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    高中数学高考复习 第40讲圆锥曲线中的定值与定点问题 练习

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    这是一份高中数学高考复习 第40讲圆锥曲线中的定值与定点问题 练习,共23页。试卷主要包含了解答题等内容,欢迎下载使用。

    第四十讲 圆锥曲线中的定值与定点问题

    一、解答题

    12017年全国1卷理)已知椭圆Ca>b>0),四点P11,1),P20,1),P3–1 ),P41)中恰有三点在椭圆C.

    1)求C的方程;

    2)设直线l不经过P2点且与C相交于AB两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.

    【解析】(1)由于两点关于y轴对称,故由题设知C经过两点.

    又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.

    因此,解得.

    故C的方程为.

    (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2

    如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).

    ,得,不符合题设.

    从而可设l:).将代入

    由题设可知.

    设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.

    .

    由题设,故.

    .

    解得.

    当且仅当时,,欲使l:,即

    所以l过定点(2,

    2.已知椭圆过点,且离心率.(12分)

    (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

    (Ⅱ)过点的直线与椭圆交于两点,过轴且与椭圆交于另一点,证明直线过定点,并求出定点坐标。

    【解析】

    椭圆的标准方程为

    (Ⅱ)由题知直线的斜率存在,

    的方程为,点

    由题可得直线方程为

    又∵

    ∴直线方程为

    ,整理得

    即直线过点

    3已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点, 是椭圆左、右焦点,以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上,且

    (I)求椭圆的方程;

    (II)若直线轴不垂直,它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点,试判断直线是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,请说明理由.

    【解析】

    (I)由题意得:

    解得:

    椭圆的方程为

    (II)依题意,设直线方程为:

    ,且.联立

    又直线的方程为

    直线的方程为

    故直线地定点

    4在平面直角坐标系 中,过椭圆 右焦点 的直线交椭圆两点 , 的中点,且 的斜率为 .

    (1)求椭圆的标准方程;

    (2)设过点 的直线 (不与坐标轴垂直)与椭圆交于 两点,问:在 轴上是否存在定点 ,使得 为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

    【解析】 (1) 设 ,则 ,两式相减得,

    ,又 的中点,且 的斜率为 ,所以 ,即 ,所以可以解得 ,即 ,即 ,又因为 ,所以椭圆 的方程为 .

    (2) 设直线的方程为 ,代入椭圆 的方程为,得 ,设 ,则 .

    ,根据题意,假设轴上存在定点 ,使得 为定值,则有

    ,要使上式为定值,即与 无关,则应 ,即 ,故当点的坐标为 时, 为定值.

    5已知抛物线的方程为 ,过点的一条直线与抛物线交于两点,若抛物线在两点的切线交于点.

    (1)求点的轨迹方程;

    (2)设直线的斜率存在,取为,取直线的斜率为,请验证是否为定值?若是,计算出该值;若不是,请说明理由.

    【解析】(Ⅰ)由AB直线与抛物线交于两点可知,直线AB不与x轴垂直,故可设,代入

    整理得: ,方程①的判别式,故时均满足题目要求.

    记交点坐标为,则为方程①的两根,

    故由韦达定理可知,

    将抛物线方程转化为,则,故A点处的切线方程为

    整理得

    同理可得,B点处的切线方程为,记两条切线的交点

    联立两条切线的方程,解得点坐标为

    故点P的轨迹方程为

    (Ⅱ)当时, ,此时直线PQ即为y轴,与直线AB的夹角为

    时,记直线PQ的斜率,又由于直线AB的斜率为

    为定值.

    6已知点在椭圆 )上,设 分别为左顶点、上顶点、下顶点,且下顶点到直线的距离为.

    (Ⅰ)求椭圆的方程;

    (Ⅱ)设点 )为椭圆上两点,且满足,求证: 的面积为定值,并求出该定值.

    【解析】(Ⅰ)由题意,得直线的方程为,点

    到直线的距离 ,整理,得.①

    又点在椭圆上, .②

    联立①②解得

    椭圆的方程为.

    (Ⅱ)设直线的方程为,代入椭圆方程,并整理得 .

    .

    ,则由题意,得 .

    整理,得,则

    整理,得(满足).

    .

    又点到直线的距离.

    ,为定值.

    7已知椭圆 的离心率为,且过点,动直线 交椭圆于不同的两点 ,且为坐标原点)

    (1)求椭圆的方程.

    (2)讨论是否为定值?若为定值,求出该定值,若不是请说明理由.

    【解析】

    (1)由题意可知,所以,即,①

    又点在椭圆上,所以有,②

    由①②联立,解得

    故所求的椭圆方程为.

    (2)设,由

    可知.

    联立方程组

    消去化简整理得

    ,得,所以 ,③

    又由题知

    整理为.

    将③代入上式,得.

    化简整理得,从而得到.

    8已知椭圆与椭圆有相同的离心率,且经过点.

    (I)求椭圆的标准方程;

    (II)设点为椭圆的下顶点,过点作两条直线分别交椭圆两点,若直线平分,求证:直线的斜率为定值,并且求出这个定值.

    【解析】(I)椭圆

    (II)由直线平分,而由直线

    ,设,则

    ,由

    恒成立直线的斜率为定值

    9已知椭圆右顶点,离心率

    (1)求椭圆的方程;

    (2)设为椭圆上顶点, 是椭圆在第一象限上一点,直线轴交于点,直线轴交于点,问面积之差是否为定值?说明理由.

    【解析】:⑴依题意得解得    ,则椭圆的方程为.

    ⑵设,则

    ,令,则,

    ,令,则,

    10平面直角坐标系中,椭圆过点,离心率为.

    (1)求椭圆的标准方程;

    (2)过点作一直线与椭圆交于两点,过点作椭圆右准线的垂线,垂足分别为,试问直线的交点是否为定点,若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.

    【解析】(1)由题意得,所以椭圆的标准方程为.

    (2)①当直线的斜率不存在时,准线的交点是

    ②当直线的斜率存在时,设,直线

    所以

    所以

    联立解得

    代入上式可得

    综上,直线过定点.

    11已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

    (1)求椭圆的方程:

    (2)设 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线轴相交于定点.

    【解析】

    (1)      ,即

      ,既            故椭圆的方程为.

    (2)由题意知,直线的斜率存在,设其为,则直线的方程为

       可得,

       设点,则 ①,

    由于直线的方程为

    所以令,可得

    ①②带入到上式既可解得   所以直线轴相交于定点.

    12如图,在平面直角坐标系中,已知ABC是椭圆上不同的三点, C在第三象限,线段BC的中点在直线OA上。

    1)求椭圆的标准方程;

    2)求点C的坐标;

    3)设动点P在椭圆上(异于点ABC)且直线PB PC分别交直线OAMN两点,证明为定值并求出该定值.

    【解析】1)由已知,得   解得 

                所以椭圆的标准方程为       

    2)设点 ,则中点为

     由已知,求得直线的方程为,从而

     又∵点在椭圆上,∴

     由①②,解得(舍),,从而 所以点的坐标为

    3)设

    三点共线,∴,整理,得

    三点共线,∴,整理,得

    ∵点在椭圆上,∴

     从而     

    所以为定值,定值为

    13如图,在平面直角坐标系中,抛物线)的准线轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点.设到准线的距离).

    (1)若,求抛物线的标准方程;

    (2)若,求证:直线的斜率为定值.

    【解析】

    (1)由条件知,

    代入抛物线方程得 

    所以抛物线的方程为

    (2)设,直线的方程为

    将直线的方程代入,消

    所以

    因为,所以

    ,所以

    所以

    所以

    所以直线的斜率为定值.

    14在直角坐标系中, 分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点,若

    (1)求的值;

    (2)过点作直线交椭圆于两点,过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点,连接,求证:直线经过一个定点。

    【解析】

    (1)由题意得: 解得:

    (2)设,直线的方程为

    代入椭圆方程得

    直线的方程

    所以直线经过定点

    (注:由对称性可知,若过定点,则必在轴上)

    15已知动圆过点,且在轴上截得的弦长为

    (Ⅰ)求圆心的轨迹方程;

    (Ⅱ)过点的直线交轨迹两点,证明: 为定值,并求出这个定值.

    【解析】(Ⅰ)设动圆圆心坐标为

    由题意得:动圆半径

    圆心到轴的距离为

    依题意有

    化简得,即动圆圆心的轨迹方程为:

    (Ⅱ)①当直线的斜率不存在,则直线的方程为:

    所以,故为定值.

    ②当直线的斜率存在,则设直线的方程为:

    ,所以

    又点在抛物线上,所以

    于是

    综合①②,为定值,且定值为

    16已知点,点是圆上的任意一点,设为该圆的圆心,并且线段的垂直平分线与直线交于点.

    (1)求点的轨迹方程;

    (2)已知两点的坐标分别为 ,点是直线上的一个动点,且直线分别交(1)中点的轨迹于两点(四点互不相同),证明:直线恒过一定点,并求出该定点坐标.

    【解析】(Ⅰ)依题意有,

    所以点的轨迹方程为:

    (Ⅱ)依题意设直线的方程为:

    代入椭圆方程得:

    且: ①,   

    ∵直线 ,直线

    由题知 的交点的横坐标为4,得:

    ,即

    即: ,整理得:

          

    将①②代入③得:

    化简可得:

    变化时,上式恒成立,故可得:

    所以直线恒过一定点.

    17已知抛物线的准线为,焦点为 为坐标原点.

    (1)求过点,且与相切的圆的方程;

    (2)过的直线交抛物线两点, 关于轴的对称点为,求证:直线过定点.

    【解析】:解法一:(1)抛物线的准线的方程为: ,焦点坐标为

    设所求圆的圆心,半径为

    与直线相切, .

    ,得.

    ,且与直线相切的圆的方程为.

    (2)依题意知直线的斜率存在,设直线方程为

    联立,消去.

    .

    直线的方程为

    ,得 .

    直线过定点 ,

    解法二:(1)同解法一.

    (2)直线过定点.

    证明:依题意知直线的斜率存在,设直线方程为

    联立,消去

    .

    .

    ,即 三点共线, 直线过定点.

    解法三:(1)同解法一.

    (2)设直线的方程: ,则.

    得, .

    .

    直线的方程为.

    .

    直线过定点.

    18已知点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是,点的轨迹为曲线.

    (Ⅰ)求的方程;

    (Ⅱ)过点作直线交曲线两点,交轴于点,若 ,证明: 为定值.

    【解析】

    (Ⅰ)设点,由已知得

    化简得点的轨迹的方程: .

    (Ⅱ)设点的坐标分别为.

    ,所以

    所以

    因为点在曲线上,所以

    化简得 ①,

    同理,由可得:

    代入曲线的方程得 ②,

    由①②得是方程的两个实数根(△>0),

     所以.

    19已知椭圆的离心率为,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点(不同于点),直线的斜率分别为.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)当变化时,①求的值;②试问直线是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.

    【解析】1)由题设知, ,又

    解得.

    故所求椭圆的方程是.

    2,则有,化简得

    对于直线,同理有

    于是是方程的两实根,故.

    考虑到时, 是椭圆的下顶点, 趋近于椭圆的上顶点,故若过定点,则猜想定点在轴上.

    ,得,于是有.

    直线的斜率为

    直线的方程为

    ,得

    故直线过定点.

    20已知椭圆 的焦点为,离心率为,点为其上动点,且三角形的面积最大值为 为坐标原点.

    (1)求椭圆的的方程;

    (2)若点上的两个动点,求常数,使时,点到直线的距离为定值,求这个定值.

    【解析】(1)依题意知: 解得,所以椭圆的方程为.

    (2)设,则(*)

    当直线的斜率存在时设其方程为,则点到直线的距离

    ,得 ,则

    ,代入(*)式:

    ,整理得为常数,则,此时满足

    轴时,由 亦成立,

    综上: .

    21已知动点到点的距离比到直线的距离小1,动点的轨迹为.

    (1)求曲线的方程;

    (2)若直线与曲线相交于 两个不同点,且,证明:直线经过一个定点.

    【解析】

    (1)由题意可得动点到点的距离等于到直线的距离,

    曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,

    设其方程为

    动点的轨迹的方程为

    (2)设,由

    .

    .

    舍去, ,满足

    直线的方程为

    直线必经过定点.

    22如图,已知直线关于直线对称的直线为,直线与椭圆分别交于点,记直线的斜率为.

    (Ⅰ)求的值;

    (Ⅱ)当变化时,试问直线是否恒过定点? 若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.

    【解析】(Ⅰ)设直线上任意一点关于直线对称点为

    直线与直线的交点为,∴

    ,由

    ……..①

    …….②,

    由①②得

    .

    (Ⅱ)设点,由

    ,∴.

    同理:

    ,∴

    即:

    ∴当变化时,直线过定点.

     

     

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