2022-2023学年河北省“五个一”名校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省“五个一”名校联盟高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设集合，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，则与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知双曲线与双曲线，则两双曲线的(    )

A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等

4.  已知，且，则下列各式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一条长椅上有个座位，个人坐要求个空位中恰有个空位相邻，则坐法的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某学校有男生人，女生人为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为的样本经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为分钟，方差为；女生每天运动时间的平均值为分钟，方差为结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  过直线上一点向圆：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设是定义在上的奇函数，且满足，数列满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若，，则下列说法正确的是(    )

A. 若事件、相互独立，则事件、也互斥
B. 若事件、相互独立，则事件、不互斥
C. 若事件、互斥，则事件、也相互独立
D. 若事件、互斥，则事件、不相互独立

10.  函数由关系式确定，则下列说法正确的是(    )

A. 函数的零点为
B. 函数的定义域和值域均为
C. 函数的图像是轴对称图形
D. 若，则在定义域内满足恒成立

11.  某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字或是作为代码，且每次只发送一个数字由于随机因素的干扰，发出的信号或有可能被错误地接收为或已知发送信号时，接收成或的概率分别为和；发送信号时，接收成或的概率分别为和假设发送信号或的概率是等可能的，则(    )

A. 已知两次发送的信号均为，则接收到的信号均为的概率为
B. 在单次发送信号中，接收到的概率为
C. 在单次发送信号中，能正确接收的概率为
D. 在发送三次信号后，恰有两次接收到的概率为

12.  已知为等腰直角三角形，为斜边且长度是为等边三角形，若二面角为直二面角，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 半径为的球可以被整体放入以三棱锥为模型做的容器中

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  方程在复数集中的解为______ ．

14.  ______ ．

15.  已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 ______ ．

16.  如图所示，斜率为的直线交椭圆于、两点，交轴、轴分别于、两点，且，则椭圆的离心率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列的前项和为，数列满足，．
证明：数列是等差数列；
是否存在常数、，使得对一切正整数都有成立？若存在，求出、的值；若不存在，说明理由．

18.  本小题分
记的内角、、的对边分别为、、，且．
求角的大小；
设边上的高，求面积的最小值．

19.  本小题分
如图，圆锥的高为，是底面圆的直径，，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．
证明：平面平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．

20.  本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为解不等式．

21.  本小题分
已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作直线交曲线于点、，点为直线：上一动点问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取名学生作为样本，研究其竞赛成绩经统计分析该市高中生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，并已求得和．
若该市有万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间的人数；
若规定成绩在以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过如果抽取次数的期望值不超过，求的最大值．
附：，，，，，若，则，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为集合，
又，
所以．
故选：．
先利用函数定义域和值域的解法求出集合，，然后由集合的关系进行判断即可．
本题考查了集合之间关系的判断，涉及了函数定义域和值域的解法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
对两边平方可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值．
本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由双曲线，得，
由双曲线，得，
两双曲线的焦距相等．
故选：．
由两双曲线方程分别求其焦距得结论．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，，其定义域为，
有，则为偶函数，
设，则有，
当时，在区间上，，为增函数，且，
在上也是增函数，
故在上为增函数，
当时，在区间上，，为减函数，且，
在上是减函数，
故在上为增函数，
综合可得：函数在上为增函数，
依次分析选项：
对于，有，A正确；
对于，有，B错误；
对于，有，C错误；
对于，，D错误．
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性和单调性，由此分析选项，即可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
先让人全排列，坐在个位置上，有种排法，
将个空位看成个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，
再将个元素插入个人形成的个“空当”之间，有种插法，
故所求的坐法数为种．
故选：．
根据题意，分步进行分析：可先让人全排列坐在个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入个人形成的个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，按分层抽样方式抽取样本，且该校女、男学生比例为，
不妨设抽取女、男学生分别为，，则总数为，
则所有样本平均值为，
所以方差为．
故选：．
根据男、女学生比例，不妨设女、男学生分别为，，则总数为，求得所有样本的平均值，代入方差公式，即可得答案．
本题考查了求加权平均数与方差和标准差的问题，记住平均数与方差、标准差的公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由圆：，可得圆心为，半径为，
设是直线的动点，自向圆作切线，
当长最短时，两切线所成的角最大，
即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，
由点到直线的距离公式可得，
，，，
．
故选：．
设是直线的动点，由题意可得是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，计算可得．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，数列满足，且，
变形可得，
则有
，
则，故；
又由是定义在上的奇函数，则，
又由满足，则有，得，
则有，是周期为的周期函数，
则有．
故选：．
由已知数列递推式结合累加法求得数列的通项公式，可得，再由已知求得函数的周期，进一步可得的值．
本题考查函数与数列的综合应用，涉及函数奇偶性和周期的性质和应用以及数列的递推公式，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：若事件、相互独立，则有，若事件、互斥，则有，
所以事件、相互独立，事件、一定不互斥，A错误，B正确；
若事件、互斥，即不可能同时发生，相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生，所以事件、一定不独立，C错误，D正确．
故选：．
根据相互独立事件和互斥事件的联系与区别，即可判断正误．
本题考查相互独立事件和互斥事件的概念，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数由关系式确定，
，作出的图象如图所示：

由图可知，函数的零点为，故A正确；
函数的定义域和值域均为，故B错误；
函数的图像是轴对称图形，对称轴方程为，故C正确；
若，由图可知，在定义域内满足恒成立，故D正确．
故选：．
由题意写出分段函数解析式，画出图象，结合图象依次分析四个选项得答案．
本题考查曲线与方程，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：已知两次发送的信号均为，则接收到的信号均为的概率为，A错误；
B.在单次发送信号中，接收到的概率为，B正确；
C.在单次发送信号中，能正确接收的概率为，C正确；
D.在发送三次信号后，恰有两次接收到的概率为，D正确．
故选：．
根据相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，，
为等腰直角三角形，为等边三角形，
，，，平面，
平面，，故A正确；

为二面角的平面角，
二面角为直二面角，，
平面，
，故B错误；
又是三角形的外心，
故三棱锥的外接球的球心在上，
设外接球的半径为，则，
即，解得，
三棱锥外接球的表面积为，故C正确；
设三棱锥的内切球半径为，
易得，
则，
，
半径为的球可以被整体放入以三棱锥为模型做的容器中，故D正确．
故选：．
利用空间几何体的性质，结合每个选项的条件逐项分析计算可得结论．
本题考查空间几何体的体积的计算，外接球的半径的求法，内切球半径的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，即，
故，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】或 

【解析】解：因为的图象关于点对称，
所以，，
所以，
因为函数在区间上是单调函数，
所以，即，
所以，
当时，，时，，符合题意．
故答案为：或．
由已知结合余弦函数的对称性及单调性可求．
本题主要考查了余弦函数的对称性及单调性的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题知，直线的方程为：，
，，
设，，
联立方程，
消得：，
，
，，，
，，
由得：，化简得：，
，，
．
故答案为：．
由题意写出直线的方程，联立消元得，求出，的坐标，再由得到，由可得，，再由椭圆的离心率公式即可求得．
本题考查直线与椭圆得位置关系及椭圆的离心率，属于中档题．
 

17.【答案】证明：由，
得时，，
当时，，
．
适合上式，
数列的通项公式为．
，．
是等差数列；
解：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
要使对一切正整数都有成立，
即．
，解得，．
故存在常数、，使得对一切正整数都有成立． 

【解析】由，利用求出数列通项公式，即可证明是等差数列；
由，得数列是以为公比的等比数列，求其通项公式，再由，利用系数相等求得与值得答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合运用，考查运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
在三角形中，，且，
所以，而，
可得；
因为，由可得：，
所以，由余弦定理可得，
即，可得，
所以，
所以面积的最小值为． 

【解析】由题意及正弦定理可得的值，再由角的取值范围，可得角的大小；
由题意和可得，再由余弦定理可得的最小值，进而求出该三角形的面积．
本题考查正弦定理，余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：由已知可得，且，所以四边形为平行四边形，

又因为，所以平行四边形为菱形，所以，
在圆锥中，因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
取中点，易知平面，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
 因为，所以，
所以，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
易知平面即平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为． 

【解析】由已知可得四边形为平行四边形，进而可证，，可证平面，可证结论；
取中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面的夹角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
若，即时，恒成立，单调递增；
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为，
由知，需满足且，
而，
要解不等式，
等价于解不等式，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
又，
所以，
即不等式的解集为． 

【解析】由题意，对函数进行求导，对，，和这四种情况进行讨论，结合导数的几何意义即可得到函数的单调性；
结合中所得，可知当且时满足条件，得到的表达式，将问题转化成解不等式，构造函数，对进行求导，利用导数的几何意义得到的单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
 

21.【答案】解：不妨设，
因为为的中点，，
所以，
又为抛物线上一点，
所以，
整理得，
故曲线的方程为；
假设存在点使为正三角形，
设点，
当过点的直线与轴垂直时，
即斜率不存在时，
可得，，，
此时，
即，
解得，
可得，
则不是正三角形，舍去；
当斜率存在时，不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
不妨设的中点为，
此时，，
所以
，
因为为正三角形，
所以，
即，
解得，
所以直线的方程为，
令，
解得，
故存在点使为正三角形． 

【解析】由题意，设出点的坐标，将点的坐标表示出来，代入抛物线方程中，即可求出曲线的方程；
假设存在点使为正三角形，设点，对直线斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，将该方程与曲线联立，结合正三角形的性质以及韦达定理进行求解即可．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
 

22.【答案】解：由题意，，，，
则，
这些高中生中竞赛成绩位于区间的人数为．
，即任取一人优秀的概率为，
设抽取次数为，则的分布列如下：

，
，
整理得，，单调递增，
时，，时，，
所以的最大值为． 

【解析】根据正态分布求得竞赛成绩位于区间的概率，进而求得竞赛成绩位于区间的人数；
求得的数学期望，根据题意，解不等式即可．
本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查正态分布，是中档题．