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    四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学(文)试题
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    四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学(文)试题

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    达州市2023年普通高中二年级春季期末监测

    数学试题(文科)

    注意事项:

    1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷无效.

    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知集合,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】先求出集合,再求两集合的交集.

    【详解】,得

    所以

    因为

    所以

    故选:A

    2. 复数,则的虚部是(   

    A. bi B.  C. 0 D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据给定条件,利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解作答.

    【详解】复数,则,因此

    所以的虚部是0.

    故选:C

    3. 某地区高三学生参加体检,现随机抽取了部分学生的身高,得到下列频数分布表:

    身高范围(单位:cm

    学生人数

    5

    40

    40

    10

    5

    根据表格,估计该地区高三学生的平均身高是(   

    A. 165 B. 167 C. 170 D. 173

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据给定的频率分布表,求出各分组区间的中间值与对应频率积的和作答.

    【详解】由数表知,身高在区间内的频率依次为:

    所以该地区高三学生的平均身高约为.

    故选:B

    4. 已知,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果.

    【详解】因为

    所以

    故选:A

    5. 是定义域为R的奇函数,,则   

    A. 3 B.  C. 6 D. 0

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据给定条件,利用函数的周期性及奇偶性求解作答.

    【详解】知,函数是以4为周期的周期函数,又是奇函数,

    所以.

    故选:B

    6. 已知双曲线的离心率为2,则它的渐近线方程为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】由离心率为2,利用双曲线的性质可得,由此可得渐近线的方程.

    【详解】得双曲线的渐近线方程为

    ∵双曲线的离心率为2

    ,解得

    ∴双曲线的渐近线方程为

    故选:A

    7. ,则(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用指数函数、对数函数与正弦函数的性质求出的范围,即可求解.

    【详解】因为

    所以.

    故选:D.

    8. 已知1成等差数列(都是正数),若其中的3项按一定的顺序成等比数列,则这样的等比数列个数为(   

    A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

    【答案】C

    【解析】

    【分析】设出等差数列的公差,再对每个3项按照不同顺序构造等比数列进行判断即可.

    【详解】设这个等差数列的公差为,则此数列为,而数列各项都为正,则

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    1的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    1的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    1的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    的等比中项,则,解得,等比数列为

    所以这样的等比数列为,共5.

    故选:C

    9. 已知棱长为正方体中,点P满足,其中.当平面时,的最小值为(   

    A. 1 B.  C.  D. 2

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据给定条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量结合线面平行求出的关系,再借助二次函数求出向量模的最小值作答.

    【详解】在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,

     

    ,于是

    即有,向量是平面的一个法向量,

    ,则,而

    于是,因为平面,则

    ,化简得,即

    因此,当且仅当时取等号,

    所以的最小值为.

    故选:C

    10. 如图,函数的图象交坐标轴于点BCD,直线BC与曲线的另一交点为A.若的重心为,则(   

     

    A. 函数上单调递减

    B. 直线是函数图象的一条对称轴

    C.

    D. 的图象向左平移个单位长度,得到的图象

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据三角函数图象求出函数解析式,由正弦函数的性质判断AB;求出点的坐标,利用夹角公式求出判断C;由三角函数的图象变换判断D作答.

    【详解】依题意,重心为,则点是线段的中点,且

    函数的周期,即,解得,即

    ,得,而,则,因此

    对于A:当时,,而函数上单调递增,

    因此函数上单调递增,A错误;

    对于B,因此直线不是函数图象的对称轴,B错误;

    对于C:由,得,而点是线段的中点,

    于是点,而点,则

    因此C正确;

    对于D:将的图象向左平移个单位长度得到

    的图象,D错误.

    故选:C

    11. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆:,这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆上总存在点P,使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线,则r的取值范围是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据蒙日圆的定义,将问题转化为两圆有公共点的问题,根据两圆关系即可求解.

    【详解】由题意可知:与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为

    ,圆心

    由于在圆,圆心

    故两圆有公共点即可,

    故两圆的圆心距为,故.

    故选:D

    12. 是正项数列的前n项和,,则(   

    A. 如果,那么 B.

    C. 如果,那么 D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据即可排除BC,根据,即可排除A,由排除法进而可判断D.

    【详解】,当时,由于,所以,此时,故排除C

    时,显然不满足,故排除B,

    对于A,由于,当时,,

    所以

    由于,,所以,,故排除A

    因为,故,故

    ,故D成立.

    故选:D

    【点睛】递推关系式转化的常见形式

    1)转化为常数,则数列是等差数列.

    2)转化为常数,则数列是等差数列.

    3)转化为常数,则数列是等差数列.

    4)转化为常数,则数列是等差数列.

    5)转化为常数,则数列是等差数列.

    6)转化为常数,则数列是等差数列.

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13. 平面向量满足,则______

    【答案】1

    【解析】

    【分析】根据给定条件,利用向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标表示计算作答.

    【详解】因为,则

    所以.

    故答案为:1

    14. 如果xy满足,则的最小值为______

    【答案】

    【解析】

    【分析】作出不等式组表示的平面区域,再利用目标函数的几何意义求解作答.

    【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影(含边界),其中

     

    ,即表示斜率为,纵截距为的平行直线系,

    画直线,平移直线到直线,当直线过点时,直线的纵截距最小,最小,

    ,所以的最小值为.

    故答案为:

    15. 某玩具厂计划设计一款玩具,准备将一个棱长为4 cm的正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)密封在一个圆柱形容器内,并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动,则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm

    【答案】

    【解析】

    【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时,圆柱形容器内壁高的最小,则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高,求出正四面体外接球的半径,即可得解.

    【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为的正四面体,并且正四面体在该圆柱内可以任意转动,

    则该正四面体内接于该圆柱的内切球时,圆柱形容器内壁高最小,

    则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高,

    如图正四面体,设点在面内的射影为,即

    则球心上,

    所以

    设外接圆的半径为,所以

    中,,即

    解得

    所以该圆柱形容器内壁高的最小值为.

     

    故答案为:

    16. 已知是曲线上的点,是曲线上的点,恒成立,则实数a的取值范围是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】恒成立即求的最小值,因为曲线与曲线互为反函数,关于直线对称,故的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍,利用导数的几何意义求出即可.

    【详解】恒成立即求的最小值,

    因为曲线与曲线互为反函数,

    所以图像关于直线对称,

    是曲线上的点,是曲线上的点,

    所以的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍,

    设与直线的平行且在上的切点为:

    ,即

    所以曲线上切点为

    所以到直线的距离的最小值即为点到直线的距离的最小值,

    所以,所以

    即实数a的取值范围是:.

    故答案为:

    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题,考生根据要求作答.

    (一)必考题:共60分.

    17. 中,角ABC的对边分别为abc

    1的值;

    2的面积为,求的值.

    【答案】1   

    213.

    【解析】

    【分析】1)在中,利用同角公式、二倍角的正余弦公式及和角的余弦公式求解作答.

    2)由(1)中信息,结合三角形的面积求出,再由正弦定理求解作答.

    【小问1详解】

    中,,则

    ,则

    因此.

    【小问2详解】

    中,由(1)知,而,则

    于是的面积,解得

    由正弦定理得,即,因此

    所以.

    18. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人,对其选科情况进行统计,选考物理的占,选考政治的占,物理和政治都选的有80人.

    1完成选考物理和政治的人数的列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下,认为考生选考物理与选考政治有关?

     

    选考政治的人数

    没选考政治的人数

    合计

    选考物理的人数

     

     

     

    没选考物理的人数

     

     

     

    合计

     

     

     

     

    2若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物,AB两人选考的是历史、地理和政治,从这5人中随机选出2人,求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.

    附参考数据和公式:

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ,其中.

    【答案】1列联表见解析,可以   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据题意完成列联表,再计算出比较即可得出判断;

    2)列举出从5人中抽取2人包含基本事件,再分析出选考物理和政治的各一人的基本事件,根据古典概型计算公式,计算即可.

    【小问1详解】

    根据题意,选考物理的考生有人,

    选考政治的考生有人,列联表补充完整如下:

     

    选考政治的人数

    没选考政治的人数

    合计

    选考物理的人数

    80

    40

    120

    没选考物理的人数

    70

    10

    80

    合计

    150

    50

    200

    因为

    所以在犯错误概率不超过的前提下,可以认为考生选考物理与选考政治有关.

    【小问2详解】

    5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙BAB

    10个,其中选考物理和政治的各一人的基本事件有、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B,共6个,

    所以所求概率.

    19. 已知四棱锥,底面ABCD是边长为2的菱形,且EPB中点.

     

    1证明:

    2,求三棱锥的体积.

    【答案】1证明见解析   

    2

    【解析】

    【分析】1)连接,证明可得,平面,利用线面垂直的性质可得结论;

    2)求出,结合EPB中点,可得,利用可得答案.

    【小问1详解】

    连接

    因为底面ABCD是边长为2的菱形,

    所以,且的中点,

    因为,所以

    又因为平面

    所以平面,因为平面

    所以

      【小问2详解】

    因为,所以

    又因为,所以,即

    因为平面ABCD,所以平面ABCD

    因为底面ABCD是边长为2的菱形,且

    所以

    因为EPB中点,所以

    所以

    20. 已知是抛物线上的点.当时,

    1E的标准方程;

    2FE的焦点,直线AFE的另一交点为B,求的值.

    【答案】1   

    24.

    【解析】

    【分析】1)将点代入抛物线方程求解作答.

    2)设出直线的方程,与抛物线方程联立,利用抛物线定义结合韦达定理求出点B的横坐标作答.

    【小问1详解】

    依题意,抛物线过点,则,解得

    所以E的标准方程为.

    【小问2详解】

    由(1)知,抛物线E的焦点,准线方程为

     

    显然直线不垂直于轴且斜率不为0

    设直线的方程为:,点

    消去并整理得:,则

    ,解得,于是

    所以.

    21. 已知函数

    1,函数的极大值为,求a的值;

    2上恒成立,求a的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)先对函数求导,然后分三种情况求函数的极大值,使其极大值等于,从而可求出a的值;

    (2)问题转化为上恒成立,当时,上式恒成立,当时,构造函数,然后利用求出其最小值大于等于零,从而可求出a的取值范围.

    【小问1详解】

    ,得

    ①当时,

    时,,当时,

    所以当时,取得极大值,不合题意,

    ②当时,令,则

    时,,当时,

    所以当时,取得极大值

    解得

    ③当时,令,则

    时,,则上递增,所以无极值,所以不合题意,

    时,

    时,,当时,

    所以上递增,在上递减,

    所以当时,取得极大值

    解得(舍去),

    综上

    【小问2详解】

    上恒成立,得上恒成立,

    时,上式恒成立,

    时,令

    ①当时,当时,,当时,

    所以上递减,在上递增,

    所以当时取得极小值,也是最小值

    所以,解得

    ②当时,当时,,当时,

    所以上递减,在上递增,

    所以

    所以,解得

    综上,

    a的取值范围为

    【点睛】关键点点睛:此题考查导数的综合应用,考查利用导数解决函数极值问题和不等式恒成立问题,解题的关键是对函数求导后,合理分类判断导数的正负,考查数学分类思想和计算能力,属于较难题.

    (二)选考题:共10分.请考生在第2223题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

    [选修4-4:坐标系与参数方程]

    22. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为,直线l过点且倾斜角为.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

    1写出直线l的参数方程(用P点坐标与表示)和曲线C的极坐标方程;

    2设直线l与曲线C交于AB两点,求的最小值.

    【答案】1为参数),   

    2.

    【解析】

    【分析】1)根据给定条件,求出直线l的参数方程,再用极坐标与直角坐标互化公式求出曲线C的极坐标方程.

    2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,利用参数的几何意义求解作答.

    【小问1详解】

    因为直线l过点且倾斜角为,则直线l的参数方程为为参数),

    代入方程得:

    所以曲线C的极坐标方程是.

    【小问2详解】

    由(1)知,把直线l的参数方程代入方程得:

    ,设点所对参数分别为,则

    因此

    ,当且仅当时取等号,

    所以的最小值为.

       

    [选修4-5:不等式选讲]

    23. 已知函数,函数的最小值为k

    1k的值;

    2已知abc均为正数,且,求的最小值.

    【答案】13    2.

    【解析】

    【分析】1)利用绝对值三角不等式求解作答.

    2)由(1)的结论,利用柯西不等式求解作答.

    【小问1详解】

    依题意,,当且仅当,即时取等号,

    所以k的值为3.

    【小问2详解】

    由(1)知,,而均为正数,

    所以,当且仅当时取等号,

    解得

    所以当时,取得最小值.

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