精品解析：河南省郑州市金水区实验中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

河南省实验中学2022-2023学年下期期末试卷

八年级数学

（时间：100分钟，满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

【详解】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．

2. 若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质逐一进行分析，即可得到答案．

【详解】解：A、，原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误；

B、，原不等式不成立，不符合题意，选项错误；

C、，所以，原不等式一定成立，符合题意，选项正确；

D、当时，，原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误；

故选C．

【点睛】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．

3. 下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据此定义即可解答．

【详解】解：A、从左到右的变形是整式的乘法，故本选项不符合题意；

B、不是多项式，故本选项不符合题意；

C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意；

D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．

4. 如图所示是一个六边形质保徽章，该六边形的内角和是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据多边形内角和公式进行解答即可．

【详解】解：这个六边形的内角和为：，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了多边形内角和，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式．

5. 如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（　　）

A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

B. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等

C. 角平分线的性质

D. 角平分线是轴对称图形

【答案】A

【解析】

【分析】根据角平分线的判定定理进行解答即可．

【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同，

∴点P到射线、的距离相等，

∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，

∴点P在的平分线上，

∴平分，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

6. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】可求，，表示直线的图象在直线的下方，即可求解．

【详解】解：在直线上，

，

解得：，

，

直线图象在直线的下方，

，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数关系，掌握二者之间的关系是解题的关键．

7. 市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务列出方程即可．

【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，

根据题意得，

故选：A．

【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意，找出对应的关系是解题的关键．

8. 下列说法正确的是（　　）

A. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线

B. 经过平移，对应点所连的线段平行且相等

C. 三角形的三条高线交于一点

D. 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

【答案】D

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质、平移的性质、三角形高的性质、三角形三条边的垂直平分线的性质分别进行判断即可．

【详解】解：A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的垂直平分线，故选项错误，不符合题意；

B．经过平移，对应点所连的线段平行或在同一条直线上且相等，故选项错误，不符合题意；

C．三角形的三条高所在的直线交于一点，故选项错误，不符合题意；

D．三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，故选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、平移的性质、三角形高的性质、三角形三条边的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．

9. 按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案.

【详解】解：∵，，，，……

∴第个代数式为：，

当是，第9个代数式为：，

故选B

【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键.

10. 现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案，对于方案I、Ⅱ，下列说法正确的是（    ）

A. I可行、Ⅱ不可行 B. I不可行、Ⅱ可行

C. I、Ⅱ都可行 D. I、Ⅱ都不可行

【答案】C

【解析】

【分析】方案Ⅰ，利用三角形的中位线定理，即可得出结论；方案Ⅱ，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得出结论．

【详解】解：方案Ⅰ：连接，

∵作边的垂直平分线，分别交于点E，F，G，H，

∴E，F，G，H分别为的中点，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形；

方案Ⅱ：由题意，得：，

∴四边形是平行四边形；

∴ 方案I、Ⅱ都可行，

故选C．

【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解______．

【答案】

【解析】

【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式分解原式即可．

【详解】解：

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．

12. 要使分式有意义，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件：分式的分母不为，即可．

【详解】解：当时，分式有意义，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分式的分母不为．

13. 若关于x的不等式组的解集为x<4，则m的取值范围是_______．

【答案】m≥4

【解析】

【分析】解第一个不等式得到x＜4，然后利用同小取小得到m≥4．

【详解】解：解不等式得：x<4，

又∵不等组的解集为x<4，

∴m≥4．

故答案为： m≥4．

【点睛】本题考查了根据不等式组解集的情况求参，熟练掌握确定不等式组解集的原则：①同大取较大，②同小取较小，③小大大小中间找，④大大小小无解了是解题的关键．

14. 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C向点B运动．两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止运动）．当运动时间为___________秒时，线段．

【答案】3

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可．

【详解】解：∵四边形为平行四边形，

∴，，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

设运动时间为x秒，则，，

∴，

解得：，

即当运动时间为3秒时，线段．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出．

15. 如图，在等边中，边的长为6，点为的中点，点在边上且的长为，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，，当时，的长为___________．

【答案】或##或

【解析】

【分析】由于是等边三角形，，点为的中点，可得在线段上或的延长线上，利用勾股定理即可求解．

【详解】解：是等边三角形，，点为的中点，

在线段上或的延长线上，

，

由旋转得：，

①在线段上，

，

，

；

②在的延长线上，

如图，

，

；

故答案：或．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质和分类讨论思想方法是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 解方程和不等式组

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；

（2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．

【小问1详解】

解：，

去分母得：，

移项，合并同类项得：，

未知数系数化为1得：，

检验：把代入得，

∴原方程的解为．

【小问2详解】

解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为．

【点睛】本题主要考查了解不等式组和分式方程，解题的关键是熟练掌握解不等式组和分式方程的一般步骤，准确计算，并注意分式方程最后要进行检验．

17. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．

解：原式=．．．．．．第一步

．．．．．．．．．．．．．．．．第二步

．．．．．．．．．．．．．．．第三步

．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；

②第___________步开始出现错误，这一步错误原因是___________；

任务二：请写出正确的解答过程．

【答案】任务一：①三，分式的基本性质②四，没有变号；任务二：

【解析】

【分析】先对对分子、分母进行因式分解，括号内进行通分，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式即可．

【详解】解：任务一：

①第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；

故答案为：三，分式的基本性质；

②第四步开始出现错误，这一步错误原因是：分子上的1前面没有变号；

故答案为：四，分子上的1前面没有变号；

任务二：

解：原式=

．

【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

18. 如图，在中，过点作，且，连接，．

（1）用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：过点作，垂足为点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）小明认为，在（1）所作的图形中，若，则点为的中点．

请将小明的证明过程补充完整：

，，

，（①___________，）（填推理依据的一个数学定理）

，

②___________，

，

，（③___________，）（填推理依据的一个数学定理）

在和中，

，

()，

，即点为的中点．

【答案】（1）见详解    （2）①三线合一，②，③两直线平行，内错角相等；④

【解析】

【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交两点，再以这两点为半径，大于这两点之间的距离为半径画弧交于一点，连接此点和点，即可求作；

（2）根据已知条件填空即可．

【小问1详解】

解：如图为所求作．

  【小问2详解】

解：如图，

证明：，，

，（①三线合一）

，

②，

，

，

（③两直线平行，内错角相等．）

在和中，

，

()，

，

即点为的中点．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，平行线的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质，掌握作法及性质是解题的关键．

19. 发现 ：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．

（1）验证：如，为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；

（2）探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

（3）延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，这个命题是       命题（填“真或假”）

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）真

【解析】

【分析】（1）根据题意即可列出式子；

（2）根据题意列式计算，即可证得；

（3）根据题意列式计算，即可判定．

【小问1详解】

解：验证：10的一半为5，

；

【小问2详解】

证明：

故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和；

【小问3详解】

解：设两个相邻奇数的奇数分别为，(n为整数)，

为整数，

两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，

故这个命题是真命题，

故答案为：真．

【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，运用完全平方公式进行运算，理解题意，列出代数式是解决本题的关键．

20. 某超市销售两种商品．甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．端午节来临之际，该超市为促销制定了两种优惠方案：

方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品；

方案二：按购买金额打八折付款．

某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件，该公司应该如何采购甲、乙这两种商品才更合算？

【答案】当时，选择方案一更合算；当时，选择方案一或方案二都可以；当时，选择方案二更合算

【解析】

【分析】先用x表示出两种方案的付费情况，然后分三种情况求出x的取值范围，即可得出答案．

【详解】解：按照方案一需要付费：元，

按照方案二需要付费：元，

当，解得：，

当，解得：，

当，解得：，

∴当时，选择方案一更合算；当时，选择方案一或方案二都可以；当时，选择方案二更合算．

【点睛】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，求出x的取值范围．

21. 如图，在平行四边形中，两条对角线、交于点O，点E为延长线上一点，且，连接，分别交和于点F和G，连接，求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形性质得出，，，证明，得出，根据中位线性质得出即可．

【详解】证明：∵四边形为平行四边形，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴是的中位线，

∴．

【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，三角形中位线性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是证明，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

22. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．某粮食生产基地为落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同．

（1）求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

【答案】（1）甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元   

（2）甲种农机具最多能购买8件

【解析】

【分析】（1）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同．”列出方程，即可求解；

（2）设甲种农机具最多能购买件，根据题意，列出不等式，即可求解．

【小问1详解】

解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，根据题意得：

解得∶，

经检验：是方程的解且符合题意．

答：甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元

【小问2详解】

解：设甲种农机具最多能购买件，则：

解得：

因为a为正整数，则，

答：甲种农机具最多能购买件．

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．

23. 综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．

（1）问题探究：如图1，在中，，，点D是边上的一点（点D不与端点B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到线段，点D的对应点为点E，连接，根据以上操作，直接判断线段与的数量关系与位置关系：___________．

（2）类比延伸如图2，在中，，，点D是边上的一点（点D不与端点B、C重合），连接，将线段绕点D顺时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为点E，连接，根据以上操作，请判断问题（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）拓展应用在中，，，点D是射线上的一点，且，连接，将线段绕点D时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为点E，连接，请直接写出线段的长，不必说明理由．

【答案】（1），；   

（2）成立，但不成立；理由见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）证明，得出，，根据等腰三角形性质求出，得出，求出，得出；

（2）连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，求出，得出，证明与不垂直；

（3）证明为等边三角形，得出，根据，求出，根据即可得出结果．

【小问1详解】

解：根据旋转可知，，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴；

故答案为：，；

【小问2详解】

解：成立，但不成立；理由如下：

连接，如图所示：

根据旋转可知，，，

∴为等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴与不垂直．

【小问3详解】

解：∵，，

∴为等边三角形，

∴，

∵，

∴，

根据解析（2）可知，．

  【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判断方法，证明．