2023年高考数学考前押题冲刺测评卷02（新高考地区专用）含解析

这是一份2023年高考数学考前押题冲刺测评卷02（新高考地区专用）含解析，共34页。试卷主要包含了命题“”，命题“”，则p是q的，若，，，则，，的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
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测评卷02
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知a，，，则（    ）
A．5 B． C．3 D．
3．在的展开式中，含的项的系数为（    ）
A． B． C． D．
4．命题“”，命题“”，则p是q的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（    ）
A．200 B．210 C．220 D．242
6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（  ）

A． B． C． D．
7．若，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（    ）

A．有且仅有一个点P，使得 B．平面
C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．M为的中点，若MP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
10．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（    ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C．函数在上单调递减 D．
11．过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（    ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则
12．函数的定义域，满足，且．当时，，则下列说法正确的是（    ）
A．是定义在上的偶函数
B．在上单调递增
C．若，则
D．当是钝角的两个锐角时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知在正项等比数列中，，，则使不等式成立的正整数n的最小值为________．
14．2023年春节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x（单位：元）与销售量y（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格
8
9.5

10.5
12
销售量
16

8
6
5

经分析知，销售量件与价格元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，且，则__________.
15．设是表面积为的球的球面上的五个点，平面，且四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________．
16．若函数的关系式由方程确定.则下述命题中所有真命题的序号为_____________.
①函数是减函数；           
②函数是奇函数；
③函数的值域为     
④方程无实数根：
⑤函数的图像是轴对称图形.
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前项和，满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若_________，求数列的前项和.
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.









18．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角C；
(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．







19．如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图.

(1)根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）；
(2)是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由.
（参考数据：参考公式：相关系数在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：）










20．在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．








21．如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．

(1)证明：平面；
(2)若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．











22．已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求m的值；
(2)证明：（参考数据：）．

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测评卷02
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，解得，
所以；
由，得，所以，
所以.
故选：D.
2．已知a，，，则（    ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：D.
3．在的展开式中，含的项的系数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由二项式定理可知：展开式各项的表达式为：，
其中，，；
令得：，或，
含的项的系数为.
故选：D.
4．命题“”，命题“”，则p是q的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】对于命题，，得，
可以推出，但是不能推出，
p是q的充分不必要条件.
故选：A.
5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（    ）
A．200 B．210 C．220 D．242
【答案】C
【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有
故其奇数项上的通项公式为故，
故选：C
6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（  ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，
设第段圆弧的半径为，则可得，
故数列是以首项，公差的等差数列，则，
则“蚊香”的长度为.
故选：D.
7．若，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，，，
而，即，
所以，，的大小关系为.
故选：B
8．如图，在正方体中，，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（    ）

A．有且仅有一个点P，使得 B．平面
C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．M为的中点，若MP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长为
【答案】D
【详解】
对于A，连接,
因为平面,平面,所以,
且四边形为正方形，所以,
且，平面,
所以平面,所以当点在线段上时，
必有平面,则，
所以存在无数个点P，使得，A错误；
对于B，当点与点重合时，
与平面相交，B错误；
对于C，若，则为中点，
连接,则为等腰直角三角形，且，
且也为等腰直角三角形，且,
且平面平面，
所以取中点为，则为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径为,
所以我外接球的表面积为，C错误；
对于D，连接
因为平面，所以为MP与平面ABCD所成的角，
所以，所以,
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆弧，
所以点P的轨迹长为，D正确，
故选:D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，已知，则，
由余弦定理可知，所以，即，
等号两边同时平方，可得，
则，即，
因为，所以，
则，即，
因为，则，
，A选项正确；
对于B，，
因为点O为的外心，所以，，
则，B选项正确；
对于C，由余弦定理，
由正弦定理，则，C选项错误；
对于D，因为，则，
即，所以①，
同理，
即，所以②，
联立①②，解得，，D选项正确；
故选：ABD.
10．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（    ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C．函数在上单调递减 D．
【答案】ABD
【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，
所以，
，
，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
故
，
由知常数项为3，故B正确；
由，故D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，则C不正确.
故选：ABD.
11．过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（    ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则
【答案】BC
【详解】对于A项，方法一：由题意可设过点的直线l的方程为，，设，，
联立方程组消去x整理得，可得.
因为，所以则，解得，所以抛物线，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
方法二：∵，∴，，
又∵，∴，解得：，
所以抛物线E：，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
对于B项，设，，抛物线，，，
易得，，所以，
所以直线NA，NB垂直，所以点N在以AB为直径的圆上，故B项正确；
对于C项，由A项知，抛物线E：，则直线l的方程为，，设，，
，
所以，，
又因为，所以，，，
所以，解得：，
所以，所以，
所以，，即：，
所以，故C项正确；
对于D项，方法一：由C项知，，，
又因为直线l垂直于直线m ，
所以，
所以.故D项错误.
方法二：由题意知.设直线的倾斜角为，由，，
易得直线的方程为，，，
根据焦点弦长公式可得，
所以.故D项错误.
故选：BC.
12．函数的定义域，满足，且．当时，，则下列说法正确的是（    ）
A．是定义在上的偶函数
B．在上单调递增
C．若，则
D．当是钝角的两个锐角时，
【答案】BC
【详解】对A，令得，即得，
在定义域范围内令得，即得是奇函数，A错误；
对B，令，，且，所以，
又且，，所以，即，
所以，所以是单调增函数，B正确；
对C，由，可得，即，又，所以，故C正确；
对D，因为是钝角的两个锐角，则，，
所以，，故D错误.
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知在正项等比数列中，，，则使不等式成立的正整数n的最小值为________．
【答案】9
【详解】设等比数列的公比为，且，
因为，，所以，
所以，所以．
因为，即，
当时，；当时，，
所以正整数的最小值为9．
故答案为：9
14．2023年春节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x（单位：元）与销售量y（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格
8
9.5

10.5
12
销售量
16

8
6
5

经分析知，销售量件与价格元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，且，则__________.
【答案】
【详解】由表中数据，计算 ，
，
因为线性回归直线方程过点，
即，即， 所以，
又因为，所以，
故答案为：．
15．设是表面积为的球的球面上的五个点，平面，且四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________．
【答案】##
【详解】由题意把四棱锥补成一个长方体，如图，四棱锥的外接球即为该长方体的外接球，
设球半径为，由得，
设()，则，，
，
令，则，
设()，，
时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，，
所以时，取得最大值为．
故答案为：．

16．若函数的关系式由方程确定.则下述命题中所有真命题的序号为_____________.
①函数是减函数；           
②函数是奇函数；
③函数的值域为     
④方程无实数根：
⑤函数的图像是轴对称图形.
【答案】①④⑤
【详解】当时，方程为，此时轨迹为四分之一圆，
当时，方程为，即，此时轨迹为双曲线的部分，
当时，方程为，方程无实数解，
当时，方程为，即，此时轨迹为双曲线的部分，
作出图象如下图所示：

对①，观察图象得函数是减函数，故①正确，
对②，根据图象易知第一象限的图象在第三象限无对称部分，故函数不是奇函数，故②错误，
对③，显然根据图象易知值域不是，故③错误，
对④，，即，
方程的根即为的图象与直线交点横坐标，
显然两双曲线部分的渐近线均为，故与在二、四象限的图象无交点，且与第一象限的圆弧显然也无交点，故④正确；
对于⑤，根据两双曲线的解析式特点及圆的对称性，易得函数关于直线对称，
取图象上任意一点，于是得，
当时，，
因此点在的图象上，所以函数的图像关于直线对称，它是轴对称图形，故⑤正确；
故答案为：①④⑤.
五、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前项和，满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若_________，求数列的前项和.
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
依题意可得，则
解得，，
所以，数列的通项公式为.

综上：，  ；
（2）解：选①
由（1）可知：  
∴
∵
∴
选②
由（1）可知：
∴
∵


选③
由（1）可知：，∴
∵
则
于是得
两式相减得，
所以.
18．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角C；
(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理可得，
∴，
所以，
则，因为，
化简得．
∵，∴．
（2）由余弦定理得，
∴，∴，当且仅当时，等号成立．
此时．
若的面积取到最大，则，为等边三角形，
∴，由余弦定理得，
∴．
19．如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图.

(1)根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）；
(2)是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由.
（参考数据：参考公式：相关系数在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：）
【答案】(1)，与的线性相关程度较高
(2)可以用线性回归模型拟合与的关系，，到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元

【详解】（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得，
，
，
所以.
因为近似为0.96，所以与的线性相关程度较高.
（2）由（1）知，与的相关系数近似为0.96，说明与的线性相关程度较高，
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
由及（1）得，
，
所以关于的回归方程为.
因为，所以
所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元
20．在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由题意，
因为，所以，
即，两边平方并整理得．
故点的轨迹的方程为；
（2）设直线方程为，
联立，消并整理得，，显然，
设，，则，，
又，可得线段中点坐标为，
所以线段中垂线的方程为，
令，可得，
对于直线，令，可得，
所以
又，
所以，
令，则，
因为在上单调递增，
所以，故．
21．如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．

(1)证明：平面；
(2)若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）如图，取AD的中点G，连接GE，GF，由D是的中点，得，
因为，则，从而，
又平面ABC，平面ABC，即有平面ABC，
因为G，E分别为AD，CD的中点，则，
又平面ABC，平面ABC，即有平面ABC，
又，GE，平面GEF，因此平面平面ABC，
因为平面GEF，所以平面ABC．

（2）如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，，
设平面DEF的法向量为，则，
取，则，，得平面DEF的一个法向量为；
设平面的法向量为，则，
取，则，，得平面的一个法向量为，
则，
故平面DEF与平面夹角的余弦值为．
22．已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求m的值；
(2)证明：（参考数据：）．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意，，
由，得，
则，
解得；
（2）因为，，
由，可得，在上递减，
由，可得，在上递增；
所以；
又等价于．
令，则．
当时，，在上递增；
当时，，在上递减．
所以．
令，则．
当时， ，在上递减，
当时，；在上递增，．
所以．
因为，所以，所以，
所以，从而得证，
故．