2023年江苏省苏州市张家港市重点中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市张家港市重点中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列关于的方程中一定有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  世界上最小的开花结果植物质量克，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，如图，黄金矩形中，宽，将黄金矩形沿折叠，使得点落在点处，点落在点处，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在菱形中，，，分别交、于点、，若，连接以下结论：；点到的距离是；：：；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：          

10.  底面周长为，母线长为的圆锥的侧面积为______．

11.  二次函数的顶点坐标是______ ．

12.  转动如图所示被等分为份的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为______．

13.  如图，内接于，为弧的中点，若，则______

14.  如图，中，，，，射线与边交于点，、分别为、中点，设点、到射线的距离分别为、，则的最大值为______．

15.  如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为，则的长等于______ ．

16.  如图，在中，，，，为边上一动点不与点重合，以为边长作正方形，连接，则的面积的最大值等于______．

三、计算题（本大题共2小题，共8.0分）

17.  计算：．

18.  解方程：．

四、解答题（本大题共9小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．

20.  本小题分
如图，中，、分别为边、中点，连接并延长至点，使得，连接．
求证：≌；
若，，求四边形的周长．

21.  本小题分
新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行种方式中限选项，根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．
上学方式统计表

本次学校共调查了______名学生，______，______；
求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；
甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有、、三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．

22.  本小题分
如图，抛物线与直线相交于点和，抛物线还经过．
求：抛物线和直线的解析式；
若，则的取值范围是______ ．

23.  本小题分
如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为已知为米，且、、三点在同一条直线上．
求平房的高度；
请求出古树的高度根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计

24.  本小题分
如图，中，顶点、在反比例函数的图象上，顶点
在轴的正半轴上，．
若，求的值；
若，，，求点的坐标．

25.  本小题分
某工厂用天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第天的生产成本元件与天之间的关系如图所示，第天该产品的生产量件与天满足关系式．

 

第天，该厂生产该产品的利润是_____元；

设第天该厂生产该产品的利润为元．

求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

在生产该产品的过程中，当天利润不低于元的共有多少天？

26.  本小题分
如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点，分别位于直径异侧，连接，，，．
求证：；
过点作，垂足为点，若，求的值．

27.  本小题分
【性质探究】
如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点作于点，分别交，于点，．
的形状是______若，求的长用含的代数式表示．
【迁移应用】
记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【拓展延伸】
若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连结，当的面积为矩形面积的时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数的定义知，的相反数是．
故选：．
本题考查了相反数利用相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，故本选项错误；
B、，原式计算错误，故本选项错误；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，计算正确，故本选项正确；
故选D．
根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，所以没有实数解，故本选项错误；
B、，所以有实数解，故本选项正确；
C、，原方程没有实数解；故本选项错误；
D、，原方程有实数解，故本选项正确．
故选B．
根据根的判别式的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，解得，将该组数据按从小到大的顺序排列，，，，，中间的一个数是，这组数据的中位数为，
故选A．
先由平均数是，求出，再确定这一组数据的中位数．
注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

7.【答案】 

【解析】解：黄金矩形中，宽，
，即，
设，则，
，
中，，
即，
解得，
，
又，
的面积，
故选：．
依据黄金矩形中，宽，可得的长，设，则，再根据勾股定理即可得到的长，进而得出的面积．
本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，正确；
作交的延长线于，
，，
，
，正确；
，，
，
，
，
，
：：，正确；
作于，
则，，
，错误，
故选：．
证明≌，根据全等三角形的性质判断，作交的延长线于，解直角三角形求出，判断，根据三角形的面积公式、相似三角形的性质判断，作于，根据正切的概念计算，判断．
本题考查的是菱形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：侧面积是：．
故答案是：．
根据扇形的面积公式即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，理解圆锥的侧面积等于侧面展开图的扇形的面积是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
二次函数的顶点坐标为．
故答案为．
先把进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点式，其顶点坐标为
 

12.【答案】 

【解析】解：转动如图所示的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为，
故答案为：．
用阴影部分的扇形个数除以这样的扇形总个数即可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理得，，
为弧的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
、分别为、中点，
，
由垂线段最短可求时，有最大值．
故答案为：．
根据勾股定理可求，再根据垂线段最短可求时，有最大值．
考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
故答案为：．
利用，可知∽，可得，再利用勾股定理可以求出的长，最后利用比例求出的长．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用勾股定理求出的长和利用相似三角形的性质得出线段的比．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作交的延长线于，过点作于．

在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，设，则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
≌，
，
，
，
当时，的面积的最大，最大值为．
故答案为．
如图，过点作于，过点作交的延长线于，过点作于解直角三角形求出的长，设，则，再利用全等三角形的性质证明，利用三角形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查正方形的性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
此题主要考查了学生对零指数、负指数以及二次根式的化简与特殊的三角函数值掌握情况．
 

18.【答案】解：去分母得：，即，
分解因式得：，
可得，或，
解得：或，
经检验都是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

19.【答案】解：原式


．
是方程的根，
，
原式． 

【解析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据是方程的根来计算，得到的结果代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：点是的中点，
，
又，，
≌，
、分别为边、中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，点是中点，
，
四边形的周长． 

【解析】由“”可证≌；
由三角形中位线定理可得，，可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：本次学校共调查了名学生，名，；
故答案为：，，；
扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角为；
画树状图如图所示，

共有种等可能的结果，甲、乙两位同学坐同一路公交车的有种情况，
甲、乙两位同学坐同一路公交车的概率为．
依据乘公交车的人数以及百分比，即可得到本次调查共抽取的人数，根据本次调查共抽取的人数乘以骑车的百分比即可得到结论；
依据“步行”的百分比乘以，即可得到结论；
根据题意画树状图即可得到结论．
本题考查的是统计表与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】或 

【解析】解：由题意设抛物线的解析式为：，
抛物线的图象过，
，
，
抛物线的解析式为；
过点和，
，
解得，
；
由图象得：当或时，，
故答案为：或．
先设抛物线的交点式，再列方程求解；
先求出的坐标，再根据图象求解．
本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
 

23.【答案】解：在中，，，
，

在中，易知，
又，
为直角三角形，且，
在中，，
在中，，
 

【解析】此题考查了解直角三角形及俯角仰角的定义，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形．
在中，解直角三角形即可；
首先求出，在中，求出，再在中，求出即可；
 

24.【答案】解：过点作于，

，，
，
，，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
；
如图，过点作于，过点作于，

，，
，
设，，点，
，，
，
，，
点，
，，
，
，，
点，
点、在反比例函数的图象上，
，，
，，
点． 

【解析】过点作于，由直角三角形的性质可求，，可得点坐标，代入解析式可求解；
过点作于，过点作于，设，，点，利用参数，表示点，点坐标，代入解析式可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，直角三角形的性质，利用参数表示点，点坐标是本题的关键．
 

25.【答案】   
解设直线的解析式为，把，代入得
，解得
直线的解析式为
Ⅰ当时



当时，
Ⅱ当时，
，
随的增大而减小，
当时，，

第天的利润最大，最大利润为元．
Ⅰ当时，令元，
解得，．
抛物线开口向下，
由其图象可知，当时，
此时，当天利润不低于元的天数为：天
Ⅱ当时，
由可知当天利润均低于元，
综上所述，当天利润不低于元的共有天． 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
由图象可知，第天时的成本为元，此时的产量为，则可求得第天的利润．
利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】
解：由图象可知，第天时的成本为元，此时的产量为，
则第天的利润为：元，
故答案为．
见答案．  

26.【答案】证明：是的切线，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
；
解：，
，
，是的直径，
，
∽，
，
，，
设的半径为，，则，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】由切线的性质可得，由圆周角定理可得，可证，可得；
通过证明∽，可得，，设的半径为，，则，由面积关系可得，可求，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用参数表示线段的长度是本题的关键．
 

27.【答案】等腰三角形 

【解析】解：是等腰三角形，
如下图，过点作交于，则，

平分，
，
，
，
，
≌，
，
即是等腰三角形，
，
，
，
，
，
∽，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故答案为：等腰三角形；
如下图，过点作于，

则，
，
∽，
，
，，
又，，
，
设，，则，
；
设，，
如下图，连接，当点在线段上时，点在上，

，，
，，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
由题意知，，
，
即，
解得，
，
，，
；
如下图，当点在的延长线上时，点在线段上，连接，

，，
，，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
由题意知，，
，
即，
解得，
，
，，
；
综上所述，的值为或．
过点作交于，则，根据证≌，得出即可得出的形状，证∽，根据线段比例关系及矩形的性质得出的长度即可；
过点作于，证∽，根据线段比例关系及面积的比值得出结论即可；
设，，连接，分点再上和延长线上两种情况，分类讨论求值即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．