2023届江苏省无锡市等4地高三三模数学试题含解析

2023届江苏省无锡市等4地高三三模数学试题

一、单选题

1．若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解对数不等式可得集合，解一元二次不等式即可得集合，再根据韦恩图求集合即可.

【详解】因为，所以，则集合，

又，解得，则集合，所以，

由图可知阴影部分表示集合.

故选：A.

2．已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】设，，根据复数模的计算公式得到方程，解得即可.

【详解】设，，则，

因为，所以，则，解得，

所以复数的虚部为.

故选：C

3．已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】A

【分析】设出、、的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D；根据线面关系判断A.

【详解】设平面、、的法向量分别为、、，直线，的方向向量为，，

对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，则，又，则，所以，则，故B正确；

对于C：若，，则，，又，则，所以，则，故C正确；

对于D：因，，则，，因此向量、共面于平面，

令直线的方向向量为，显然，，

而平面，即、不共线，于是得，所以，故D正确.

故选：A

4．“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步.假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过（    ）天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍.（参考数据：，，）

A．82 B．84 C．86 D．88

【答案】B

【分析】利用对数的运算性质结合估算即可求得结果.

【详解】设大约经过天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，

可得，两边取对数得，

，

，

又因为

,

又因为

，

所以.

故选：B.

5．已知，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.

【详解】因为，

又因为，，

所以，

所以

因为，所以，

所以，

所以当为奇数时，，，

当为偶数时，，，

因为，所以，

因为，所以.

故选：C.

6．已知，为两个随机事件，，，，，则（    ）

A．0.1 B． C．0.33 D．

【答案】B

【分析】根据互斥、对立事件的加法公式和条件概率公式和乘法公式即可求解。

【详解】，

所以，

，

所以，

所以，

即，

所以，

即，

解得，

故选：B.

7．已知点在双曲线上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的最大值.

【详解】双曲线的渐近线方程为，即，

设双曲线上的点，所以，即

则到两条渐近线的距离分别为，，

所以，

又，

因为恒成立，所以，整理得，即

所以离心率，则的离心率的最大值为.

故选：A.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b与c，a与b，利用中间值比较即可.

【详解】记，则，

记，则，又，所以，

所以在上单调递减，所以，

则，所以在上单调递减，

所以，故时，，所以，

所以，

又，

所以，

记，则，

所以在上单调递增，所以，

即时，，所以，

所以，

所以.

故选：D

【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.

二、多选题

9．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】求得大小关系判断选项A；举反例否定选项B；求得大小关系判断选项C；求得的正负情况判断选项D.

【详解】选项A：在中，若，则，则.判断正确；

选项B：令，则 .判断错误；

选项C：在中，若，则，

又余弦函数在单调递减，则.判断正确；

选项D：在中，若，则，

，又正切函数在单调递增，

则.判断正确.

故选：ACD

10．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】AD

【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.

【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，

又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.

故选：AD.

11．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．

B．在区间上单调递增

C．在区间上有且仅有2个极小值点

D．在区间上有且仅有2个极大值点

【答案】AC

【分析】根据正弦型函数的图像的单调性和图像特点即可求解.

【详解】因为，

所以

，

且

所以，

所以结合数轴知，

，

故选项A正确；

在时，

又因为，区间的左端点是，区间的右端点位于，

令，

所以的图像如下图所示，

因此在区间上不一定递增，故选项B错误；

在时，,

又因为，区间的左端点是，区间的右端点位于，      

令，

所以的图像如下图所示，

所以在即在上有且仅有2个极小值点，故选项C正确；

所以在即在上有2或3个极大值点，故选项D错误.

故选：AC.

12．用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图，在正三棱台中，已知，则（    ）

A．在上的投影向量为

B．直线与平面所成的角为

C．点到平面的距离为

D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为

【答案】BCD

【分析】根据投影向量的定义和线面角的定义以及线面平行线间的点到平面距离以及内切球的大圆切面求法即可求解.

【详解】在上的投影向量即为在上的投影向量,

即为，故A错；

过作直线的垂线，交直线AC于点M，过作直线的垂线，交直线AC于点N，连接，所以，

所以，

由余弦定理得，

所以，

所以，

同理可得，

所以，

平面，

所以直线与平面所成的角为，故B正确；

取中点，

因为，

所以，

所以，

又平面，

所以平面，

所以点到平面的距离为，

且，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离等于，

故选项C正确；

取中点H，中点，的外心为，的外心为，过作垂线交于点，

所以，，

所以，

所以，

所以，即，

故选项D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，.请写出一个满足上述条件的函数______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由函数的奇偶性、对数运算的性质即可得答案.

【详解】因为函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，

所以满足三个条件.

故答案为：（答案不唯一）.

14．已约是一组平面向量，记，若，则满足的的值为______.

【答案】5或6

【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式可得的坐标，又由，可得，由此可得关于的方程，解可得答案．

【详解】记的前项和为，则，

因为，所以，

又，所以，整理得，

解得或或，因为，所以或.

故答案为：或

15．已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为______.

【答案】3

【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答.

【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径，

于是，

因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，

而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，

所以的最小值为3.

故答案为：3.

16．定义：若函数图象上存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称是“重切函数”，，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为______.

【答案】

【分析】由“重切函数、双重切点及双重切线的定义，判断函数存在两个不相等的实数，使得，结合函数奇偶性即可得出两切点，关于原点对称，从而列出方程，求出切点，即可求得答案.

【详解】，所以，其定义域为，

因为，所以函数在为偶函数，

令，，当时，，

所以在为偶函数，且在上单调递增，

所以必存在两个不相等的实数，使得， 且，

不妨设两切点为，，且

因为函数，，

所以函数在为奇函数，

又，所以两切点，关于原点对称，

即此时切线斜率 ，又，

即，整理得，解得或，

所以存在两点，满足条件，

所以两点，确定的直线方程即为曲线的“双重切线”的方程，

由直线的两点式方程可得，即为曲线的“双重切线”的方程，

所以曲线的“双重切线”的方程为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是利用奇偶函数的对称性特征得出切点关于原点对称.

四、解答题

17．记为数列的前项和，已知，.

(1)求的通项公式；

(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据等差数列的定义和增位相减以及累乘法即可求解；（2）根据等比数列求和和二项式定理即可求解.

【详解】（1）因为，，

所以是首项为1，公差为的等差数列，

所以，

即①，

所以②，

由②－①可得，

即，

所以.

（2）由（1）可得，

则，

所以，

所以

所以除以3的余数为2.

18．已知的内角，，所对的边分别是，，，且______.

在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.

(1)求；

(2)若，，点为的中点，点满足，且，相交于点，求.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）若选择条件①：利用三角形内角和、正弦定理可求答案；

若选择条件②：利用三角形内角和、正弦定理、辅助角公式可求答案；

若选择条件③：利用余弦定理、正切公式可求答案.

（2）法一:利用换基底和平面向量数量积的运算；法二:建立坐标系，利用余弦公式.

【详解】（1）若选择条件①：

因为，所以，

由正弦定理得，

因为，所以，

因为，所以，所以，

又因为，所以.

若选择条件②：

因为，所以由正弦定理得，

即，

所以，

因为，所以，所以，

又因为，所以.

若选择条件③：

因为，所以由余弦定理得，

即，

因为，所以，所以，

又因为，所以.

（2）法一：因为为中点，点满足，

所以，.

因为，，，所以，

所以，

，

故.

又因为与的夹角即，所以.

法二：以为原点建立平面直角坐标系（如图），

则，，，

由可知.

联立直线，的方程解得，

所以

.

19．如图，已知在平面四边形中，，，，现将沿翻折到的位置，使得.

(1)求证：平面平面；

(2)点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置.

【答案】(1)证明见解析

(2)点是线段上靠近点的三等分点

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理先证线面垂直，即可得面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，确定平面与平面的法向量，由向量夹角余弦公式求解即可得结论.

【详解】（1）取线段的中点，连接

在中，因为，所以，.

在直角中，，故.

故，所以，从而，即.

又，平面，，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（2）因为，，，

所以以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系（如图）.

由题意可得，，，.

因为点是棱上点，设，则可得点.

设平面的法向量，又，，

所以，

取.

因为平面，故可取平面的法向量，

设二面角大小为，则，

则，整理得，解得（舍去）或，

所以点是线段上靠近点的三等分点.

20．为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织10000名学生（其中男生4000名，女生6000名）参加数学建模能力竞赛活动.

(1)若将成绩在的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有2500名，女生中有潜力的学生有3500名，完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关?

(2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49，女生成绩的均值为75，方差为64.

（ⅰ）求全体参赛学生成绩的均值及方差；

（ⅱ）若参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在的学生人数.

参考数据：

①

②若，则，，.

参考公式：，.

【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关

(2)（ⅰ），（ⅱ）人

【分析】(1)根据条件填写二联表，并根据卡方公式计算判断即可；

(2)(i)根据分层抽样的均值与方差计算公式计算即可；(ii)根据正态分布的三段区间公式计算并估计即可.

【详解】（1）列联表如下：

零假设为：学生是否有潜力与性别无关，

根据列联表中的数据，得

，

我们推断不成立，即有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关.

（2）（ⅰ）假设男生成绩为，女生成绩为，

则.

因为

，

即，

同理，即，

所以

（或者直接用公式计算：）

（ⅱ）由，得，

所以这次考试中成绩在的学生大约有人.

21．已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据向量的坐标计算和椭圆的标准方程即可求解；（2）根据直线和椭圆的方程联立以及中点坐标公式即可求解.

【详解】（1）设，，

则，，

将代入，

得

将代入，

得，

即，

又因为且

所以，

所以，

所以的方程为.

即的方程为.

（2）  

设中点为，中点为.

当垂直轴时，由对称性可得；

当不垂直轴时，设，

将直线的方程代入，得，

所以，，

所以，，

即，

同理，

由此可知.

22．已知函数.

(1)求的极值；

(2)求证：.

【答案】(1)的极大值为，没有极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）求导数得，设，求导数确定函数的单调性即可确定的正负，从而得的取值情况即可确定的极值；

（2）由（1）可知，结合数列累加求和即可证明结论.

【详解】（1）因为函数，所以，

设，，

所以在上单调递增.

又，所以当时，；当时，.

又因为对恒成立，

所以当时，；当时，.

即在区间上单调递增，在区间上单调递减，

故，没有极小值.

（2）由（1）可知，

所以当且仅当，取“＝”.

由（1）得，

累加得；

由②得，

累加得.

综上所述，.