2023届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次模拟数学（理）试题含解析

2023届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面上，复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】化简可得，根据复数的几何意义得出点的坐标，即可得出答案.

【详解】因为，

所以，在复平面上，复数对应的点为.

故选：C.

2．已知全集，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用补集的定义求解作答.

【详解】集合，而全集，

所以.

故选：A

3．对于直线和平面，"直线不在平面上"是""的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面之间的关系即可得解.

【详解】直线不在平面上或与相交，

故"直线不在平面上"是""的必要不充分条件.

故选：B.

4．我国是人口大国，21世纪以来的22年中（2001-2022年），人口出生数量（万）的变化趋势如下图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．22年中，人口出生数量的极差大于900万

B．22年中，人口出生数量的中位数是1606万

C．22年中，按平均数来考查，人口出生数量最近4年的平均数与最初4年的平均数之差的绝对值大于500万

D．近6年，人口出生数量呈现逐年下降的趋势

【答案】C

【分析】根据折线统计图的数据一一分析即可.

【详解】这22年中，人口出生数量的极差为，故A正确；

将这年人口出生数量从小到大排列为：956，1062，1202，1465，1523，1584，1593，1594，1596，1599，1604，1608，

1615，1617，1635，1640，1647，1655，1687，1702，1765，1883，

所以人口出生数量的中位数为，故B正确；

最近4年人口出生数量的平均数为，

最初4年人口出生数量的平均数为，

由于，故C错误；

由题图可知，近6年，人口出生数量呈现逐年下降的趋势，故D正确．

故选：C．

5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出变换后的函数解析式，再探讨在两个指定区间上的单调性作答.

【详解】函数，即，将其图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是，

当时，，因为余弦函数在上不单调，

因此函数在上不单调，AB错误；

当时，，因为余弦函数在上单调递减，

因此函数在上单调递减，C错误，D正确.

故选：D

6．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ）

A．28 B．20 C．18 D．12

【答案】A

【分析】由等比数列的通项公式求出，再由等比数列的前项和公式代入化简即可得出答案.

【详解】根据题意得，，解得或（舍），

则.

故选：A.

7．已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】求出双曲线C渐近线的斜率，与已知直线斜率的乘积等于-1，即可求解.

【详解】由题意，双曲线的方程为： ，斜率为 和 ，

直线 的斜率为 ，因为两直线垂直，

则有 ，即 ，（ ，显然这是不可能的），

或 ， ；

故选：A.

8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【分析】根据三视图还原几何体，将几何体放入长方体中，进而得出该几何体的外接球与长方体的外接球相同，再利用长方体的体对角线等于外接球的直径即可求解.

【详解】根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4长方体中，如图所示,

所以该几何体的外接球与长方体的外接球相同，即长方体的体对角线等于外接球的直径，

设该几何体的外接球半径为，则

，解得.

所以该几何体的外接球半径为.

故选：A.

9．二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（    ）

A．3 B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】先根据二项展开式的通项求出参数，在根据定义求定积分.

【详解】依题意，展开式第二项的系数为：，故，于是，.

故选：C

10．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出，化简可得.

【详解】在中，由正弦定理可得

在中，易知，

则

整理可得

故选：D

11．若函数有两个极值点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围.

【详解】因为函数有两个极值点，

又函数的定义域为，导函数为，

所以方程由两个不同的正根，且为其根，

所以，，，

所以，

则

，

又，即，可得，

所以或（舍去），

故选：C.

12．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将变形，可得，，由此可构造函数和，利用导数可求得单调性，进而确定，，由此可得大小关系.

【详解】，，

设，则，

在上单调递增，，

即，；

，，

设，则，

在上单调递减，，

即，，即；

综上所述：.

故选：D.

二、填空题

13．已知向量，且，则___________.

【答案】

【分析】利用向量线性关系的坐标运算得，根据向量垂直的坐标公式列方程求参数即可.

【详解】由题设，且，

所以，则.

故答案为：

14．已知，则__________.

【答案】2

【分析】利用两角和的正弦公式，化简求，再化简求值.

【详解】已知，所以，，

.

故答案为：2

15．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．

已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为_______．

【答案】120

【详解】解：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．

由B层中每个个体被抽到的概率都为1 12 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是1 /12 ，

∴总体中的个体数为10÷1 /12 =120．

16．对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论

①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点

③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．

④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为__________．

【答案】②③

【分析】举反例偶函数，利用“不动点”、“次不动点”的定义即可判断①；

对于②结合奇函数定义及性质即可判断；

对于③首先利用“不动点”定义得到及利用“次不动点”的定义得，再分离变量，利用函数单调性即可求得a的取值范围；

对于④利用“不动点”得到，分离变量后得到，将问题转化为函数零点问题即可求解.

【详解】对于①:取函数，，既是的不动点，又是的次不动点，故①错误；

对于②:定义在上的奇函数满足，故②正确；

对于③:当时， ，即.

令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；

当时，即.

令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；综上时函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确;

对于④:假设函数在区间上存在不动点，则在上有解，即在上有解，令，则，再令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以在上 恒成立，所以在上单调递增，

所以，，

所以实数满足，存在正整数满足条件，故④错误：

故答案为：②③

【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，难度较大.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

三、解答题

17．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.

(1)求乙闯关成功的概率；

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，，甲比乙闯关成功的可能性大

【分析】（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；

（2）直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.

【详解】（1）记乙闯关成功为事件A，

所以.

（2）由题意知随机变量X是所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

故X的分布列为

所以.

所以甲闯关成功的概率为，

因为，

所以甲比乙闯关成功的可能性大.

18．已知数列满足，（）.记

(1)求证：是等比数列；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由等比数列定义证明即可；

（2）使用错位相减法求和即可.

【详解】（1）由已知，∵，∴，

∵，

∴，

又∵，∴，

∴易知数列中任意一项不为，∴，

∴数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由第（1）问，，∴，

∴设数列的前项和为，则

①，

①得，

②，

①②得，

，

∴，

∴.

∴数列的前项和为.

19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.

(1)求证：；

(2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）证明：因为E为AD中点，

所以．

又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC，

所以四边形BCDE为平行四边形．所以BECD．

又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，

所以BE平面PCD．

因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，

所以BEFG．

.

（2）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，

所以PE⊥AE，且PE⊥BE．

因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，

所以AE⊥BE．

以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．

则．

设，

所以，．

因为PC与AB所成角为，

所以．

所以．

则，．

所以，，．

设平面BEF的法向量为，

则，即

令，则，

所以．

所以．

所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为．

20．已知函数．

(1)设．

①求曲线在点处的切线方程．

②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．

(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)①；②有极大值.

(2)

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率，根据点斜式即可求解切线方程；利用导数讨论函数单调性即可求解极值问题.

（2）由题意，转化为方程有两个解，即直线与函数，有两个交点，构造，求导得到其单调性，数形结合，即可求出a的取值范围.

【详解】（1）①当时，，则，

所以，所以曲线在点处的切线方程为，

即．

②令得，令得，令得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.

（2）因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，

即在上有两个解，

记，，则直线与函数，有两个交点，

则，

记，则，

令得，令得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

令得，又，

所以当时，，，函数单调递增，

当时，，，函数单调递减，

又，，

如图，

由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，

所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.

【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数，求参数的取值范围的常用方法：

（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解；

（3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题．

21．已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义求出，然后根据的关系即可求解；

（2）设，得到，

将的方程与曲线方程联立，利用韦达定理得到，，代入进而利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由，得，

∴椭圆C的方程是；

（2）设，根据题意设的方程为：，

由题意知，

，     

将，代入中，整理得，

，又，

．

，，

同理可得，，                                

（当且仅当时取等号）

的最大值是．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

(2)已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．

【答案】(1)曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为.

(2)

【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程；根据，，可得曲线的直角坐标方程；

（2）将曲线的参数方程化为标准形式，将的参数方程的标准形式代入的直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可求出结果.

【详解】（1）由，消去得，

则曲线的普通方程为.

由，得，

根据，，得.

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）将曲线化为，（为参数），易知在曲线上，

联立，得，

设点对应的参数分别为，

则，，

所以.

23．已知函数的最小值为m.

（1）求m的值；

（2）若实数a，b满足，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由绝对值三角不等式可得，即可得解；

（2）由柯西不等式可得，结合即可得解.

【详解】（1）由题意，

当且仅当时等号成立，故；

（2）由题意，

由柯西不等式得，

当且仅当，时，等号成立，

∴，

故的最小值为.

【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.