活运用长方体体积和长方形面积公式．

11．（2021·重庆八中七年级期末）2020年12月26日，第十三届“苏步青数学教育奖”颁奖活动在重庆八中隆重举行，国内教育界知名的数学大咖们纷纷到场．为此，学校热情接待，在如图的七个正方形格子中打出了“重庆八中欢迎您”，如果小明想要从中剪去一个正方形格子，使得剩下的六个正方形格子折叠后能围成一个正方体，剪去的正方形的标记可以是___．

【答案】“重”或“庆”或“八”

【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解．

【详解】解：把图中的“重”或“庆”或“八”剪去，剩下的图形即为正方体的11种展开图中的模型，

故答案为：“重”或“庆”或“八”．

【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．

（1）“141”型 （2）“231”型（3）“222”型            （4）“33”型

三、解答题

12．（2021·成都市棕北中学）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．请画出这个几何体的三视图；

【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1；据此可画出图形．

【详解】解：由题可知：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1；

∴所画图如下：

．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．

13．（2021·四川成都市·七年级期末）由6个棱一样长的正方体组成的几何体如图所示．在指定的方格内画出该几何体从三个方向看到的形状图．

【分析】根据三视图的画法分别画出从正面看、从左面看，从上面看所得到的图形即可．

【详解】解：这个组合体的三视图如下：

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．

14．（2021·河北七年级期中）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：

（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　 　．

（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．

【答案】（1）6，9，12，6；（2）V+F﹣E=2；（3）x+y=14

【分析】（1）观察可得多面体的顶点数，棱数和面数；

（2）依据表格中的数据，可得顶点数+面数-棱数=2；

（3）根据条件得到多面体的棱数，即可求得面数，即为x+y的值．

【详解】解：（1）三棱柱的棱数为9；正方体的面数为6；正八面体的顶点数为6，棱数为12；

故答案为：6，9，12，6；

（2）由题可得，V+F-E=2，

故答案为：V+F-E=2；

（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，

∴共有24×3÷2=36条棱，

∵24+F-36=2，

解得F=14，

∴x+y=14．

【点睛】本题主要考查了欧拉公式，简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F-E=2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．

15．（2021·江西七年级期末）图（1）是一个棱长为2的正方体空盒子ABCD﹣EFGH．图（2）是取AB，BC，BF边上的中点M，N，P，截去一个角后剩下的几何体．图（3）的8×8的网格中每一小格的边长都是1，请在这个网格中画出它的一种展开图．（要求所有的顶点都在格点上，且AM，CN，PF这三条棱中最多只能剪开一条棱）

【分析】根据正方体的表面展开图的特征画出相应的展开图即可．

【详解】正方体截去一个角后剩下的几何体的展开图如下：

【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是得出正确答案的关键．

16．（2021·全国七年级单元测试）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．

（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是_______（填A或B）．

（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示） 

（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）

【答案】（1）A；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】（1）有“田”字格的展开图不能围成正方体，据此可排除B，从而得出答案；

（2）作图方法很多，只要正确即可；

（3）根据裁剪线裁剪，再展开．

【详解】（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A

故答案为：A

（2）立方体表面展开图如图所示：

（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示： 

【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记正方体的11种展开图形式是解题的关键．