四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省泸州市泸县四中八年级（下）期末数学试卷
一、单选题（3分每题，共12个小题，共36分）
1．二次根式中x的值不能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下面四个二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C．2 D．（x≥0）
3．纳米是表示微小距离的单位，符号是nm，已知1nm＝0.000 000 001m．芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国中芯国际已可采用14纳米工艺量产芯片，数据14纳米用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣10米 B．1.4×10﹣8米
C．14×10﹣8米 D．1.4×10﹣9米
4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B． C． D．1
5．某校为了解学生在“慈善募捐”活动中的捐款情况，进行了抽样调查，结果如表所示．
捐款金额（元）
5
10
20
50
100
200
人数
8
10
12
13
5
2
那么该样本中学生捐款金额的中位数和众数分别是（　　）
A．20元，50元 B．35元，50元 C．50元，50元 D．20元，20元
6．如图，在▱ABCD中，已知AB＝5，AD＝2，DE平分∠ADC交AB于E，则BE的值为（　　）

A．3 B．2.5 C．3.5 D．2
7．对于函数y＝﹣x+1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点（﹣1，0）
B．它的图象与x轴有两个交点
C．y的值随x值的增大而增大
D．当x＞1时，y＜0
8．如图所示，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，BC的中点，AB＝2，点F是CD上的一个动点，则△BEF周长的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8
10．“脱贫攻坚”小组乘汽车赴360km处的农村进行调研，前一段路为高速公路，后段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度高速行驶，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为（　　）

A．4小时 B．4.5小时 C．5小时 D．5.5小时
11．对于已知三角形的三条边长分别为a，b，c，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：S＝，其中p＝，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……都是等腰Rt△，直角顶点P1（3，3），P2，P3……，均在直线y＝﹣x+4上，设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……的面积分别为S1，S2，S3……则S2019的值为（　　）


A． B． C． D．
二、填空题（3分每题，共4个小题，共12分）
13．如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为 　 　．

14．如图，A1，B1，C1分别是△ABC各边的中点，A2，B2，C2分别是△A1B1C1各边的中点，若△A2B2C2的周长为2cm，则△ABC的周长等于 　 　．

15．已知x、y都是实数，且y＝++3．则xy＝　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE＝　 　．

三、解答题（本大题共3个小题，共18分）
17．计算：5÷﹣3+2．
18．计算：
19．如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM＝CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．

四、解答题（本大题共2个小题，共14分）
20．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB．

21．如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点B和点C的坐标；
（3）试判断△ABC的形状，并说明理由．

五、解答题（本大题共2个小题，共16分）
22．为给学生提供更好的学习设施，某学校准备购买一批新的桌椅．已知购买2套A型桌椅和1套B型桌椅共需260元；购买5套A型桌椅和2套B型桌椅共需600元．
（1）求A型桌椅和B型桌椅的单价；
（2）若学校计划一次性购进1200套桌椅，且要求A型桌椅的数量不多于B型桌椅的3倍，请问购买B型桌椅多少套才能使所需费用最少，最少费用为多少？
23．为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此张明和王亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示，解答以下问题．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
张明
13.3
13.4
13.3

13.3
王亮
13.2

13.1
13.5
13.3
（1）请根据图中信息，补齐表格；
（2）从图中看，张明与王亮哪次的成绩最好？
（3）分别计算他们的平均数、方差，若你是他们的教练，将张明与王亮的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？

六、解答题（本大题共2个小题，共24分）
24．如图①，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，OA＝9，OC＝8．
（1）连接OB，则OB将长方形面积分成相等的两部分，则直线OB的函数关系式为　 　．
（2）如图②，点D在边OA上，点E在边BC上，且OD＝BE，连接DE，此时线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分，请说明等分的理由．
（3）如图③，点D在边OA上，且OD＝1．将∠OAB沿DF折叠，折痕交长方形OABC的边于点F，点A落在点A′处，若直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，求直线DF的函数关系式．

25．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE、EF、AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与点B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．




参考答案
一、单选题（3分每题，共12个小题，共36分）
1．二次根式中x的值不能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”，列不等式求解．
解：根据题意，得
2﹣x≥0，
解得x≤2．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下面四个二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C．2 D．（x≥0）
【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可．
解：A、是最简二次根式；
B、被开方数含分母，故B不是最简二次根式；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C不是最简二次根式；
D、被开方数含能开得尽方的因式，故D不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．纳米是表示微小距离的单位，符号是nm，已知1nm＝0.000 000 001m．芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国中芯国际已可采用14纳米工艺量产芯片，数据14纳米用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣10米 B．1.4×10﹣8米
C．14×10﹣8米 D．1.4×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：14nm＝14×0.000000001m＝1.4×10﹣8m．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B． C． D．1
【分析】根据题目中的数据和勾股定理，可以计算出AB的长．
解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
5．某校为了解学生在“慈善募捐”活动中的捐款情况，进行了抽样调查，结果如表所示．
捐款金额（元）
5
10
20
50
100
200
人数
8
10
12
13
5
2
那么该样本中学生捐款金额的中位数和众数分别是（　　）
A．20元，50元 B．35元，50元 C．50元，50元 D．20元，20元
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
解：该样本中学生捐款金额的中位数为＝20（元），众数为50元，
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数和众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
6．如图，在▱ABCD中，已知AB＝5，AD＝2，DE平分∠ADC交AB于E，则BE的值为（　　）

A．3 B．2.5 C．3.5 D．2
【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC＝2，AB＝CD＝5，AB∥CD，求出∠AED＝∠EDC，推出AE＝DA＝2，代入BE＝BA﹣AE求出即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，AB＝5，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝DA＝2，
∴BE＝BA﹣AE＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质等知识点的应用，关键是求出CE和BC的长．
7．对于函数y＝﹣x+1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点（﹣1，0）
B．它的图象与x轴有两个交点
C．y的值随x值的增大而增大
D．当x＞1时，y＜0
【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数y＝﹣x+1的图象不经过点（﹣1，0）；
B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点（1，0）；
C．利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小；
D．代入x＞1，即可得出y＜0．
解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣1×（﹣1）+1＝2≠2，
∴函数y＝﹣x+1的图象不经过点（﹣1，0），选项A不符合题意；
B．当y＝0时，﹣x+1＝0，
解得：x＝1，
∴函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点（1，0），选项B不符合题意；
C．∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D．当x＞1时，y＜﹣1+1＝0，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
8．如图所示，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，BC的中点，AB＝2，点F是CD上的一个动点，则△BEF周长的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】连接AE，交CD于点F，连接BF，根据等边三角形的性质、三线合一、中线的定义求出CD⊥AB，AE⊥BC，，根据线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，则BF+EF＝AF+EF≥AE，当A、F、E三点共线时，BF+EF最小，故△BEF周长的最小，最后由勾股定理求出AE的长，即可求解．
解：如图：

连接AE，交CD于点F，连接BF，
∵三角形ABC为等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，
∴CD⊥AB，AE⊥BC，，
∴AF＝BF，∠AEB＝90°，
∴BF+EF＝AF+EF≥AE，
当A、F、E三点共线时，BF+EF最小，
又BE为定值，
∴A、F、E三点共线时，△BEF的周长最小，
由勾股定理得，
∴△BEF周长＝．
故选：C．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、三线合一、中线的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点并能够综合运用是解题的关键．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8
【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
＝32，
∴AC＝8，
∴OC＝＝4，
∴CD＝＝8，
故选C．
【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
10．“脱贫攻坚”小组乘汽车赴360km处的农村进行调研，前一段路为高速公路，后段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度高速行驶，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为（　　）

A．4小时 B．4.5小时 C．5小时 D．5.5小时
【分析】根据题意表示出乡村公路的速度，从而可以求出到达的时间．
解：汽车在乡村公路上行驶的速度为：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60km/h，
则该记者到达采访地的时间为：2+（360﹣180）÷60＝5h，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．对于已知三角形的三条边长分别为a，b，c，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：S＝，其中p＝，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的海伦公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．
解：根据题意知，p＝＝＝4.5．
所以S＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……都是等腰Rt△，直角顶点P1（3，3），P2，P3……，均在直线y＝﹣x+4上，设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……的面积分别为S1，S2，S3……则S2019的值为（　　）


A． B． C． D．
【分析】分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
解：如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，

∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC＝CA1＝P1C＝3，
设A1D＝a，则P2D＝a，
∴OD＝6+a，
∴点P2坐标为（6+a，a），
将点P2坐标代入y＝﹣x+4，得：﹣（6+a）+4＝a，
解得：a＝，
∴A1A2＝2a＝3，P2D＝，
同理求得P3E＝、A2A3＝，
∵S1＝×6×3＝9、S2＝×3×＝、S3＝××＝、……
∴S2019＝．
故选：A．
【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（3分每题，共4个小题，共12分）
13．如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为 　﹣　．

【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示0，可得D点表示的数．
解：AC＝＝＝，
则AD＝，
∵A点表示0，
∴D点表示的数为：﹣，
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了实数与数轴．
14．如图，A1，B1，C1分别是△ABC各边的中点，A2，B2，C2分别是△A1B1C1各边的中点，若△A2B2C2的周长为2cm，则△ABC的周长等于 　8cm　．

【分析】根据三角形的中位线定理和三角形的周长公式即可得到结论．
解：∵A2，B2，C2分别是△A1B1C1各边的中点，
∴A1B1＝2A2B2，B1C1＝2B2C2，A1C1＝2A2C2，
∵△A2B2C2的周长为2cm，
∴△A1B1C1＝4cm，
同理△ABC的周长＝8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的周长的计算，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
15．已知x、y都是实数，且y＝++3．则xy＝　6　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的值，进而得到y的值，代入代数式求值即可得出答案．
解：∵x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x＝2，
∴y＝3，
∴xy＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE＝　或5　．

【分析】当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C和∠CEB′为直角，即可求解．
解：AB＝5，BC＝12，则AC＝13，
当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C和∠CEB′为直角，
①当∠EB′C为直角时，
即A、B′、C三点共线，
设：BE＝a＝BE′，则CE＝12﹣a，AB＝AB′＝5，
B′C＝AC﹣AB′＝13﹣5＝8，
由勾股定理得：（12﹣a）2＝a2+82，
解得：a＝，
②当∠CEB′为直角时，
即点B′落在AD边上，此时，ABEB′为正方形，
故：BE＝AB＝5
故答案为或5．
【点评】本题考查的翻折变换（折叠问题），涉及到勾股定理的运用，本题关键是确定当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C和∠CEB′为直角，进而求解．
三、解答题（本大题共3个小题，共18分）
17．计算：5÷﹣3+2．
【分析】根据二次根式的除法和加减法可以解答本题．
解：5÷﹣3+2
＝﹣+4
＝8．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．计算：
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：
＝1+﹣2+（﹣1）﹣×3
＝﹣2
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
19．如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM＝CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．

【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON，即可证明四边形BMDN是平行四边形
【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线AC上的两点M、N满足AM＝CN，
∴OA﹣AM＝OC﹣CN，即OM＝ON，
∴四边形BMDN是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
四、解答题（本大题共2个小题，共14分）
20．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB．

【分析】根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝5m，设AD＝xm，则AC＝（15﹣x）m，
故在Rt△ABC中
AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得：x＝2，
故AB＝10+2＝12（m），
答：树高AB为12m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及完全平方公式的应用，得出关于x的方程是解题关键．
21．如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点B和点C的坐标；
（3）试判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据点A的坐标为（0，4），进而得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据坐标系直接得出点B和点C的坐标；
（3）根据勾股定理的逆定理解答即可．
解：（1）如图所示：建立平面直角坐标系；
（2）根据坐标系可得出：B（﹣3，﹣1）C（1，1）；
（3）AC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，BC2＝22+42＝20，
∵5+20＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．

【点评】此题主要考查了平面直角坐标系的确定方法以及点的坐标确定方法和关于x轴对称图形的画法，得出对应点坐标是解题关键．
五、解答题（本大题共2个小题，共16分）
22．为给学生提供更好的学习设施，某学校准备购买一批新的桌椅．已知购买2套A型桌椅和1套B型桌椅共需260元；购买5套A型桌椅和2套B型桌椅共需600元．
（1）求A型桌椅和B型桌椅的单价；
（2）若学校计划一次性购进1200套桌椅，且要求A型桌椅的数量不多于B型桌椅的3倍，请问购买B型桌椅多少套才能使所需费用最少，最少费用为多少？
【分析】（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，根据“购进2套A型桌椅和1套B型桌椅共需260元；购买5套A型桌椅和2套B型桌椅共需600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅（200﹣m）套，由购进A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再设购买费及运费的总和为w元，根据总费用＝购买单价×购买数量+每套的运费×套数，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可找出最省钱的购买方案．
解：（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：一套A型桌椅的售价是80元，一套B型桌椅的售价是100元．
（2）设购进B型桌椅m套，则购进A型桌椅（1200﹣m）套，
依题意，得：1200﹣m≤3m，
解得：m≥300．
再设购买费及运费的总和为w元，
依题意，得：w＝80（1200﹣m）+100m＝20m+960000．
∵20＞0，
∴w值随着m值的增大而增大，
∴m＝300时，最少费用＝20×300+960000＝966000
∴当购进A型桌椅300套、B型桌椅900套时，总费用最少，最少费用为966000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23．为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此张明和王亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示，解答以下问题．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
张明
13.3
13.4
13.3

13.3
王亮
13.2

13.1
13.5
13.3
（1）请根据图中信息，补齐表格；
（2）从图中看，张明与王亮哪次的成绩最好？
（3）分别计算他们的平均数、方差，若你是他们的教练，将张明与王亮的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？

【分析】（1）读出折线统计图中的数据，填入统计表即可解答；
（2）根据折线统计图中的数据直接写出答案，张明第4次，王亮第3次成绩最好，注意时间越少越好；
（3）根据平均数、方差的定义及算法，求出后再进行分析，即可解答．
解：（1）根据折线图可得，张明第4次成绩为13.2，王亮第2次成绩为13.4．填表如下：

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
张明
13.3
13.4
13.3
13.2
13.3
王亮
13.2
13.4
13.1
13.5
13.3
（2）从图中看，张明第4次，王亮第3次成绩最好；
（3）张明的平均分为：×（13.3+13.4+13.3+13.2+13.3）＝13.3，
王亮的平均分为：×（13.2+13.4+13.1+13.5+13.3）＝13.3，
张明的方差为：×[3×（13.3﹣13.3）2+（13.4﹣13.3）2+（13.2﹣13.3）2]＝0.004，
王亮的方差为：×[（13.2﹣13.3）2+（13.4﹣13.3）2+（13.1﹣13.3）2+（13.5﹣13.3）2+（13.3﹣13.3）2]＝0.02．
∵S2张明＜S2王亮，
∴张明同学的成绩较为稳定，但是他的最高成绩没有王亮高，爆发力不够，有待提高．
而王亮同学爆发力还行，但是成绩不稳定，需加强．
【点评】本题考查了读折线统计图的能力以及平均数，方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标；方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
六、解答题（本大题共2个小题，共24分）
24．如图①，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，OA＝9，OC＝8．
（1）连接OB，则OB将长方形面积分成相等的两部分，则直线OB的函数关系式为　y＝x　．
（2）如图②，点D在边OA上，点E在边BC上，且OD＝BE，连接DE，此时线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分，请说明等分的理由．
（3）如图③，点D在边OA上，且OD＝1．将∠OAB沿DF折叠，折痕交长方形OABC的边于点F，点A落在点A′处，若直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，求直线DF的函数关系式．

【分析】（1）OA＝9，OC＝8，故点B的坐标为（9，8），即可求解；
（2）由S梯形ODEC＝（CE+OD）×OC＝（BE+AD）×OC＝S梯形ABED，即可求解；
（3）①当直线DA′与BC边相交时，在Rt△HFB和Rt△HFA′中，HF2＝BF2+BH2＝A′F2+A′H2，即42+（8﹣a）2＝a2+（4﹣8）2，解得a＝4﹣4，进而求解；②当直线DA′与AB边相交时，同理可得，点F的坐标为（9，），即可求解．
解：（1）∵OA＝9，OC＝8，
故点B的坐标为（9，8），
设直线OB的表达式为y＝kx，
将点B的坐标代入上式得：8＝9k，解得k＝，
故直线OB的表达式为y＝x，
故答案为y＝x；

（2）∵四边形OABC为矩形，则OA＝BC，
∵OD＝BE，故CE＝AD，
S梯形ODEC＝（CE+OD）×OC＝（BE+AD）×OC＝S梯形ABED，
故线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分；

（3）∵直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，
则较小部分的面积为×OA•OC＝＝24．
①当直线DA′与BC边相交时，如图1，

过点D作DN⊥BC于点N，延长DA′交BC于点H，
设AF＝a＝A′F，则BF＝8﹣a，
由题意得：S梯形ODHC＝×OC×（OD+HN）＝×8×（1+HC）＝24，解得HC＝5，
则HN＝HC﹣CN＝HC﹣OD＝5﹣1＝4，则BH＝BC﹣CH＝9﹣5＝4，
在Rt△HND中，DH＝＝＝4，则A′H＝DH﹣OA′＝DH﹣OA＝4﹣8，
在Rt△HFB和Rt△HFA′中，HF2＝BF2+BH2＝A′F2+A′H2，
即42+（8﹣a）2＝a2+（4﹣8）2，解得a＝4﹣4，
故点F的坐标为（9，4﹣4），
由点F、D的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣；
②当直线DA′与AB边相交时，如图2，

同理可得，点F的坐标为（9，），
由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣，
综上，直线FD的表达式为y＝x﹣或y＝x﹣．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、梯形面积的计算、矩形的性质、图形的折叠等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE、EF、AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与点B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．


【分析】（1）结论AE＝EF＝AF．只要证明AE＝AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH＝CF•cos30°，因为CF＝BE，只要求出BE即可解决问题．
【解答】（1）解：结论AE＝EF＝AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°
∵BE＝EC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，
∵∠EAF＝60°，
∴∠CAF＝∠DAF＝30°，
∴AF⊥CD，
∴AE＝AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF．
（2）证明：连接AC，如图2中，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，

∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，
∴∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
由（1）知△ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴BG＝BC＝AB．
在Rt△AGB中，AB＝4，
∴BG＝2，AG＝＝．
在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，
∴AG＝GE＝2，
∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2．
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝120°，∠ACF＝∠ACE+∠FCE，AD∥EC，∠ACE＝60°，
∴∠D＝∠FCE＝60°，∠ACF＝60°+60°＝120°，
∴∠ACF＝∠ABE．
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠FAC．
在△AEB和△AFC中
，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴AE＝AF，EB＝CF＝2﹣2，
在Rt△CHF中，∵∠HCF＝180°﹣∠BCD＝60°，CF＝2﹣2，
∴FH＝CF•sin60°＝（2﹣2）•＝3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣．



【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．