备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(二十八)　解三角形中的综合问题

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课时验收评价(二十八)　解三角形中的综合问题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.(1)求A；(2)若b＋c＝6，求△ABC的中线AM的最小值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理化sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C为b2＋c2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝，而0<A<π，所以A＝.(2)因AM是△ABC的中线，则＝，由(1)知A＝，于是得2＝(＋)2＝(b2＋c2＋bc)＝[(b＋c)2－bc]≥＝，当且仅当b＝c＝3时等号成立，则≥，所以△ABC的中线AM的最小值为.2．(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.解：(1)证明：由BD·sin∠ABC＝asin C及正弦定理，得BD＝＝＝＝b.(2)由cos∠BDA＋cos∠BDC＝0及余弦定理，得＋＝0.整理得b2－2a2－c2＝0，即ac－2a2－c2＝0，所以2－·＋2＝0，解得＝3或＝.所以cos∠ABC＝＝＝.当＝3时，cos∠ABC＝＝(不合题意，舍去)；当＝时，cos∠ABC＝＝.所以cos∠ABC＝.3.已知四边形ABCD是由△ABC与△ACD拼接而成的，且在△ABC中，2AB－BC＝.(1)求角B的大小；(2)若sin∠ACD＝，∠ADC＝，AD＝1，BC＝2.求AB的长．解：(1)∵2AB－BC＝，∴整理可得，BC2＋AB2－AC2＝BC·AB，∴在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，∵0<B<π，∴B＝.(2)在△ADC中，由正弦定理＝，可得＝，可得AC＝，在△ABC中，由余弦定理AC2＝BC2＋AB2－2AB·BC·cos B，可得7＝4＋AB2－2×2×AB×，可得AB2－2AB－3＝0，解得AB＝3(负值舍去)．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2c－b＝a(sin C－cos C)．(1)求角A；(2)若a＝2，l，S分别表示△ABC的周长和面积，求的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得2sin C－sin B＝sin Asin C－sin Acos C，又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以2sin C＝sin Asin C＋cos Asin C，在△ABC中，sin C≠0，所以sin A＋cos A＝2，即sin＝1，因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得b2＋c2－bc＝4，所以(b＋c)2－4＝3bc.(*)l＝a＋b＋c＝2＋b＋c，S＝bcsin A＝bc，所以＝，将(*)式代入，可得＝＝(b＋c－2)．因为bc≤，所以由(*)式可得(b＋c)2－4≤，即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，故的最大值为×(4－2)＝.5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2C－sin2B＝sin2A－sin Asin B．(1)求角C的大小；(2)求sin A＋cos B＋tan C的取值范围．解：(1)因为sin2C－sin2B＝sin2A－sin Asin B，由正弦定理得c2－b2＝a2－ab，所以a2＋b2－c2＝ab, 由余弦定理得cos C＝＝，因为0<C<，所以C＝.(2)因为在锐角△ABC中，C＝，所以得<B<，sin A＋cos B＋tan C＝sin＋cos B＋＝sin B＋cos B＋＝sin＋，因为<B＋<，所以<sin<，即<sin A＋cos B＋tan C<＋，所求取值范围为.