专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类

目录
一、热点题型归纳
【题型一】正余弦定理 2
【题型二】求角 3
【题型三】判断三角形形状 3
【题型四】面积与最值 4
【题型五】周长与最值 5
【题型六】角的最值 5
【题型七】最值 6
【题型八】切弦互化求最值 7
【题型九】解三角形应用题 8
二、真题再现 9
三、模拟检测 11
正余弦定理
(1)正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 ；
注意：正弦定理变式与性质：
①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； ②正弦化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ④＝ 2R ；
(2)余弦定理：①a2＝b2＋c2－2bccos_A； ②b2＝c2＋a2－2cacos_B； ③c2＝a2＋b2－2abcos_C
注意：变式：①cos A＝； ②cos B＝； ③cos C＝
(3)三角形面积 ：①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
三角形中：
①sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；
②sin ＝cos ， cos＝sin；
③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；
④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cosA＜cosB．

【题型一】正余弦定理
【典例分析】
（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在中，、、分别是角、、所对的边，是、的等差中项，则与的大小关系是（       ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：
（1） 知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2） 知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
（3） 证明化简过程中边角互化；
（4） 求三角形外接圆半径.
【变式演练】
1..（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（       ）
A． B． C． D．

2.（2023·全国·高三专题练习）在中，，则的可能取值为（       ）
A． B． C． D．


【题型二】求角
【典例分析】
（2022·山西吕梁·三模（文））在中，内角的对边分别为，若，则（       ）
A． B． C． D．

【提分秘籍】
基本规律
1.构造正余弦定理，特别是余弦定理。
2.要主语三角形中条件，判定是锐角还是钝角。

【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，则等于（       ）
A． B． C．或 D．

2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（       ）
A． B． C． D．1

3.（2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，设，，则 （       ）
A． B． C． D．



【题型三】判断三角形形状
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（       ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形



【提分秘籍】
基本规律
利用正余弦定理判断：
边化角或者角化边，转化为边的勾股或者相等，或者求角度相等（互余）


【变式演练】
1..(2021·广东·高三阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则△ABC的形状是（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

2.（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（       ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形

3.（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC，则“”是“三角形ABC为钝角三角形”的（　　）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要




【题型四】面积与最值
【典例分析】
（2021·江苏·高三课时练习）在锐角三角形ABC中,若，且满足关系式，则的面积的最大值为（       ）
A． B． C． D．

【提分秘籍】
基本规律
多使用均值不等式来放缩求最值范围

【变式演练】
1.（2020·全国·高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为　　
A． B． C． D．

2.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（       ）
A．2 B． C．4 D．

3.（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(       )
A．1 B．3 C．2 D．4



【题型五】周长与最值
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
注意条件合理的分析转化
1.角与对边型：正弦定理
2.对称边，可以余弦定理+均值不等式


【变式演练】
1.在中，角所对的边分别为，若sinA+cos(A+π6)=32，b+c=4，则周长的取值范围是
A．[6,8) B．[6,8] C．[4,6) D．(4,6]


2.（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC周长的最大值为________．

3.（2022·全国·高三专题练习）在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则该三角形周长的最大值为___________.


【题型六】角的最值
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（       ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
注意角度范围与三角形条件之间的限制关系

【变式演练】
1.（2022·安徽淮南·一模（文））在中，内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角的最大值是（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（       ）
A． B． C． D．

3.已知锐角△中,角对应的边分别为,△的面积,若, 则的最小值是
A． B． C． D．

【题型七】最值
【典例分析】
在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4


【提分秘籍】
基本规律
求最值时，涉及到角度范围的限制
1. 钝角或者锐角三角形限制
2. 其他条件限制（如已知某角）


【变式演练】
1..锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acosC+ccosA)=3a，则cb的取值范围是（ ）
A．(12,2) B．(33,233) C．(1,2) D．(32,1)

2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是
A．-1,3 B．1,3
C．(2,3) D．1,2

3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C． D．
【题型八】切弦互化求最值
【典例分析】
中，角的对边长分别为a,b,c，若acosB-bcosA=35c，则tanA-B的
最大值为 (　）
A． B． C．34 D．



【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：
1.切化弦
2.在三角形中，有


【变式演练】
1.在中，若，则的取值范围为
A． B． C． D．

2.在中，分别是角的对边，若a2+b2=2014c2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为
A．2013 B．1 C．0 D．2014

3.在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则1tanA-1tanB的取值范围是
A． B．1,2 C．233,2 D．1,+∞



【题型九】解三角形应用题
【典例分析】
（2022·江苏·高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（       ）.（仰角为直线与平面所成的角）

A． B． C． D．

【变式演练】
1.（2022·全国·高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（       ）

A．千米 B．千米
C． D．

2.在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为（ ）
A． B． C． D．

3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形的周长为4米，沿折叠使到B'位置，AB'交DC于，研究发现，当ΔADP的面积最大时最节能，则最节能时的面积为

A．3-22 B． C．2(2-1) D．2




1．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（       ）
A．3 B． C．3或 D．-3或


2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（       ）
A．1 B． C． D．3

3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（       ）
A． B．2 C．4 D．8

4．（2014·江西·高考真题（文））在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（        ）
A． B． C．1 D．
5．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（       ）
A． B． C． D．

6．（2019·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3

7．·湖南·高考真题（文））在△ABC中，AC=，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于
A． B． C． D．

8．（2018·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．

9.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．

10．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．


11．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________

12．（2021·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

13．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．


14．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.



15．（2019·全国·高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.

16．（2019·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.





1.（2022·江西·模拟预测（文））在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，，则的值为（       ）
A． B． C． D．

2.（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（文））已知锐角的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角C的大小为(       )
A． B． C． D．

3.（2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形

4.（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））的内角A、B、C的对边分别为、、，已知，且，则面积的最大值是（       ）
A． B． C．2 D．

5．（2022·全国·高三专题练习（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=3，，则△ABC的面积与周长之比的取值范围是___________.


6.已知的内角的对边分别为a、b、c，若A=2B，则cb+2ba的取值范围为__________．

7.已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，tanCtanA+tanCtanB=（　　）
A．11009 B．11008 C．12018 D．12017

9.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，为圆心，且，在上有一座观赏亭，其中，计划在圆弧上再建一座观赏亭，记，当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，（ ）


A． B． C． D．

10.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]