2023年山西省太原市小店区部分学校中考数学模拟试卷（三）（含解析）

2023年山西省太原市小店区部分学校中考数学模拟试卷（三）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  杭州亚运会将于年月日举行，下面是杭州亚运会比赛项目中几个项目的图标，其图案可看作轴对称图形的是(    )

A. 赛艇 B. 电子竞技
C. 体操 D. 柔术

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图所示的几何体是由个完全相同的小正方体搭成的，从它的左面看到的平面形是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  年五一期间，太原市旅游市场强势回暖，呈现繁荣火爆的态势如表是五一小长假期间太原主要景区客流量的统计结果，则这组数据的中位数是(    )

A. 万人 B. 万人 C. 万人 D. 万人

6.  石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料石墨烯本身是网状的，其网孔直径约为纳米已知纳米等于十亿分之一米，则纳米用科学记数法可表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.  如图，大正方形的面积，小正方形的面积，大正方形的边长是小正方形边长的倍，由此可以得到，其体现的数学思想是(    )

A. 转化思想 B. 数形结合思想 C. 类比思想 D. 整体思想

8.  如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，等边三角形的边长为，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算 ______ ．

12.  如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点作于点，，，则的长为______ ．

13.  如表记录了甲、乙两名运动员在女子气步枪发比赛中前发的成绩，则在前发的射击中发挥较稳定的运动员是______ ．

14.  如图，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，直线交轴于点若，，则的值为______ ．

15.  如图，在中，，，点是的中点，点是上一点，与交于点若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
先化简，再求值，其中．

17.  本小题分
如图，是等边三角形，是边上的中线．
操作与实践：利用尺规作的平分线，交于点要求：尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法，标明字母；
猜想与证明：试探究线段与的数量关系，并证明结论．

18.  本小题分
为助力山西品牌推广，某网店准备购进，两种规格的冠云袋装平遥牛肉进行销售，规格比规格每袋进价少元，用元购进的规格的牛肉数量是用元购进的规格的牛肉数量的倍．
求，两种规格的袋装牛肉每袋的进价；
该网店决定购进，两种规格的牛肉共袋，根据之前的销售经验，购进规格牛肉的数量应不少于规格牛肉数量的倍已知规格牛肉每袋的售价定为元，规格牛肉每袋的售价定为元，那么该网店购进，两种规格的牛肉各多少袋获利最大？

19.  本小题分
宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩分满分分分为个等级：等级，等级，等级，等级为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：

本次抽取的学生共有______ 人，他们成绩的中位数落在______ 等级；
补全频数分布直方图，扇形统计图中等级所对应的圆心角的度数为______ ；
若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数；
九班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

20.  本小题分
请阅读下列材料，并完成相应的任务有趣的“形数”，形数，亦称拟形数、垛积数，是一种与图形有关的数可能有同学感到奇怪，数怎么会有形状呢？这要从其发明者古希腊著名数学家毕达哥拉斯说起毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，小石子能够摆成不同的几何图形，于是产生了一系列的形数比如，当小石子的数目是，，，等数时，小石子都能摆成正三角形，这些数叫做三角形数，如图当小石子的数目是，，，等数时，小石子都能摆成正方形，这些数叫做正方形数，如图，除此之外，毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数：五边形数、六边形数，如图，并进一步发现了各种“形数”之间的内在联系“形数”充分反映出数学内在的奥秘和魅力值得说明的是在公元前世纪纸张还没有出现，所以这种用小石子来研究数的性质的方法，不仅是认识数的一种简洁直观方法，更是古希腊人的一种伟大创造

任务：根据材料图、图中的图形及规律填写表格：

如图，毕达哥拉斯发现：两个三角形数刚好可以组成一个长方形数，由此易得，即推而广之，如果三角形数有层，长方形数就有层，每层有个点，于是归纳得到，即第个三角形数是．
类比归纳：第个正方形数是______ 用含的式子表示；
下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是______ 填选项．
A.
毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．

21.  本小题分
蒙山大佛位于太原市晋源区寺底村，是世界上最早的巨型摩崖石刻释迦车尼佛像，距今已有多年历史某校综合与实践活动小组想要测量蒙山大佛的高度，他们设计了如下测量方案：如图，在佛像基座底部所在的水平地面上，先在点处用测倾器测得佛像最高处的仰角为，再向佛像的方向走到达点处，测得佛像底端基座顶部的仰角为，测倾器的高度为，连接并延长，交于点，通过查阅资料得知基座高，根据以上测量结果，请帮该小组求出佛像的高度结果精确到，参考数据：，，，，，

22.  本小题分
综合与实践：问题情境：已知：正方形的边长为，点是上的一个动点不与点，重合，将正方形沿折叠，点的对应点是点，延长交于点．
特例分析：如图，当点是的中点时，求线段的长；
实践探究：先将正方形对折，使与重合，展开铺平得到折痕，再沿折叠．
如图，当点落在上时，设与的交点为点，连接试判断四边形的形状，并说明理由；
当点落在上时，请在图中补全图形，并直接写出线段的长；
在点的运动过程中，的周长的最小值为______ ．

23.  本小题分
综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，连接，点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点．
求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
在点运动的过程中，若，求点的坐标；
在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
计算的结果是．
故选：．
根据有理数乘法法则，求出计算的结果即可．
此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用分式的乘除运算法则以及平方差公式、合并同类项法则，分别判断得出答案．
此题主要考查了分式的乘除运算以及平方差公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看，一共有两列，从左往右小正方形的个数分别为、．
故选：．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
本题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
 

5.【答案】 

【解析】解：将数据按照从小到大的顺序排列，
，，，，，，，
这组数据的中位数是．
故选：．
将数据按照从小到大的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：纳米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据图形间数量关系求解二次根式化简是运用了数形结合思想，
故选：．
根据利用图形化简二次根式的方法求解此题．
此题考查了运用数学思想进行二次根式化简的辨别能力，关键是能准确理解并运用该思想方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：为的切线，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据切线的性质得到，再根据三角形外角性质计算出，然后利用圆周角定理得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为，
所求解析式为：．
故选：．
利用原抛物线上的关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于轴对称的坐标特点．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设的中点为，的中点为，的中点为，
由三角形的中位线可知，
是等边三角形，

阴影部分的面积扇形的面积的面积

．
故选：．
根据阴影部分的面积扇形的面积的面积计算即可．
本题考查扇形的面积的计算，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解


，
故答案为：．
利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
又，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
先由矩形的性质得出及，从而得出，再推出，最后利用含角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了矩形的性质和特殊直角三角形的性质，综合运用图形的性质解题是关键．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲成绩的平均数为，乙成绩的平均数为，
所以甲成绩的方差为，
乙成绩的方差为，
，
在前发的射击中发挥较稳定的运动员是甲，
故答案为：甲．
先计算出甲、乙成绩的方差，再根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，连接，
，
∽，
，，
，
，，
，
，
取正值，
故答案为：．
根据相似三角形的性质得出，，进一步求得，然后利用反比例函数系数的几何意义可求出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点，分别作，的平行线交于点，则四边形为矩形，

过点作交于点，过点作交的延长线于点，
过点作的平行线分别交，的延长线于点，，
则四边形为矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
又，
≌，
，，
为的中点，，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
故答案为：．
过点，分别作，的平行线交于点，则四边形为矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作的平行线分别交，的延长线于点，，则四边形为矩形，证明≌，得出，，证明∽，可求出的长．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
原式

，
当时，原式． 

【解析】分别根据绝对值的性质、数的乘方及开方法则、负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及实数的混合运算，负整数指数幂的运算，熟知以上知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图：即为所求；

．
证明：是等边三角形，
，
的平分线，
平分，
，
是边上的中线，
，
，
，
≌，
． 

【解析】根据作角平分线的基本作法作图；
先根据等腰三角形的三线合一得出平分，再根据进行证明．
本题考查了基本作图，掌握三角形全等的判断和性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：设种规格的袋装牛肉每袋的进价为元，则种规格的袋装牛肉每袋的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：种规格的袋装牛肉每袋的进价为元，种规格的袋装牛肉每袋的进价为元；
设该网店购进种规格的牛肉袋，则购进种规格的牛肉袋，
由题意得：，
解得：，
设获利为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
此时，，
答：该网店购进种规格的牛肉袋，购进种规格的牛肉袋获利最大． 

【解析】设种规格的袋装牛肉每袋的进价为元，则种规格的袋装牛肉每袋的进价为元，根据用元购进的规格的牛肉数量是用元购进的规格的牛肉数量的倍．列出分式方程，解方程即可；
设该网店购进种规格的牛肉袋，则购进种规格的牛肉袋，根据购进规格牛肉的数量应不少于规格牛肉数量的倍．列出一元一次不等式，解得，再设获利为元，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
 

19.【答案】     

【解析】解：本次抽取的学生人数为人，
则等级人数为人，等级人数为人，
成绩的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据落在等级，
所以他们成绩的中位数落在等级，
故答案为：、；
补全直方图如下：

扇形统计图中等级所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
人，
答：估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
由等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出等级人数，依据中位数的定义可得答案；
根据中所求结果即可补全图形，用乘以等级人数所占比例即可得出答案；
用总人数乘以样本中等级人数所占比例即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】      、 

【解析】解：第个三角形数为：，第个正方形数为，
故答案为：，；
第个正方形数是，
故答案为：；
；；
，既是三角形数又是正方形数，
故答案为：、；
证明：，
即：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
根据图形计算求解；
根据图形计算求解；
根据三角形数和正方形数判断；
根据三角形数和正方形数进行列式并证明．
本题考查了图形的变化类，找到图形的变化规律是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得，，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
答：佛像的高度为． 

【解析】根据题意得，，，，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，准确计算是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是正方形，
，，
由折叠得到，
，，
，，
在和中，

≌，
，
设，则，
正方形的边长为，点是的中点，
，
，
在中，
，
，
解得，
线段的长为；
四边形是菱形．
理由如下：
连接，

、关于轴对称，
垂直平分，
，，
又是的垂直平分线，
，
是等边三角形，
，
又，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
四边形是菱形．
补全图形如下．

连接，同的方法，知，
在中，
，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得，
故线段的长为；
的周长，
，
只要求出的最小值即可解决问题，
在点的运动过程中，点与点的距离，不变，
点在以为圆心，长为半径的圆周上运动，

对角线交此圆周于点，此时最小，
最小的，
的周长的最小值为，
故答案为：．
连接，证明，用的长表示出，，再在中利用勾股定理列方程求解即可求出；
利用线段垂直平分线性质，翻折性质，等腰三角形的判定即可得到四边形四条边的关系，从而判断出四边形的形状；
根据题意补全图形，先求出的长，连接，证明，用的长表示出，，再在中利用勾股定理列方程求解即可求出；
的周长，因为，所以只要求出的最小值即可解决问题，而点在以为圆心，长为半径的圆周上运动，因此最小时，点是与圆周的交点，由此可求出的最小值，从而求出的周长的最小值．
本题是一道四边形的综合题，考查正方形的性质，翻折性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，一元一次方程的解法，乘法公式等，能灵活运用相关图形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：令，得，
解得：，，
，，
令，得：，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的函数表达式为；
如图，过点作轴交直线于，过点作轴交直线于，

，直线的函数表达式为，
，
设，且，则，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
点的坐标为；
存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，
设，
，，
，
，
，
当时，，
解得，舍去，
点坐标为；
当时，，
解得，舍去，
点坐标为；
当时，，
解得舍去，
综上所述，存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，点坐标为或． 

【解析】分别令、，可求得，，三点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
过点作轴交直线于，过点作轴交直线于，则，设，且，则，得，由，可得∽，进而得出，可得关于的方程，解方程即可求得答案；
可设，利用勾股定理表示出，，，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后分别解方程求出即可得到对应的点坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质等知识点，运用分类讨论思想和方程思想是解题的关键．