精品解析：河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题（解析版）

河北省“五个一”名校联盟

高一年级联考（2023.06）

数学试卷

命题单位：石家庄市第一中学

（满分：150分，测试时间：120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（    ）

A. ； B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出与向量共线的单位向量即可得解.

【详解】，

，

与共线的单位向量是，

故选：B

2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，则正确的（    ）

A. 高中部产生个样本

B 初中部产生个样本

C. 不同级部每个学生被抽取的可能性不相同

D. 可以从两个级部各抽取个样本

【答案】A

【解析】

【分析】利用分层抽样可得出高中部和初中部样本的容量，即可得出合适的选项.

【详解】从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，

所有，初中部产生的样本的容量为，

高中部产生的样本的容量为，则A对，BCD均错.

故选：A.

3. 已知为虚数单位，若复数，则下列四个选项正确的是（    ）

A.

B. 若是复数的共轭复数，则

C. 复数的虚部为

D. 复数在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的概念可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项.

【详解】因为.

对于A选项，，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，复数的虚部为，C错；

对于D选项，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.

故选：B.

4. 若的周长等于20，面积是，则边的长是

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】利用面积公式得到的值，结合周长为，再根据余弦定理列出关于的方程，求出的值即为的值.

【详解】因为面积公式，

所以，得，

又周长为，故，

由余弦定理得，

，

故，解得，故选C.

【点睛】考查主要考查余弦定理，以及会用三角形的面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

5. 已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据模长公式得，结合夹角公式即可求解.

【详解】，

，

，由于

向量与向量的夹角为．

故选：D.

6. 元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的几何体，求出正六棱台两底面积，再利用台体、柱体的体积公式计算作答.

【详解】依题意，花灯体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，

正六棱台的两个底面积分别为，，

所以花灯的体积

.

故选：C

7. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（    ）

A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为

C.  D. 过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性；利用二面角的知识判断C；对于D选项，结合三角形的面积公式求解判断即可.

【详解】依题意，，，所以，

A选项，圆锥的体积为，A选项错误；

B选项，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，

所以圆锥的侧面积为，B选项错误；

C选项，设是的中点，连接，

则，所以是二面角的平面角，

则，所以，

故，则，C选项正确；

D选项，设过圆锥任意两条母线的截面为，，

在中，，

因为，所以当时，截面面积最大，

而，故D选项错误.

故选：C.

8. 已知，，且，令，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据，，求得的关系，

然后将向量的坐标运算，，转化成只含或的关系式，，最后结合二倍角公式代入计算求解；

【详解】由，，

所以，故，

所以，

，

所以

所以．

故选：B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 设为复数，则下列命题中一定成立的是（    ）

A. 如果，那么

B. 如果，那么

C. 如果，那么

D. 如果，那么

【答案】BC

【解析】

【分析】举例即可说明A、D项；根据即可得出B项；由，即可判断C项.

【详解】对于A项，取，时，，但虚数不能比较大小，故A项错误；

对于B项，由，得.

又，，所以，故B项正确；

对于C项，因为，所以，故C项正确；

对于D项，取，，满足，但是，故D项错误.

故选：BC.

10. 小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、92、94、95、100．则下列说法正确的有（    ）

A. 这10个分数的中位数为90

B. 这10个分数的第60百分位数为91

C. 这10个分数的平均数大于中位数

D. 去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小

【答案】ABD

【解析】

【分析】分别求得中位数、百分位数、平均值、方差判断各选项．

【详解】对于选项A，10个分数从小到大排列后第5个和第6个数的平均值为，即中位数是90，A正确；

对于选项B，由于，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；

对于C选项：方法1：平均数相对于中位数总在“拖尾”的一则，所以C错误；

方法2：这10个数的均值为分，中位数是90，所以C错误；

对于D选项：这10个数的方差为，

去掉70和100后，平均数为，方差为，90>89， ，所以D正确．

故选：ABD．

11. 已知，函数，下列选项正确的有（    ）

A. 若的最小正周期，则

B. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象

C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是

D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．

【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；

当时，可得，

将函数的图象向右平移个单位长度后得

，所以B错误；

若在区间上单调递增，则，

解得，

又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；

若区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．

故选：ACD．

12. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（    ）

A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直

B. 该“十字贯穿体”的表面积是

C. 该“十字贯穿体”的体积是

D. 与所成角的余弦值是

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据图形分别求出，结合勾股定理判断垂直；表面积是由4个正方形和16个与梯形全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；由与的长度，通过图形构造直角三角形计算两条直线所成角的余弦．

【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE，

则在矩形中，可知，为中点，连接，

由对称性可知，为中点，为中点，

，，，

显然，即CE、DE不垂直，A选项不正确；

，，

该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成

则表面积，B选项正确；

如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I

则多面体可以分成8个全等三棱锥，，

则，且平面，

则，

该“十字贯穿体”的体积即为，C选项正确；

，与所成角即，

在中，，D选项正确；

故选：BCD．

【点睛】方法点睛：求解组合体的表面积和体积，关键是弄清它的结构特征，从而转化为简单几何体的表面积和体积，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减，求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．

13. 已知向量，，若，则________．

【答案】4

【解析】

【分析】由向量数量积的垂直表示求解即可.

【详解】因为，

所以，得.

故答案为：.

14. 若复数满足（为实数），则的最大值为_______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据复数模长计算公式，求得，然后结合，解得的最大值.

【详解】由题意知
，

因为，

所以当

故答案为：2.

15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为________；若点是线段上的动点，则的最小值为________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积，利用翻折后，由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值.

【详解】如图，

设中点为O，

由底面，底面，所以,

又，，平面，所以平面，

又平面，所以，同理可得，

因为，，所以，

所以在中，

，

所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径，

所以其表面积为；

将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，连接，交AC于点Q，如图，

此时最小，因为，，

所以，又，，

所以.

所以的最小值为.

故答案为： ；

16. 已知三角形的内角的对边分别是，若，为锐角，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由余弦定理及正弦定理化简条件可得，代入，利用均值不等式求解.

【详解】，

，

由正弦定理知，

，

即，

，

两边同除以，可得，

，

，

由为锐角，知，故，

，

当且仅当，即，时等号成立.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17. 已知复数，，其中是虚数单位，．

（1）若为纯虚数，求的值；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；

（2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围.

【小问1详解】

由z1为纯虚数，

则，解得m＝－2.

【小问2详解】

由，得

∴

∵，

∴当时，，当时，，

∴实数的取值范围是.

18. 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．

（1）求图中a的值；

（2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a；

（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；

（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可.

【小问1详解】

由，解得；

【小问2详解】

，

故本次防疫知识测试成绩的平均分为；

【小问3详解】

设受嘉奖的学生分数不低于分，

因为，对应的频率分别为0.15，0.1，

所以，解得，

故受嘉奖的学生分数不低于分．

19. 如图是函数的部分图象，已知．

（1）求；

（2）若，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，则，再根据求得周期，即解；

（2）根据结合三角恒等变换化简计算即可的解.

【小问1详解】

设，函数的最小正周期为T，则，

则，

故，解得(负值舍去)，

所以，所以；

【小问2详解】

由（1）得，

，得，

即，

所以，

又因，则，

所以，所以.

20. 如图，直三棱柱中，，，分别是，的中点．

（1）证明：；

（2）若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取中点可得，利用三棱柱为直棱柱，得平面，，为的中点得，再由线面垂直的判断定理、性质定理可得答案；

（2）由（1）知为与平面所成的角，求出，利用锥体的体积公式计算可得答案.

【小问1详解】

取中点，分别连结，，

因为为的中点，所以，，因为三棱柱为直棱柱，

所以平面，

所以平面，因为平面，所以，

又为的中点，则，且，所以，

因为，平面，，所以平面，

因为平面，所以;

【小问2详解】

由（1）知为与平面所成角，所以，

由，得，

．

21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,．

（1）求值；

（2）若，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为，

角化边即可得到，再结合可得，，利用余弦定理即可求解.

【小问1详解】

因为,

结合余弦定理，得，

即，

所以．

【小问2详解】

由，

即，即

即，又，

所以，，

所以.

22. 如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【详解】试题分析：（1）取线段的中点，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形为平行四边形，即得．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得．再根据面面垂直性质定理得平面，即得，根据勾股定理得，所以由线面垂直判定定理得 平面，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段上存在点，使得平面，则，与条件矛盾.

试题解析：

解：（1）取线段的中点，连接，．

因为在△中，，分别为，的中点，所以 ，．

因为 ，分别为，的中点，所以 ，，    

所以 ，，所以 四边形为平行四边形，所以 ．

因为 平面， 平面，所以 平面．

（2）因为在△中，，分别为，的中点，所以 ．

所以，又为的中点，

所以 ．

因为平面平面，且平面，

所以 平面，所以 ．

在△中，，易知 ，

所以 ，所以 平面，

所以 平面平面．

（3）线段上不存在点，使得平面．

否则，假设线段上存在点，使得平面，

连接 ，，则必有 ，且．

在△中，由为的中点，，得为的中点．

在△中，因为，所以，

这显然与，矛盾！

所以线段上不存在点，使得平面．