【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第07讲《不等式的基本性质》讲学案（必修1）

第07讲  不等式的基本性质

       【学习目标】

1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.

2.初步学会作差法比较两个实数的大小.

3.掌握不等式的基本性质.

4.运用不等式的性质解决有关问题.

【基础知识】

知识点一　两个实数大小的比较

(1)a>b⇔a－b>0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3) a<b⇔a－b<0.

知识点二  等式的性质

性质1　如果a＝b，那么b＝a；

性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.

知识点三 不等式的性质　 注意这些性质是否可逆(易错点)

性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.

性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.

性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c.

性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.

性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

   【考点剖析】

考点一：实数(式)的比较大小

例1．比较大小：__________填”或“

【答案】

【解析】

【分析】

由于，所以比较两分母的大小即可

【详解】

因为，且，

所以

所以

故答案：

考点二：利用不等式的性质判断命题的真假

例2．（多选题）1．下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对于A：利用同向不等式相加，即可证明；

对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；

对于D：取特殊值即可否定结论.

【详解】

对于A：因为，所以.

因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；

对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；

对于C：因为，所以.

因为，所以.

对两边同乘以，有，所以.故C正确；

对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.

故选：ABC

考点三：利用不等式的性质证明不等式

例3．（1）求证：；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）利用作差法即证；

（2）利用作差法即证.

【详解】

（1）∵，

∴；

（2）∵

，

当且仅当时等号成立，

∴

考点四：利用不等式的性质求范围

例4．（1）已知，，求和的取值范围；

（2）已知，，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据不等式的性质求解

（2）由待定系数法配凑后求解

【详解】

（1），

又，

，

又，

（2）设，得

即

而，

        【真题演练】

1．已知，下列选项中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性质得解.

【详解】

，但，，A、C错

，，所以.B正确.

，但，D错.

故选:B.

2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm

【答案】B

【解析】

【分析】

理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．

【详解】

设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．

【点睛】

本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．

3．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.

4．已知实数a，b，c.

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100

B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100

D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：采用排除法：A.令可排除此选项，

B.令可排除此选项，

C.令可排除此选项，故选D．

【考点】不等式的性质．

【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．

5．若，则下列说法正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则<

【答案】C

【解析】

【分析】

对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断

【详解】

对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，

故选：C

6．已知，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质即可求解.

【详解】

解：因为，，

所以，，

所以，

所以的取值范围是，

故选：D.

7．已知，，，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】

作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.

【详解】

，

因为，所以，

又，所以，即.

故选：B

8．已知且，则 的取值范围是 _______ （答案用区间表示）

【答案】（3,8）

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，求得待求量的范围.

【详解】

设，

则，解得 ，即，

又且，

且，

.

故答案为：（3,8）

9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____

【答案】

【解析】

【详解】

由得

由整数有且仅有1，2，3知，解得

10．设，，求，，的范围.

【答案】，，

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.

【详解】

∵，，

∴，，，，

∴，，

∴.

故，，．

       【过关检测】

1．如果，那么（       ）

A．  B．  C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

举例判断A，B，D错误，再证明C正确.

【详解】

由已知可取，则

，A错，

，B错，

，，D错，

因为，所以

所以，故，C对，

故选：C.

2．如果，那么下面不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质依次判断即可.

【详解】

若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.

故选：C.

3．已知，则的取值范围为（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由不等式的性质求解

【详解】

，

故，，得

故选：C

4．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（     ）

A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M

【答案】A

【解析】

【分析】

根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.

【详解】

长、宽、高之和不超过Mcm，

.

故选：A.

5．下列命题中，正确的是（       ）

A．若，， 则  B．若， 则

C．若，， 则 D．若，则

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．

【详解】

解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误；

对于B：当时，故B错误；

对于C：由，所以，因为，所以，故C正确；

对于D：当，满足，但是，故D错误；

故选：C

6．若，，则与的大小关系为（       ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】

利用作差法判断大小即可

【详解】

因为

，

所以，

故选：B

7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a，b，，则下列用不等号表示的真命题是（       ）

A．且，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质逐一判断即可.

【详解】

对于A，当，不等式不成立，故错误；

对于B，取，，故错误；

对于C，因为，所以，即，两边同时除以得，故正确；

对于D，当，不等式不成立，故错误.

故选：C.

（多选题）8．若，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用作差法对四个选项一一比较，即可得到正确答案.

【详解】

对于A：因为，所以.

所以，所以.故A错误；

对于B、C：

因为，所以.

所以，所以.故B正确，C错误；

对于D：因为，

所以，所以.故       D正确.

故选：BD

（多选题）9．已知，，满足，且，则下列选项一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

分析的符号，由不等式的基本性质对选项逐一判断

【详解】

，且，可得

对于A，，故，A正确

对于B，，故，B正确

对于C，的符号不确定，无法比较，故C错误

对于D，，故，D正确

故选：ABD

10．已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）

【答案】<

【解析】

【分析】

作差判断正负即可比较.

【详解】

因为，所以.

故答案为：<.

11．对于实数a，b，c判断以下命题的真假

（1）若， 则；(        )

（2）若，则；(        )

（3）若， 则；(        )

（4）若， 则；(        )

（5）若，则．(        )

【答案】     假命题     真命题     真命题     真命题     真命题

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.

【详解】

（1）中，因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题；

（2）中，因为， 所以， 可得，故原命题为真命题；

（3）中，因为，所以，又因为，所以，

综合可得，故原命题为真命题．

（4）中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．

（5）中，因为且，所以且，

所以且，可得，

又因为，所以，故原命题为真命题．

12．设，，则，的大小关系为_______.

【答案】

【解析】

先分别将平方，再进行大小比较即可．

【详解】

，两式的两边分别平方，

可得，，

显然.

所以.

故答案为：

【点睛】

此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题.

13．（1）比较与的大小；

（2）已知，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求差法进行大小比较即可；

（2）求差法去证明即可解决.

【详解】

（1）由，

可得．

（2），

∵，∴，，，

∴，∴．

14．已知，求的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出的取值范围，结合即可求解.

【详解】

，，

两式相加得，

又，

，

．

15．设，且，求的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

利用独立变量的性质即可求解.

【详解】

解：设m=b-a，n=b+a-3，则m≤2，n≤1，

∴a=，b=.

∴2a+3b=n+m+≤11.

∴2a+3b的取值范围是.

16．（1）试比较与的大小

（2）已知，求，的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）；.

【解析】

【分析】

（1）作差法证明；（2）利用不等式的性质直接计算可得.

【详解】

（1）因为

所以.

（2）因为，所以，

所以；

因为，所以，

所以，所以.