四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（文）试题

达州市2023年普通高中二年级春季期末监测

数学试题（文科）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出集合，再求两集合的交集.

【详解】由，得，

所以，

因为，

所以，

故选：A

2. 复数，则的虚部是（    ）

A. bi B.  C. 0 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解作答.

【详解】复数，则，因此，

所以的虚部是0.

故选：C

3. 某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：

根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（    ）

A. 165 B. 167 C. 170 D. 173

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的频率分布表，求出各分组区间的中间值与对应频率积的和作答.

【详解】由数表知，身高在区间内的频率依次为：，

则，

所以该地区高三学生的平均身高约为.

故选：B

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果.

【详解】因为，

所以

，

故选：A

5. 是定义域为R的奇函数，，，则（    ）

A. 3 B.  C. 6 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用函数的周期性及奇偶性求解作答.

【详解】由知，函数是以4为周期的周期函数，又是奇函数，，

所以.

故选：B

6. 已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由离心率为2，利用双曲线的性质可得，由此可得渐近线的方程．

【详解】由得双曲线的渐近线方程为．

∵双曲线的离心率为2，

∴，解得，

∴双曲线的渐近线方程为 ．

故选：A．

7. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数与正弦函数的性质求出，，的范围，即可求解.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：D.

8. 已知1，，，成等差数列（，，都是正数），若其中的3项按一定的顺序成等比数列，则这样的等比数列个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】设出等差数列的公差，再对每个3项按照不同顺序构造等比数列进行判断即可.

【详解】设这个等差数列的公差为，则此数列为，而数列各项都为正，则，

若是的等比中项，则，解得，等比数列为；

若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；

若1是的等比中项，则，解得或，等比数列为；

若是的等比中项，则，解得或，等比数列为或或；

若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；

若1是的等比中项，则，解得或，等比数列为；

若是的等比中项，则，解得或，等比数列为或或；

若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；

若1是的等比中项，则，解得或，等比数列为；

若是的等比中项，则，解得，等比数列为；

若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；

若是的等比中项，则，解得或，等比数列为，

所以这样的等比数列为或或或或，共5个.

故选：C

9. 已知棱长为正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答.

【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，于是，

即有，向量是平面的一个法向量，

，则，而，

于是，因为平面，则，

即，化简得，即，

因此，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

故选：C

10. 如图，函数的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线的另一交点为A．若，的重心为，则（    ）

A. 函数在上单调递减

B. 直线是函数图象的一条对称轴

C.

D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的图象

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数图象求出函数解析式，由正弦函数的性质判断AB；求出点的坐标，利用夹角公式求出判断C；由三角函数的图象变换判断D作答.

【详解】依题意，重心为，则点是线段的中点，且，

函数的周期，即，解得，即，

由，得，而，则，因此，

对于A：当时，，而函数在上单调递增，

因此函数在上单调递增，A错误；

对于B：，因此直线不是函数图象的对称轴，B错误；

对于C：由，得，而点是线段的中点，

于是点，而点，则，，

，，，

因此，C正确；

对于D：将的图象向左平移个单位长度得到

的图象，D错误.

故选：C

11. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆关系即可求解.

【详解】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为

圆：，圆心

由于在圆，圆心，

故两圆有公共点即可，

故两圆的圆心距为，故.

故选：D

12. 设是正项数列的前n项和，，则（    ）

A. 如果，那么 B.

C. 如果，那么 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据即可排除BC,根据，即可排除A,由排除法进而可判断D.

【详解】由，当时，由于，所以，此时，故排除C，

当时，显然不满足,故排除B,

对于A,由于，当时，,

所以，

由于,,所以,故,故排除A，

因为，故，故，

故，故D成立.

故选：D

【点睛】递推关系式转化的常见形式

（1）转化为常数，则数列是等差数列．

（2）转化为常数，则数列是等差数列．

（3）转化为常数，则数列是等差数列．

（4）转化为常数，则数列是等差数列．

（5）转化为常数，则数列是等差数列．

（6）转化为常数，则数列是等差数列．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 平面向量，满足，，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标表示计算作答.

【详解】因为，，则，

所以.

故答案为：1

14. 如果x，y满足，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，

令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最小，最小，

即，所以的最小值为.

故答案为：

15. 某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm．

【答案】

【解析】

【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高的最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解.

【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，

则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，

则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，

如图正四面体，设点在面内的射影为，即面，

则球心上，，

所以，

设外接圆的半径为，，所以，

在中，，即，

解得，

所以该圆柱形容器内壁高的最小值为.

故答案为：

16. 已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】要恒成立即求的最小值，因为曲线与曲线互为反函数，关于直线对称，故的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，利用导数的几何意义求出即可.

【详解】要恒成立即求的最小值，

因为曲线与曲线互为反函数，

所以图像关于直线对称，

又是曲线上的点，是曲线上的点，

所以的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，

由，

设与直线的平行且在上的切点为：，

则，即，

所以曲线上切点为，

所以到直线的距离的最小值即为点到直线的距离的最小值，

即，

所以，所以，

即实数a的取值范围是：.

故答案为：

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

（1）求和的值；

（2）若的面积为，求的值．

【答案】（1），；   

（2）13.

【解析】

【分析】（1）在中，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及和角的余弦公式求解作答.

（2）由（1）中信息，结合三角形的面积求出，再由正弦定理求解作答.

【小问1详解】

在中，，，则，

而，则，，

因此.

【小问2详解】

在中，由（1）知，而，则，

于是的面积，解得，

由正弦定理得，即，因此，

所以.

18. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.

（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

（2）若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，A，B两人选考的是历史、地理和政治，从这5人中随机选出2人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.

附参考数据和公式：

，其中.

【答案】（1）列联表见解析，可以   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；

（2）列举出从5人中抽取2人包含基本事件，再分析出选考物理和政治的各一人的基本事件，根据古典概型计算公式，计算即可.

【小问1详解】

根据题意，选考物理的考生有人，

选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：

因为，

所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.

【小问2详解】

从5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B、AB，

共10个，其中选考物理和政治的各一人的基本事件有、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B，共6个，

所以所求概率.

19. 已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．

（1）证明：；

（2）若，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，证明与可得，平面，利用线面垂直的性质可得结论；

（2）求出，结合E为PB中点，可得，利用可得答案.

【小问1详解】

连接，

因为底面ABCD是边长为2的菱形，

所以，且是的中点，

因为，所以，

又因为平面，

所以平面，因为平面，

所以

  【小问2详解】

因为，所以，

又因为，所以，即，

因为平面ABCD，所以平面ABCD，

因为底面ABCD是边长为2的菱形，且，，

所以，

因为E为PB中点，所以，

所以

20. 已知是抛物线上的点．当时，．

（1）求E的标准方程；

（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．

【答案】（1）；   

（2）4.

【解析】

【分析】（1）将点代入抛物线方程求解作答.

（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义结合韦达定理求出点B的横坐标作答.

【小问1详解】

依题意，抛物线过点，则，解得，

所以E的标准方程为.

【小问2详解】

由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，

显然直线不垂直于轴且斜率不为0，

设直线的方程为：，点，

由消去并整理得：，则，，

而，解得，于是，，

所以.

21. 已知函数．

（1）若，函数的极大值为，求a的值；

（2）若在上恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先对函数求导，然后分，和三种情况求函数的极大值，使其极大值等于，从而可求出a的值；

（2）问题转化为在上恒成立，当时，上式恒成立，当时，构造函数，然后利用求出其最小值大于等于零，从而可求出a的取值范围．

【小问1详解】

由，得

，

①当时，，

当时，，当时，，

所以当时，取得极大值，不合题意，

②当时，令，则

当时，，当时，，

所以当时，取得极大值，

解得，

③当时，令，则或，

当时，，则在上递增，所以无极值，所以不合题意，

当时，，

当或时，，当时，，

所以在和上递增，在上递减，

所以当时，取得极大值，

解得（舍去），

综上，

【小问2详解】

由在上恒成立，得在上恒成立，

当时，上式恒成立，

当时，令，

则，

①当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时取得极小值，也是最小值，

所以，解得，

②当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以，解得，

综上，，

即a的取值范围为

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题和不等式恒成立问题，解题的关键是对函数求导后，合理分类判断导数的正负，考查数学分类思想和计算能力，属于较难题.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．

【答案】（1）（为参数），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出直线l的参数方程，再用极坐标与直角坐标互化公式求出曲线C的极坐标方程.

（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解作答.

【小问1详解】

因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），

把代入方程得：，

所以曲线C的极坐标方程是.

【小问2详解】

由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：

，设点所对参数分别为，则，

因此

，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

［选修4-5：不等式选讲］

23. 已知函数，函数的最小值为k．

（1）求k的值；

（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．

【答案】（1）3；    （2）.

【解析】

【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解作答.

（2）由（1）的结论，利用柯西不等式求解作答.

【小问1详解】

依题意，，当且仅当，即时取等号，

所以k的值为3.

【小问2详解】

由（1）知，，而均为正数，

所以，当且仅当时取等号，

由解得，

所以当时，取得最小值.