备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（六十七） 二项式定理

课时验收评价（六十七） 二项式定理

1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　 )

A．C　　　　　　　　 B．C

C．C  D．(－1)m－1C

解析：选D　(x－y)n的二项展开式第m项为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为(－1)m－1C.

2.10的展开式中x2的系数等于(　 )

A．45  B．20

C．－30  D．－90

解析：选A　因为展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r·Cx·x－(10－r)＝(－1)rCx－10＋r，令－10＋r＝2，得r＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8C＝45.故选A.

3．(2023·武汉部分重点中学联考)在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是(　 )

A.　　 B．－　　　C．－28　　　D．28

解析：选B　展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，展开式的通项为Tr＋1＝C12－rr＝C(－1)r12－r·x12－r ，令12－r＝0，得r＝9，所以常数项为T10＝C(－1)912－9＝－.

4．已知二项式2x2－n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是(　 )

A．－84  B．－14

C．14  D．84

解析：选A　由二项式n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n＝128，解得n＝7，∴2x2－n＝7，则Tr＋1＝C·(2x2)7－r·r＝(－1)r·27－r·C·x14－3r.令14－3r＝－1，得r＝5.∴展开式中含项的系数是－4×C＝－84.故选A.

5．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　 )

A．212  B．211

C．210  D．29

解析：选D　因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以展开式中奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.

6．(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是(　 )

A．5  B．10

C．15  D．20

解析：选A　令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r.当r＝1时，得T2＝Cx4＝5x4，当r＝4时，得T5＝Cx＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5.故选A.

7．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝(　 )

A．63  B．64

C．31  D．32

解析：选A　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝63.故选A.

8．(2023·南宁三中模拟)在(x＋2)6的展开式中，二项式系数的最大值为m，含x4项的系数为n，则＝(　 )

A．3  B．4

C.  D.

解析：选A　因为n＝6，所以二项展开式中共有7项，则第四项的二项式系数最大，所以m＝C＝20.根据二项展开式的通项可得n＝C×22＝60，所以＝＝3.故选A.

9．已知二项式n的展开式中所有项的系数和为512，函数f(r)＝C，r∈[0，n)且r∈N，则函数f(r)取最大值时r的取值为(　 )

A．4  B．5

C．4或5  D．6

解析：选C　因为二项式n的展开式中所有项的系数和为512，令x＝1，得(3－1)n＝2n＝512，解得n＝9，所以f(r)＝C，二项式展开式有10项，则由二项式系数的性质可知第5项和第6项的二项式系数最大，所以当r＝4或r＝5时，f(r)最大．

10．在－y(x＋y)6的展开式中，x3y4的系数是(　 )

A．20  B.

C．－5  D．－

解析：选D　(x＋y)6＝(x＋y)6－y(x＋y)6，(x＋y)6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－ryr，令6－r＝2，则r＝4，则(x＋y)6的展开式中x2y4的系数为C＝15.令6－r＝3，则r＝3，则(x＋y)6的展开式中x3y3的系数为C＝20，故－y(x＋y)6的展开式中x3y4的系数是×15－20＝－.故选D.

11．(x2＋x－2y)5的展开式中，x5y2的系数为(　 )

A．120  B．60

C．40  D．30

解析：选A　(x2＋x－2y)5＝[(x2＋x)－2y]5的通项公式为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r(－2y)r，令r＝2，得T3＝4C(x2＋x)3y2，(x2＋x)3的通项公式为Tk＋1＝Cx2(3－k)xk＝Cx6－k，令6－k＝5，得k＝1，T2＝3x5，所以x5y2的系数为3×4C＝120.

12．在二项式n的展开式中各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M－N＝992，则展开式中含x2项的系数为(　 )

A．90  B．180

C．360  D．540

解析：选A　令x＝1，则n＝M，即4n＝M，而C＋C＋C＋…＋C＝2n＝N，由M－N＝992，则4n－2n＝992，令2n＝t>0，则t2－t－992＝0，解得t＝32，即2n＝32，故n＝5，则5的二项式的展开式的通项公式为C5－rxr＝C35－rx，令＝2，得r＝3，则展开式中含x2项的系数为C35－3＝10×9＝90.

13．在(1－2x)(1－x)5的展开式中，x3的系数为(　 )

A．10  B．－10

C．30  D．－30

解析：选D　(1－2x)(1－x)5＝(1－x)5－2x(1－x)5，其中(1－x)5展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)r·xr，所以展开式中含x3的项为C(－1)3·x3－2x·C(－1)2·x2＝－30x3，所以x3的系数为－30.

14．(2023·济宁模拟)已知n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________．

解析：依题意，2n＝128，解得n＝7，7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－r·r＝(－2)rC·x7－2r(r∈N*，r≤7)，由7－2r＝3，得r＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2C＝84.

答案：84

15．已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝________，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________.

解析：根据题意，令x＝1，得(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26，令x＝0，得a0＝1＋1＝2.易知a1为展开式中x项的系数，考虑一次项系数a1＝－2＋CC×12＝1，所以a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26－1－2＝23.

答案：1　23

16．(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.

解析：由多项式展开式可知，a2＝2C(－1)2＋C(－1)3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.

答案：8　－2