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专题4-1 三角函数性质、最值和w小题归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）
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这是一份专题4-1 三角函数性质、最值和w小题归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共45页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练37等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 图像和性质1：“识图”1
\l "_Tc26924" 【题型二】 图像和性质2：求周期5
\l "_Tc12217" 【题型三】 图像和性质3：正余弦函数的对称轴应用7
\l "_Tc30563" 【题型四】 图像和性质4：正余弦函数的对称中心应用9
\l "_Tc30563" 【题型五】 最值与范围1：辅助角11
\l "_Tc30563" 【题型六】 最值与范围2：一元二次型正余弦函数有界性13
\l "_Tc30563" 【题型七】 最值与范围3：sinx与cngx积、和（差）换元型16
\l "_Tc30563" 【题型八】 最值与范围4：分式型18
\l "_Tc30563" 【题型九】 最值与范围5：绝对值型19
\l "_Tc30563" 【题型十】 三角换元1：圆代换22
\l "_Tc30563" 【题型十一】 三角换元2：双变量消元代换型24
\l "_Tc30563" 【题型十二】 三角换元3：无理根号代换型25
\l "_Tc30563" 【题型十三】 三角换元4：正切代换型26
\l "_Tc30563" 【题型十四】 三角换元5：向量中的三角换元型28
\l "_Tc30563" 【题型十五】 三角函数中W求解题33
\l "_Tc30563" 【题型十六】 数列与三角函数35
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练37
【题型一】 图像与性质1：“识图”
【典例分析】
已知函数，过点，，当，的最大值为9，则的值为（ ）
A．B．C．和D．
【答案】B
【解析】由图可得，所以，令，转化为求的最大值问题.
【详解】由已知，，所以，，又，，
所以，，故，
所以，
因，所以，，令，则，故，
若，易得，不符合题意；若，易得，解得（舍）；
若，易得，解得.故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则可；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【变式演练】
1.已知函数（，）的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为____.
【答案】
【分析】先据图求出解析式，在解得两个可转为特殊角的三角函数值，解不等式验证最小正整数即可.
【详解】由题图可知，（T为f（x）的最小正周期），
得T＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2cs（2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，
则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f(x)＝2cs，所以
，所以，
即（f（x）－1）f（x）＞0，可得f（x）＞1或f（x）＜0，所以cs或cs
当x＝1时，,，不符合题意；
当x＝2时，, cs符合题意，所以满足题意的最小正整数x为2.
故答案为：2
2.如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
【答案】C
【分析】首先利用二倍角公式将化简为，再由，分别为的图像上的最低点和最高点得到，再由，两点之间距离为得，从而求得的值，进而求得的值，由题可知的最小正周期为，由此得到的值，再由经过点及的范围求得的值，得到函数的解析式，进而判断函数在区间的单调性.
【详解】
如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，
连接，可知为直角三角形，，，
则，易知，解得，，∴，，得，，
∴，故，由函数的图像经过点可得，
则，，又，则，∴，
∴的单调递增区间为，得()，
的单调递减区间为，得()，
∴当时在区间上单调递减，故选C.
3.如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】
先由图用求出，由 求出,由 求出,
得到；运用二倍角公式和辅助角公式化简
利用三角函数图象平移性质得解.
【详解】如图知: , ， , 又
,,解得：
又,，，
由三角函数图象平移性质得
(技巧：由三角函数图象平移性质得 )所以函数向右平移个单位长度得到.故选：B
【题型二】 图像与性质2：求周期
【典例分析】
已知函数，则的最小正周期为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，则的最小正周期为，故选C.
【提分秘籍】
基本规律
1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解
2.利用图像观察求解。
3.定义证明：f（x+T）=f（x）
4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需要证明是否是最小正周期）
【变式演练】
1.函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
画出图象，再利用图象翻折得到观察图象可得周期.
【详解】
由的图象可知，.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数型的图像与性质.
三角函数周期的求解公式法：或的最小正周期为，的最小正周期为
2.已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.
解：由于在区间有三个零点，，，
当时，，∴由对称轴可知，满足，
即.同理，满足，即，
∴，，所以最小正周期为：.故选：C.
3.已知函数，则
A．的最小正周期为，最小值为1
B．的最小正周期为，最小值为-3
C．的最小正周期为，最小值为1
D．的最小正周期为，最小值为-3
【答案】D
【分析】首先利用余弦倍角公式，将式子进行化简，使得解析式中只有一个函数名，之后进行配方，结合正弦函数的周期和值域，求得函数的周期和最值，对选项逐一分析判断，得出结果.
【详解】化简函数解析式可得，
可以求得其最小正周期为，
其最大值为，最小值为，故选D.
【题型三】 图像与性质3：正余弦函数的对称轴
【典例分析】
设函数，若方程恰好有三个根，分别为 ，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
作图像，由图像可得， 的取值范围是
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
2.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。
3.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
【变式演练】
1.若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，由关于轴对称，则，
可得，，又，所以，即，
当时，，所以当时，即时，.
故选：A．
2.已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】化简；由题意知；从而可得，利用数形结合的方法求解即可．
解：；的最小值为，
；；；，作在，上的图象如下，
，；关于的方程在区间，上有两个不同的实数解，
；；故选：C．
3.已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且恒有，若存在成立，则b的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换可得，结合其性质求得，，即可得，根据正弦函数的性质确定的最值，最后由不等式恒成立求参数范围即可.
【详解】由题设，，
由相邻两个对称轴之间的距离为，故，
又关于对称，即，故，解得，∴，
当时，，此时的最大值为，最小值为，
若存在，使成立，则只需，
∴．故答案为：
【题型四】 图像和性质4：对称中心
【典例分析】
已知函数fx=3sinωx−π6ω>0图象对称中心和函数gx=3cs2x+φ的图象的对称中心完全相同，若，则函数的取值范围是____________
【答案】−32,3
【分析】化简得到fx=3csωx−2π3，根据对称中心相同得到，故fx=3sin2x−π6，当，2x−π6∈−π6,5π6，得到范围.
【详解】fx=3sinωx−π6，gx=3cs2x+φ,两函数对称中心完全相同，故周期相同，
故，故fx=3sin2x−π6，
当，2x−π6∈−π6,5π6，故fx=3sin2x−π6∈−32,3.
故答案为：−32,3.
【提分秘籍】
基本规律
1.一般情况下， 两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
【变式演练】
1..已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意求出的解析式，再根据x的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】函数的最小正周期，∴，解得：，
由于是函数的一条对称轴，且为的一个对称中心，
∴，（），则，（），则，
又∵，，由于，∴，故，
∵，∴，∴，∴.
故选：B．
2.已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，利用奇偶性定义可知为奇函数，并可确定在，上单调递增，由知，结合不成立可确定与大致图象，由图象可确定解集.
【详解】为上的奇函数，，
令，则，
为上奇函数；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增；
，，则，
又，当时，，
当时，不成立，即不成立，
由此可在坐标系中画出与大致图象如下图所示：
由图象可知：当时，，
即当时，.故选：C.
3.设函数.若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的图象可得，x2，x1关于点（，0）对称，|x2﹣x1|最小，进而可得结果.
【详解】根据函数f（x）＝sin（2 x +）∵f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），
令x2＞x1，根据图象，可得x2，x1关于点（，0）对称时，|x2﹣x1|最小，
∵x1x2＜0，∴x2＞0，则x1．∴可得|x2﹣x1|，故选：B．
【题型五】 最值与范围1：辅助角
【典例分析】
已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，
，，，②，
①②得，，即，解得，（舍去），
由①得，，，在第一象限，取，，
由，即，，，，，
使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B
【提分秘籍】
基本规律
要让学生学会推导一下过程，并且要学会非特殊角特殊值的推导。
【变式演练】
1.若，函数（）的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元法令，从而得到的取值范围.
【详解】因为（其中）．
令，因为，所以．
因为，且，所以，故，即．
当时，单调递减，
因为，
所以．故选D．
2.已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得
，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】，取，
当时，有最大值，即，所以，可得，
所以，，则，
因为，所以，为偶函数，
，，故B正确，故选：B.
3.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．
【详解】，
其中，，
因为，则，+
在上有两个不等实根，
在上有两个不等实根，
则，所以
①对任意，，恒成立．由②得，存在，成立，
所以，，所以．故答案为：4
【题型六】 最值与范围2：一元二次正余弦有界性
【典例分析】
.关于的不等式在区间上恒成立，的最大值为，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题中条件，得到，求出，根据特殊值验证，分别取，，，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
由得，
即，则，
为使不等式有解，必有；
所以，即，
若，则，即，则，
又显然恒成立，所以，
解得，；
由题意可得，是的子集，此时的最大值为，不满足题意，故排除AB选项；
若，则，即，显然对任意恒成立，此时无最大值；故C错；
若，则，即，
因为显然恒成立，所以，
解得，；
由题意可得，是的子集，此时的最大值为，满足题意，故D正确；故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
1.一般情况下，正弦余弦有一次二次，要以“一次”为变量
2.消元或者换元，要注意旧元与新变量之间的范围限制，包括互相限制。
【变式演练】
1.已知，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】把转化为关于的二次函数即可求得.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，所以.
故函数的值域是.故选：A.
2.已知且对任意，不等式无解，当实数取得最大值时，方程的解得个数为__________.
【答案】322
【分析】
根据余弦函数的二倍角公式将不等式转化为，再令则，可得不等式在无解，可得，解之可得的最大值，再代入方程中，可将方程化为，解之可得解的个数.
【详解】
根据余弦函数的二倍角公式将不等式转化为即，
令则，所以由题意得不等式在无解，
所以，解得，所以的最大值为，
所以方程化为，即，
所以，解得，所以整数的个数有322个，
所以当实数取得最大值时，方程的解得个数为322.
故答案为：322.
3.已知，若对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是__________.
【答案】
【分析】不等式变形为令，即上式变形为关于的一元二次不等式，对应的二次函数为，根据题意，若满足时不等式恒成立，则需时，恒成立，分类讨论，当或或时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.
【详解】.
设，.由题意可知，时，恒成立.
当对称轴时在上单调递减，则，即
当对称轴时，。解得即
当对称轴时在上单调递增，
则，即
综上所述：故答案为：
【题型七】 最值与范围3：sinx与csx积和（差）换元型
【典例分析】
函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将原式化简为，再令，将转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解值域.
解：
则且，令，则，则，，
当时，，
当时，，
故的值域为.故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
之间的互化关系
1.
2.
【变式演练】
1.函数的最大值为（ ）
A．B．3
C．D．4
【答案】C
【分析】令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得；
解：根据题意，设，则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.故选：C.
2.函数fx=sinxcsx+2sinx−π4的值域为________．
【答案】−12−2,1
【分析】令sinx−csx=t，函数化为y=−12(t−1)2+1，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】
由于fx=sinxcsx+2sinx−π4=sinxcsx+sinx−csx，
令sinx−csx=t，则sinxcsx=1−t22，于是函数化为y=1−t22+t=−12(t−1)2+1，
而t=sinx−csx=2sinx−π4∈[−2,2] ，
所以当时，函数取最大值1，
当t=−2时，函数取最小值−12−2，故值域为−12−2,1.
故答案为：−12−2,1.
3.函数y＝sinx－csx＋sinxcsx的值域为________.
【答案】−12−2,1
用换元法，设t＝sinx－csx，则sinxcsx＝1−t22，且−2≤t≤2，问题转化为求二次函数在某个区间上的值域．
【详解】设t＝sinx－csx，则t2＝sin2x＋cs2x－2sinx·csx，sinxcsx＝1−t22，
t2=1−sin2x∈[0,2]，∴−2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋＝－ (t－1)2＋1，t∈[－，].
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝−12−2.
∴函数的值域为−12−2,1.
【题型八】 最值与范围4：分式型
【典例分析】
函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】
当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，综合得，， 故最小值为：.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以用正余弦有界性：
2.可以用辅助角：
3.可以用外能公式代换：参考题型十
【变式演练】
1.设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
将函数整理为，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案.
【详解】因为，所以有，即，为辅助角，因为，所以，
化简得：，
由于恒成立，则判别式：
恒成立，
即有不等式的解集为由韦达定理可得故选：D
2..已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据换元法将函数的最小值与函数在区间的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
，
令，则，
因此函数的最小值与函数在区间的最小值相同，
又因为，当且仅当即时等号成立，
所以函数的最小值2.
故选：B
3.函数的最大值为_________.
【答案】.
试题分析： 令，则，，（其中）
，由于，，，
解得：故答案应填：．
【题型九】 最值与范围5：绝对值型
【典例分析】
若函数f(x)=a+bcsx+csinx的图象经过点(0,1)和π2,1，且当时，|f(x)|≤2恒成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】−2≤a≤4+32.
【分析】
由的图象经过(0,1)和π2,1两点，可得b，c与的关系，将原函数转化为只含有变量的函数，对的取值分a>1，a=1，a<1讨论，求出的最值，转化为最值问题即可求解.
【详解】因为经过点(0,1)和π2,1，
所以f(0)=a+b=1，fπ2=a+c=1，可得b=c=1−a，
故f(x)=a+(1−a)csx+(1−a)sinx=a+(1−a)(sinx+csx)=a+2(1−a)sinx+π4
因为0≤x≤π2，所以π4≤x+π4≤3π4，所以22≤sinx+π4≤1，
当a<1时，1−a>0，可得1−a≤2(1−a)sinx+π4≤2(1−a)，
所以1≤f(x)≤2(1−a)+a，要使−2≤f(x)≤2恒成立，只要2(1−a)+a<2，
即a≥−2，又a<1，从而−2≤a<1；
当a=1时，f(x)=1∈[−2,2]；
当a>1时，1−a<0，所以1−a≥2(1−a)sinx+π4≥2(1−a)，
所以1≥f(x)≥2(1−a)+a，要使−2≤f(x)≤2恒成立，只要2(1−a)+a≥−2.
解得a≤4+32，又a>1，从而1综上所述，a的取值范围为−2≤a≤4+32，
故答案为：−2≤a≤4+32.
【提分秘籍】
基本规律
这类题较难，需要分类讨论。
【变式演练】
1..函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如何去函数中的绝对值，需判断的正负，将的范围缩小，考虑周期性，只要研究一个周期的值域即可，而，周期为，取，对分段讨论，由辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可求解.
【详解】，所以周期为，取，
当，其中，
当时，，，；
当，其中，
当时，，，；
，周期为，所以的值域为.故选:A.
2.已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.
解：由题可知，不妨设，
对于，对任意实数，，方程有解，
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，所以，
综上得：；
对于，对任意实数，，方程也有解，
当时，方程可化为有解，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合为.故答案为：.
3.已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为M，则M的最小值为________.
【答案】
【分析】求出的值，取，然后对函数在区间上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得的最小值.
【详解】
由于函数的最小正周期为，则，.不妨取，则.
若函数在区间上单调，则，
若函数在区间上先增后减，则；
若函数在区间上先减后增，同理可知的最小值为.
，综上可知，的最小值为.故答案为：
【题型十】 三角换元1：圆代换
【典例分析】
如图，已知为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的最小值为_______．
【答案】1
【分析】如图建系，设P点坐标，则可得的坐标，根据题意，可得的表达式，代入所求，根据的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.
【详解】取BC中点O，以O为原点，OC，OA方向为x轴y轴正方向建系，如图所示
由题意得：，所以，
如图以BC为直径的半圆方程为：，设，因为，所以，
则，，因为，所以，
整理可得，所以，
因为，所以，当时，取最大值，
所以的最小值为，故答案为：1
【提分秘籍】
基本规律
圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y
的参数方程是：
【变式演练】
1.若，那么的最大值为_________________.
【答案】
【分析】设，利用三角函数有界性得函数的最大值.
【详解】设，所以
所以的最大值为.故答案为：
2.记，其中、，已知、是椭圆上的任意两点，是椭圆右顶点，则的最大值是______.
【答案】
【分析】
设点，其中，可得，分和两种情况讨论，结合辅助角公式求得的最大值，同理可求得的最大值，由此能得出结果.
【详解】
设点，其中，易知点，
则.
①当时，，
，则，当时，取最大值；
②当时，，
，则，当时，取最大值.
综上所述，的最大值，同理可知，的最大值也为.
因此，的最大值是.
故答案为：.
3.设圆上两点，满足：，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先由数量积公式可得，再根据绝对值的几何意义得表示两点，分别到直线的距离之和，再以直线为轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示，根据角的范围求值域.
【详解】由，得.设表示两点，分别到直线的距离之和.
取直线为轴重新建立直角坐标系后，则表示两点，分别到轴的距离之和.
在新的直角坐标系下，设，。则有.
由对称性，不妨设点在轴上或上方，即.
所以， 时，，
得，则，
当时，，
，此时 综上得，
从而得.故答案为：
【题型十一】 三角换元2：双变量消元代换
【典例分析】
已知非负实数，满足，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】由，得，用换元法，令，，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.
【详解】由题意得：，令，， 又，为非负实数，
，，，即，
解得，.故（其中），
，即，，即
又在上单调递增，∴当时，取得最大值，
故当，时，取得最大值，最大值为.故答案为：
【提分秘籍】
基本规律
1.二次型双变量可以三角换元
2.椭圆型，或者双变量型，可以适当选择多项式三角函数换元。
【变式演练】
1.已知实数满足,则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
设
因此
因为 ，所以，即取值范围是
点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
2.已知实数x，y满足，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】因为实数，满足，设，，
，
恒成立，
，
故则的最小值等于.故选：．
【题型十二】 三角换元3：无理根号代换
【典例分析】
若y=x−4+18−3x，则的取值范围是________
【答案】[2,22]
【分析】首先求出的取值范围，令x=4+2sin2t，t∈0,π2将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；
解：因为y=x−4+18−3x所以x−4≥018−3x≥0解得4≤x≤6，令x=4+2sin2t，t∈0,π2
则y=4+2sin2t−4+18−34+2sin2t=2sint+6cst=22sint+π3。所以y=22sint+π3，
因为t∈0,π2，所以t+π3∈π3,5π6，所以sint+π3∈12,1
所以y∈2,22故答案为：2,22
【提分秘籍】
基本规律
通过本专题注意总结积累无理单根号，双根号等等三角换元的数字特征
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4,。一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。
【变式演练】
1.已知，则的最大值为_________.
【答案】8
【分析】设，不妨设，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案.
【详解】设，不妨设，
则，故，所以，
可设，，则
，当且仅当时取等号
即的最大值为8.故答案为：.
2.函数y=x−4−x2的值域为________．
【答案】−22,2
【分析】函数的定义域为−2,2，设x=2csθ将原函数转化为关于的三角函数，利用同角三角函数基本关系以及辅助角公式，余弦函数的性质即可求解.
【详解】由4−x2≥0可得−2≤x≤2，即函数的定义域为−2,2。所以设x=2csθ，θ∈0,π，
则y=2csθ−4−4cs2θ=2csθ−2sinθ=2222csθ−22sinθ=22csθ+π4，
因为θ∈0,π，所以θ+π4∈π4,5π4，所以csθ+π4∈−1,22，所以y=22csθ+π4∈−22,2，
所以函数y=x−4−x2的值域为−22,2，故答案为：−22,2.
3.设r，t∈R满足r−2t−2r−t+1=0，则r的取值范围是______．
【答案】3−22,3+22
【分析】原方程可变形为r−t−12+t−12=1，再设r−t=1+csα，t=1+sinα，进而可得r=3+22sinα+π4，然后根据三角函数的有界性求出r的范围即可.
【详解】
将r−2t−2r−t+1=0配方得r−t−12+t−12=1，
设r−t=1+csα，t=1+sinα，α∈0,2π得：
r=1+csα2+1+sinα2=3+2sinα+csα=3+22sinα+π4，
又因为−1≤sinα+π4≤1，α∈0,2π，
所以r∈3−22,3+22.故答案为：3−22,3+22.
【题型十三】 三角换元4：正切代换
【典例分析】
设，则的最小值是____________．
【答案】
【分析】由题意，利用三角换元，令.则，化为讨论的最小值即可.
【详解】∵a⩾0,∴可令.则，
化为，化为，
.当时，即a=1时取等号.因此的最小值是.故答案为.
【提分秘籍】
基本规律
适当掌握万能代换公式。并且万能代换还能用于二选一题4-4的消参。具体参考高考题
2019年新课标1第22题，如下，消参方法之一，就是万能代换。
在曲线C的参数方程为（t为参数）
【变式演练】
1.函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．C．，0D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得，再令，，可得，再根据二次函数的性质即可求出结果.
【详解】设，则，则
，
由，得，所以，
所以当，即时，；当，即时，.故选：D.
【题型十四】 三角换元5：向量中的三角换元
【典例分析】
已知平面向量，，则的最大值是_______，最小值是_______.
【答案】
【分析】
设， 易得，则，进而表示，作图分析只讨论；利用分类讨论与的投影的正负，以与垂直，与垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.
【详解】
因为，可设， 易得，则
所以或 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为；
从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论
①当与的投影均非负时，显然以与垂直是第一个分界线，则
则
因为，所以
由，即，则，所以最小值为11，最大值为16；
②当与的投影为负，与的投影为正时，显然以与垂直是第二个分界线，则
则
显然在第四象限，因，所以，即，故，
所以在区间上应单调递减，
故；
③当与的投影均为负时，则
所以
由①中，即
所以在区间上应单调递减
故；
综上所述，的最大值为16，最小值为.
故答案为：(1).；(2).
【提分秘籍】
基本规律
向量中的三角换元原理之一，就是源于,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
【变式演练】
1.已知平面向量，，则的最大值是_______，最小值是_______.
【答案】
【分析】
设， 易得，则，进而表示，作图分析只讨论；利用分类讨论与的投影的正负，以与垂直，与垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.
【详解】
因为，可设， 易得，则
所以或 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为；
从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论
①当与的投影均非负时，显然以与垂直是第一个分界线，则
则
因为，所以
由，即，则，所以最小值为11，最大值为16；
②当与的投影为负，与的投影为正时，显然以与垂直是第二个分界线，则
则
显然在第四象限，因，所以，即，故，
所以在区间上应单调递减，
故
；
③当与的投影均为负时，则
所以
由①中，即
所以在区间上应单调递减
故
；
综上所述，的最大值为16，最小值为.故答案为：(1).；(2).
2..已知､是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中､，则的最大值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.
解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，设，
可得，，，由，，得，，，，
，，，
当时，的最大值为2，此时为弧的中点.所以的最大值是2.
故选：B.
3.已知非零平面向量a，b，c满足：a，b的夹角为，c−a与c−b的夹角为，a−b=23，c−b=2，则b⋅c的取值范围是______．
【答案】0,6+43
【分析】以点为起点作向量OA=a，OB=b，OC=c，
则BA=a−b，BC=c−b，AC=c−a，
由a，b的夹角为，c−a与c−b的夹角为可知：四点O,A,B,C共圆，然后结合正弦定理与三角函数求解即可
【详解】如图：以点为起点作向量OA=a，OB=b，OC=c，
则BA=a−b，BC=c−b，AC=c−a，由a，b的夹角为，c−a与c−b的夹角为可知：四点O,A,B,C共圆，
由a−b=23，c−b=2得AB=23，BC=2，在中：ABsin∠ACB=BCsin∠CAB，即23sin2π3=2sin∠CAB
所以sin∠CAB=12，所以∠CAB=π6，由同弧所对的圆周角相等，可得∠COB=π6，
设∠OCB=θ，则∠OBC=5π6−θ，在△OBC中：BCsinπ6=OBsinθ=OCsin5π6−θ，
所以OB=4sinθ,OC=4sin5π6−θ，b⋅c=bccs∠COB=OB×OC×csπ6=4sinθ×4sin5π6−θ×32
=83sinθ12csθ+32sinθ=43sinθcsθ+12sin2θ
=23sin2θ−6cs2θ+6=43sin2θ−π3+6，∵0<θ<5π6，∵−π3<2θ−π3<4π3，
∴−32∴0<43sin2θ−π3+6≤43+6，则b⋅c的取值范围是0,6+43
故答案为：0,6+43
【题型十五】 三角函数中w求解
【典例分析】
函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或∴或
∴或∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
求题型多为难题，规律不明显，大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。
【变式演练】
1.已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
,,由，得，,由对称轴,假设对称轴在区间内，可知当k=1,2，3时，，现不属于区间，所以上面的并集在全集中做补集，得，选B.
2.已知函数f（x）=cs（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______．
【答案】
【分析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可．
【详解】由题意可得，即，解得，
又因为在上单调，所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，所以，
又，解得，所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，
同理，令，，在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
3.已知定义在上的函数（）的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】换元，令，讨论与的大小关系，由单调性即可求出函数的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数的取值个数．
【详解】
令，
①当时，即，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当时，即，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以．
设，，
，因为，在上递减，
所以在上递减，存在，使得，因此在上递增，在上递减，而，，，由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，即说明只有一个实根，综上可知，正实数的取值个数最多为2.
故选：C．
【题型十六】 数列与三角函数
【典例分析】
知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【详解】
当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；故选：C
【变式演练】
1.设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．
【答案】
【分析】
利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为，当时，，
又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
所以，又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
由此可得，所以，
所以．故答案为．
2..已知函数，数列中，，则数列的前100项之和____．
【答案】10200
【详解】因为，所以
同理可得：
,
的前100项之和.故答案为 .
3.设数列{an}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），fn（x）=b总有两个不同的根，则{an}的通项公式为 ．
【答案】
【详解】
试题分析：根据条件确定an+1﹣an=nπ，利用叠加可求得{an}的通项公式．
解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，
又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π
∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π
又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cs|，x∈[π，a3]
∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…
又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinx|，x∈[3π，a4]
∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π
由此可得an+1﹣an=nπ，
∴an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=
∴故答案为
1.已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由为偶函数得到为偶函数，从而得到，再由得到，从而得到解析式，通过求导找到极大值点，代入计算即可.
【详解】
因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
又，所以，由图象及，所以
解得，结合时，知
所以，因为和为偶函数，所以只需考虑
的情况，当时，，
当，即时，有极大值， 此时.
故选：B.
2.已知函数f(x)＝sin的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期为_______．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：由已知可得(不妨取)，则最大值点在圆上，则，.
考点：1、函数的图像与性质；2、圆的方程.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质和圆的方程，综合性较高，属于较难题型.解决本题的关键是由图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点这一条件判断出的(不妨取)，进而可得最大值点在圆上（用最小值点也可以），从而代入圆方程问题就迎刃而解.
3.已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.
【答案】
【分析】
由已知写出的对称轴方程及其周期，判断端点、的值，问题转化为在上与的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.
【详解】
由，则，而，知：关于对称，
又最小正周期为，，
∴在上的函数图象如下，其与的交点横坐标，即为的根，，，，，，
∴如图，区间内共有6个根，且有，
∴.
故答案为：.
4.当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，所以，
所以
又，所以故答案为：.
5.已知，则的最大值为____________
【答案】9/16
【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】
，
，，即
又，
利用二次函数的性质知，当时，sinx−sin2ymax=−34−122−1=916..故答案为：916
6.已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.
【答案】
【详解】
由题意，知，则线段的中点为.
而.① ；设，②
①、②两式分别平方，相加，得，解得.
又，所以，故取.
所以线段中点的纵坐标为.
7.已知函数（），则的最大值为__________．
【答案】
【分析】
利用两角差的正弦公式将化为，利用二次函数与正弦函数性质可得结果.
【详解】
，当时，，时函数的最大值为，此时，函数在时取得最小值1，∴的最大值为.
故答案为
8.若不等式，对于成立，则，分别等于（ ）
A．；B．；C．；D．；
【答案】D
【分析】设，根据三角函数值的符号，求得函数符号的变化，根据函数的单调性与对称性，求得的值，即可求解.
【详解】由，则，
当或时，即或时，，
当时，即时，，
所以当或时，，
当时，，
设函数，则在上单调递增，在上单调递减，
且函数的图象关于直线对称，所以，
所以，解得，
又由，解得，
所以，.故选：D.
9.设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】设，，，则
再放缩可得
其大于等于结合已知条件，利用辅助角公式化简即可求最值.
【详解】设，，
则有
当且仅当时取最小值，即，此时，，
的最小值是，故选：D.
10.若集合P＝，Q＝，则PQ表示的曲线的长度为_______.
【答案】
【分析】
作出与的图象，得到PQ表示的曲线，利用圆的弧长即可求解.
【详解】
由得，由得且，作出两曲线图像如下：
此时PQ表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧AB部分，
直线与圆心的距离，且r＝2，在 中，，
∴，∴曲线长度为：.故答案为：
11.函数y＝x＋的最小值为________．
【答案】5－
【分析】整理y＝x＋得：y＝x＋，利用作三角换元得：x－5＝cs α，，即可整理函数为：y＝2sin＋5，利用三角函数的性质即可得解.
【详解】原函数可化为：y＝x＋.由2－(x－5)2≥0⇒|x－5|≤，令x－5＝cs，
那么y＝cs＋5＋sin＝2sin＋5.
因为＋∈，所以sin∈，所以函数的最小值为5－.
12.已知单位向量满足，，则对任意，的最小值为___________.
【答案】
【分析】不妨设单位向量，，，，用坐标表示出向量的模，然后由二次函数性质得最小值，再由二倍角公式求得，由各差化积公式变形，结合正弦函数性质和绝对值的性质得最小值．
【详解】由题意不妨设单位向量，，，，
其中，，，．
，．
，
，
所以时，
，
又，，所以．故答案为：．
13.设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】考虑在上无极大值点和有且只有一个极大值点的取值范围，取其补集后可得所求的取值范围.
【详解】令，解得，.若在上无极大值点，
则存在实数，使得，整理得到，解得，
因为且存在，故，或，故或.
若在上有且只有一个极大值点，则存在实数，
使得，或，
解得①或者②，对于①，因为且存在，故且，
故整数满足，
当时，，当时，，
当时，，故
对于②，同理可得
综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，.
故函数在上至少存在两个极大值点，.
故答案为：.
14.若函数fx=sinωx+π6ω>0在区间π,2π上没有最值，则的取值范围是______.
【答案】0,16∪13,23
【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由在区间π,2π上没有最值可知π3ω+kωπ∉π,2π，进而可知π3ω+kωπ≤π或π3ω+kωπ≥2π，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.
【详解】函数fx=sinωx+π6,ω>0，由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足ωx+π6=π2+kπ,k∈Z，
解得x=π3ω+kωπ,k∈Z，由题意可知，在区间π,2π上没有最值，则π3ω+kωπ∉π,2π，，
所以π3ω+kωπ≤π或π3ω+kωπ≥2π，因为，解得ω≥13+k或ω≤16+12k，
当时，代入可得ω≥13或ω≤16，
当时，代入可得ω≥43或ω≤23，
当k=2时，代入可得ω≥73或ω≤76，此时无解.
综上可得0<ω≤16或13≤ω≤23，即的取值范围为0,16∪13,23.
故答案为：0,16∪13,23.
15.数列的通项，其前项和为，则S18为（ ）
A．173B．174C．175D．176
【答案】B
【分析】
化简可得，讨论取不同值时的通项公式，并项求和.
【详解】
当 时，；时，；
时，
所以
故选：B
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
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\l "_Tc30563" 【题型四】 图像和性质4：正余弦函数的对称中心应用9
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\l "_Tc30563" 【题型八】 最值与范围4：分式型18
\l "_Tc30563" 【题型九】 最值与范围5：绝对值型19
\l "_Tc30563" 【题型十】 三角换元1：圆代换22
\l "_Tc30563" 【题型十一】 三角换元2：双变量消元代换型24
\l "_Tc30563" 【题型十二】 三角换元3：无理根号代换型25
\l "_Tc30563" 【题型十三】 三角换元4：正切代换型26
\l "_Tc30563" 【题型十四】 三角换元5：向量中的三角换元型28
\l "_Tc30563" 【题型十五】 三角函数中W求解题33
\l "_Tc30563" 【题型十六】 数列与三角函数35
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练37
【题型一】 图像与性质1：“识图”
【典例分析】
已知函数，过点，，当，的最大值为9，则的值为（ ）
A．B．C．和D．
【答案】B
【解析】由图可得，所以，令，转化为求的最大值问题.
【详解】由已知，，所以，，又，，
所以，，故，
所以，
因，所以，，令，则，故，
若，易得，不符合题意；若，易得，解得（舍）；
若，易得，解得.故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则可；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【变式演练】
1.已知函数（，）的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为____.
【答案】
【分析】先据图求出解析式，在解得两个可转为特殊角的三角函数值，解不等式验证最小正整数即可.
【详解】由题图可知，（T为f（x）的最小正周期），
得T＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2cs（2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，
则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f(x)＝2cs，所以
，所以，
即（f（x）－1）f（x）＞0，可得f（x）＞1或f（x）＜0，所以cs或cs
当x＝1时，,，不符合题意；
当x＝2时，, cs符合题意，所以满足题意的最小正整数x为2.
故答案为：2
2.如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
【答案】C
【分析】首先利用二倍角公式将化简为，再由，分别为的图像上的最低点和最高点得到，再由，两点之间距离为得，从而求得的值，进而求得的值，由题可知的最小正周期为，由此得到的值，再由经过点及的范围求得的值，得到函数的解析式，进而判断函数在区间的单调性.
【详解】
如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，
连接，可知为直角三角形，，，
则，易知，解得，，∴，，得，，
∴，故，由函数的图像经过点可得，
则，，又，则，∴，
∴的单调递增区间为，得()，
的单调递减区间为，得()，
∴当时在区间上单调递减，故选C.
3.如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】
先由图用求出，由 求出,由 求出,
得到；运用二倍角公式和辅助角公式化简
利用三角函数图象平移性质得解.
【详解】如图知: , ， , 又
,,解得：
又,，，
由三角函数图象平移性质得
(技巧：由三角函数图象平移性质得 )所以函数向右平移个单位长度得到.故选：B
【题型二】 图像与性质2：求周期
【典例分析】
已知函数，则的最小正周期为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，则的最小正周期为，故选C.
【提分秘籍】
基本规律
1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解
2.利用图像观察求解。
3.定义证明：f（x+T）=f（x）
4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需要证明是否是最小正周期）
【变式演练】
1.函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
画出图象，再利用图象翻折得到观察图象可得周期.
【详解】
由的图象可知，.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数型的图像与性质.
三角函数周期的求解公式法：或的最小正周期为，的最小正周期为
2.已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.
解：由于在区间有三个零点，，，
当时，，∴由对称轴可知，满足，
即.同理，满足，即，
∴，，所以最小正周期为：.故选：C.
3.已知函数，则
A．的最小正周期为，最小值为1
B．的最小正周期为，最小值为-3
C．的最小正周期为，最小值为1
D．的最小正周期为，最小值为-3
【答案】D
【分析】首先利用余弦倍角公式，将式子进行化简，使得解析式中只有一个函数名，之后进行配方，结合正弦函数的周期和值域，求得函数的周期和最值，对选项逐一分析判断，得出结果.
【详解】化简函数解析式可得，
可以求得其最小正周期为，
其最大值为，最小值为，故选D.
【题型三】 图像与性质3：正余弦函数的对称轴
【典例分析】
设函数，若方程恰好有三个根，分别为 ，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
作图像，由图像可得， 的取值范围是
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
2.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。
3.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
【变式演练】
1.若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，由关于轴对称，则，
可得，，又，所以，即，
当时，，所以当时，即时，.
故选：A．
2.已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】化简；由题意知；从而可得，利用数形结合的方法求解即可．
解：；的最小值为，
；；；，作在，上的图象如下，
，；关于的方程在区间，上有两个不同的实数解，
；；故选：C．
3.已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且恒有，若存在成立，则b的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换可得，结合其性质求得，，即可得，根据正弦函数的性质确定的最值，最后由不等式恒成立求参数范围即可.
【详解】由题设，，
由相邻两个对称轴之间的距离为，故，
又关于对称，即，故，解得，∴，
当时，，此时的最大值为，最小值为，
若存在，使成立，则只需，
∴．故答案为：
【题型四】 图像和性质4：对称中心
【典例分析】
已知函数fx=3sinωx−π6ω>0图象对称中心和函数gx=3cs2x+φ的图象的对称中心完全相同，若，则函数的取值范围是____________
【答案】−32,3
【分析】化简得到fx=3csωx−2π3，根据对称中心相同得到，故fx=3sin2x−π6，当，2x−π6∈−π6,5π6，得到范围.
【详解】fx=3sinωx−π6，gx=3cs2x+φ,两函数对称中心完全相同，故周期相同，
故，故fx=3sin2x−π6，
当，2x−π6∈−π6,5π6，故fx=3sin2x−π6∈−32,3.
故答案为：−32,3.
【提分秘籍】
基本规律
1.一般情况下， 两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
【变式演练】
1..已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意求出的解析式，再根据x的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】函数的最小正周期，∴，解得：，
由于是函数的一条对称轴，且为的一个对称中心，
∴，（），则，（），则，
又∵，，由于，∴，故，
∵，∴，∴，∴.
故选：B．
2.已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，利用奇偶性定义可知为奇函数，并可确定在，上单调递增，由知，结合不成立可确定与大致图象，由图象可确定解集.
【详解】为上的奇函数，，
令，则，
为上奇函数；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增；
，，则，
又，当时，，
当时，不成立，即不成立，
由此可在坐标系中画出与大致图象如下图所示：
由图象可知：当时，，
即当时，.故选：C.
3.设函数.若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的图象可得，x2，x1关于点（，0）对称，|x2﹣x1|最小，进而可得结果.
【详解】根据函数f（x）＝sin（2 x +）∵f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），
令x2＞x1，根据图象，可得x2，x1关于点（，0）对称时，|x2﹣x1|最小，
∵x1x2＜0，∴x2＞0，则x1．∴可得|x2﹣x1|，故选：B．
【题型五】 最值与范围1：辅助角
【典例分析】
已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，
，，，②，
①②得，，即，解得，（舍去），
由①得，，，在第一象限，取，，
由，即，，，，，
使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B
【提分秘籍】
基本规律
要让学生学会推导一下过程，并且要学会非特殊角特殊值的推导。
【变式演练】
1.若，函数（）的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元法令，从而得到的取值范围.
【详解】因为（其中）．
令，因为，所以．
因为，且，所以，故，即．
当时，单调递减，
因为，
所以．故选D．
2.已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得
，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】，取，
当时，有最大值，即，所以，可得，
所以，，则，
因为，所以，为偶函数，
，，故B正确，故选：B.
3.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．
【详解】，
其中，，
因为，则，+
在上有两个不等实根，
在上有两个不等实根，
则，所以
①对任意，，恒成立．由②得，存在，成立，
所以，，所以．故答案为：4
【题型六】 最值与范围2：一元二次正余弦有界性
【典例分析】
.关于的不等式在区间上恒成立，的最大值为，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题中条件，得到，求出，根据特殊值验证，分别取，，，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
由得，
即，则，
为使不等式有解，必有；
所以，即，
若，则，即，则，
又显然恒成立，所以，
解得，；
由题意可得，是的子集，此时的最大值为，不满足题意，故排除AB选项；
若，则，即，显然对任意恒成立，此时无最大值；故C错；
若，则，即，
因为显然恒成立，所以，
解得，；
由题意可得，是的子集，此时的最大值为，满足题意，故D正确；故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
1.一般情况下，正弦余弦有一次二次，要以“一次”为变量
2.消元或者换元，要注意旧元与新变量之间的范围限制，包括互相限制。
【变式演练】
1.已知，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】把转化为关于的二次函数即可求得.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，所以.
故函数的值域是.故选：A.
2.已知且对任意，不等式无解，当实数取得最大值时，方程的解得个数为__________.
【答案】322
【分析】
根据余弦函数的二倍角公式将不等式转化为，再令则，可得不等式在无解，可得，解之可得的最大值，再代入方程中，可将方程化为，解之可得解的个数.
【详解】
根据余弦函数的二倍角公式将不等式转化为即，
令则，所以由题意得不等式在无解，
所以，解得，所以的最大值为，
所以方程化为，即，
所以，解得，所以整数的个数有322个，
所以当实数取得最大值时，方程的解得个数为322.
故答案为：322.
3.已知，若对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是__________.
【答案】
【分析】不等式变形为令，即上式变形为关于的一元二次不等式，对应的二次函数为，根据题意，若满足时不等式恒成立，则需时，恒成立，分类讨论，当或或时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.
【详解】.
设，.由题意可知，时，恒成立.
当对称轴时在上单调递减，则，即
当对称轴时，。解得即
当对称轴时在上单调递增，
则，即
综上所述：故答案为：
【题型七】 最值与范围3：sinx与csx积和（差）换元型
【典例分析】
函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将原式化简为，再令，将转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解值域.
解：
则且，令，则，则，，
当时，，
当时，，
故的值域为.故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
之间的互化关系
1.
2.
【变式演练】
1.函数的最大值为（ ）
A．B．3
C．D．4
【答案】C
【分析】令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得；
解：根据题意，设，则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.故选：C.
2.函数fx=sinxcsx+2sinx−π4的值域为________．
【答案】−12−2,1
【分析】令sinx−csx=t，函数化为y=−12(t−1)2+1，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】
由于fx=sinxcsx+2sinx−π4=sinxcsx+sinx−csx，
令sinx−csx=t，则sinxcsx=1−t22，于是函数化为y=1−t22+t=−12(t−1)2+1，
而t=sinx−csx=2sinx−π4∈[−2,2] ，
所以当时，函数取最大值1，
当t=−2时，函数取最小值−12−2，故值域为−12−2,1.
故答案为：−12−2,1.
3.函数y＝sinx－csx＋sinxcsx的值域为________.
【答案】−12−2,1
用换元法，设t＝sinx－csx，则sinxcsx＝1−t22，且−2≤t≤2，问题转化为求二次函数在某个区间上的值域．
【详解】设t＝sinx－csx，则t2＝sin2x＋cs2x－2sinx·csx，sinxcsx＝1−t22，
t2=1−sin2x∈[0,2]，∴−2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋＝－ (t－1)2＋1，t∈[－，].
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝−12−2.
∴函数的值域为−12−2,1.
【题型八】 最值与范围4：分式型
【典例分析】
函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】
当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，综合得，， 故最小值为：.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以用正余弦有界性：
2.可以用辅助角：
3.可以用外能公式代换：参考题型十
【变式演练】
1.设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
将函数整理为，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案.
【详解】因为，所以有，即，为辅助角，因为，所以，
化简得：，
由于恒成立，则判别式：
恒成立，
即有不等式的解集为由韦达定理可得故选：D
2..已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据换元法将函数的最小值与函数在区间的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
，
令，则，
因此函数的最小值与函数在区间的最小值相同，
又因为，当且仅当即时等号成立，
所以函数的最小值2.
故选：B
3.函数的最大值为_________.
【答案】.
试题分析： 令，则，，（其中）
，由于，，，
解得：故答案应填：．
【题型九】 最值与范围5：绝对值型
【典例分析】
若函数f(x)=a+bcsx+csinx的图象经过点(0,1)和π2,1，且当时，|f(x)|≤2恒成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】−2≤a≤4+32.
【分析】
由的图象经过(0,1)和π2,1两点，可得b，c与的关系，将原函数转化为只含有变量的函数，对的取值分a>1，a=1，a<1讨论，求出的最值，转化为最值问题即可求解.
【详解】因为经过点(0,1)和π2,1，
所以f(0)=a+b=1，fπ2=a+c=1，可得b=c=1−a，
故f(x)=a+(1−a)csx+(1−a)sinx=a+(1−a)(sinx+csx)=a+2(1−a)sinx+π4
因为0≤x≤π2，所以π4≤x+π4≤3π4，所以22≤sinx+π4≤1，
当a<1时，1−a>0，可得1−a≤2(1−a)sinx+π4≤2(1−a)，
所以1≤f(x)≤2(1−a)+a，要使−2≤f(x)≤2恒成立，只要2(1−a)+a<2，
即a≥−2，又a<1，从而−2≤a<1；
当a=1时，f(x)=1∈[−2,2]；
当a>1时，1−a<0，所以1−a≥2(1−a)sinx+π4≥2(1−a)，
所以1≥f(x)≥2(1−a)+a，要使−2≤f(x)≤2恒成立，只要2(1−a)+a≥−2.
解得a≤4+32，又a>1，从而1
故答案为：−2≤a≤4+32.
【提分秘籍】
基本规律
这类题较难，需要分类讨论。
【变式演练】
1..函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如何去函数中的绝对值，需判断的正负，将的范围缩小，考虑周期性，只要研究一个周期的值域即可，而，周期为，取，对分段讨论，由辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可求解.
【详解】，所以周期为，取，
当，其中，
当时，，，；
当，其中，
当时，，，；
，周期为，所以的值域为.故选:A.
2.已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.
解：由题可知，不妨设，
对于，对任意实数，，方程有解，
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，所以，
综上得：；
对于，对任意实数，，方程也有解，
当时，方程可化为有解，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合为.故答案为：.
3.已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为M，则M的最小值为________.
【答案】
【分析】求出的值，取，然后对函数在区间上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得的最小值.
【详解】
由于函数的最小正周期为，则，.不妨取，则.
若函数在区间上单调，则，
若函数在区间上先增后减，则；
若函数在区间上先减后增，同理可知的最小值为.
，综上可知，的最小值为.故答案为：
【题型十】 三角换元1：圆代换
【典例分析】
如图，已知为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的最小值为_______．
【答案】1
【分析】如图建系，设P点坐标，则可得的坐标，根据题意，可得的表达式，代入所求，根据的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.
【详解】取BC中点O，以O为原点，OC，OA方向为x轴y轴正方向建系，如图所示
由题意得：，所以，
如图以BC为直径的半圆方程为：，设，因为，所以，
则，，因为，所以，
整理可得，所以，
因为，所以，当时，取最大值，
所以的最小值为，故答案为：1
【提分秘籍】
基本规律
圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y
的参数方程是：
【变式演练】
1.若，那么的最大值为_________________.
【答案】
【分析】设，利用三角函数有界性得函数的最大值.
【详解】设，所以
所以的最大值为.故答案为：
2.记，其中、，已知、是椭圆上的任意两点，是椭圆右顶点，则的最大值是______.
【答案】
【分析】
设点，其中，可得，分和两种情况讨论，结合辅助角公式求得的最大值，同理可求得的最大值，由此能得出结果.
【详解】
设点，其中，易知点，
则.
①当时，，
，则，当时，取最大值；
②当时，，
，则，当时，取最大值.
综上所述，的最大值，同理可知，的最大值也为.
因此，的最大值是.
故答案为：.
3.设圆上两点，满足：，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先由数量积公式可得，再根据绝对值的几何意义得表示两点，分别到直线的距离之和，再以直线为轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示，根据角的范围求值域.
【详解】由，得.设表示两点，分别到直线的距离之和.
取直线为轴重新建立直角坐标系后，则表示两点，分别到轴的距离之和.
在新的直角坐标系下，设，。则有.
由对称性，不妨设点在轴上或上方，即.
所以， 时，，
得，则，
当时，，
，此时 综上得，
从而得.故答案为：
【题型十一】 三角换元2：双变量消元代换
【典例分析】
已知非负实数，满足，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】由，得，用换元法，令，，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.
【详解】由题意得：，令，， 又，为非负实数，
，，，即，
解得，.故（其中），
，即，，即
又在上单调递增，∴当时，取得最大值，
故当，时，取得最大值，最大值为.故答案为：
【提分秘籍】
基本规律
1.二次型双变量可以三角换元
2.椭圆型，或者双变量型，可以适当选择多项式三角函数换元。
【变式演练】
1.已知实数满足,则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
设
因此
因为 ，所以，即取值范围是
点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
2.已知实数x，y满足，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】因为实数，满足，设，，
，
恒成立，
，
故则的最小值等于.故选：．
【题型十二】 三角换元3：无理根号代换
【典例分析】
若y=x−4+18−3x，则的取值范围是________
【答案】[2,22]
【分析】首先求出的取值范围，令x=4+2sin2t，t∈0,π2将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；
解：因为y=x−4+18−3x所以x−4≥018−3x≥0解得4≤x≤6，令x=4+2sin2t，t∈0,π2
则y=4+2sin2t−4+18−34+2sin2t=2sint+6cst=22sint+π3。所以y=22sint+π3，
因为t∈0,π2，所以t+π3∈π3,5π6，所以sint+π3∈12,1
所以y∈2,22故答案为：2,22
【提分秘籍】
基本规律
通过本专题注意总结积累无理单根号，双根号等等三角换元的数字特征
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4,。一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。
【变式演练】
1.已知，则的最大值为_________.
【答案】8
【分析】设，不妨设，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案.
【详解】设，不妨设，
则，故，所以，
可设，，则
，当且仅当时取等号
即的最大值为8.故答案为：.
2.函数y=x−4−x2的值域为________．
【答案】−22,2
【分析】函数的定义域为−2,2，设x=2csθ将原函数转化为关于的三角函数，利用同角三角函数基本关系以及辅助角公式，余弦函数的性质即可求解.
【详解】由4−x2≥0可得−2≤x≤2，即函数的定义域为−2,2。所以设x=2csθ，θ∈0,π，
则y=2csθ−4−4cs2θ=2csθ−2sinθ=2222csθ−22sinθ=22csθ+π4，
因为θ∈0,π，所以θ+π4∈π4,5π4，所以csθ+π4∈−1,22，所以y=22csθ+π4∈−22,2，
所以函数y=x−4−x2的值域为−22,2，故答案为：−22,2.
3.设r，t∈R满足r−2t−2r−t+1=0，则r的取值范围是______．
【答案】3−22,3+22
【分析】原方程可变形为r−t−12+t−12=1，再设r−t=1+csα，t=1+sinα，进而可得r=3+22sinα+π4，然后根据三角函数的有界性求出r的范围即可.
【详解】
将r−2t−2r−t+1=0配方得r−t−12+t−12=1，
设r−t=1+csα，t=1+sinα，α∈0,2π得：
r=1+csα2+1+sinα2=3+2sinα+csα=3+22sinα+π4，
又因为−1≤sinα+π4≤1，α∈0,2π，
所以r∈3−22,3+22.故答案为：3−22,3+22.
【题型十三】 三角换元4：正切代换
【典例分析】
设，则的最小值是____________．
【答案】
【分析】由题意，利用三角换元，令.则，化为讨论的最小值即可.
【详解】∵a⩾0,∴可令.则，
化为，化为，
.当时，即a=1时取等号.因此的最小值是.故答案为.
【提分秘籍】
基本规律
适当掌握万能代换公式。并且万能代换还能用于二选一题4-4的消参。具体参考高考题
2019年新课标1第22题，如下，消参方法之一，就是万能代换。
在曲线C的参数方程为（t为参数）
【变式演练】
1.函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．C．，0D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得，再令，，可得，再根据二次函数的性质即可求出结果.
【详解】设，则，则
，
由，得，所以，
所以当，即时，；当，即时，.故选：D.
【题型十四】 三角换元5：向量中的三角换元
【典例分析】
已知平面向量，，则的最大值是_______，最小值是_______.
【答案】
【分析】
设， 易得，则，进而表示，作图分析只讨论；利用分类讨论与的投影的正负，以与垂直，与垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.
【详解】
因为，可设， 易得，则
所以或 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为；
从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论
①当与的投影均非负时，显然以与垂直是第一个分界线，则
则
因为，所以
由，即，则，所以最小值为11，最大值为16；
②当与的投影为负，与的投影为正时，显然以与垂直是第二个分界线，则
则
显然在第四象限，因，所以，即，故，
所以在区间上应单调递减，
故；
③当与的投影均为负时，则
所以
由①中，即
所以在区间上应单调递减
故；
综上所述，的最大值为16，最小值为.
故答案为：(1).；(2).
【提分秘籍】
基本规律
向量中的三角换元原理之一，就是源于,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
【变式演练】
1.已知平面向量，，则的最大值是_______，最小值是_______.
【答案】
【分析】
设， 易得，则，进而表示，作图分析只讨论；利用分类讨论与的投影的正负，以与垂直，与垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.
【详解】
因为，可设， 易得，则
所以或 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为；
从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论
①当与的投影均非负时，显然以与垂直是第一个分界线，则
则
因为，所以
由，即，则，所以最小值为11，最大值为16；
②当与的投影为负，与的投影为正时，显然以与垂直是第二个分界线，则
则
显然在第四象限，因，所以，即，故，
所以在区间上应单调递减，
故
；
③当与的投影均为负时，则
所以
由①中，即
所以在区间上应单调递减
故
；
综上所述，的最大值为16，最小值为.故答案为：(1).；(2).
2..已知､是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中､，则的最大值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.
解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，设，
可得，，，由，，得，，，，
，，，
当时，的最大值为2，此时为弧的中点.所以的最大值是2.
故选：B.
3.已知非零平面向量a，b，c满足：a，b的夹角为，c−a与c−b的夹角为，a−b=23，c−b=2，则b⋅c的取值范围是______．
【答案】0,6+43
【分析】以点为起点作向量OA=a，OB=b，OC=c，
则BA=a−b，BC=c−b，AC=c−a，
由a，b的夹角为，c−a与c−b的夹角为可知：四点O,A,B,C共圆，然后结合正弦定理与三角函数求解即可
【详解】如图：以点为起点作向量OA=a，OB=b，OC=c，
则BA=a−b，BC=c−b，AC=c−a，由a，b的夹角为，c−a与c−b的夹角为可知：四点O,A,B,C共圆，
由a−b=23，c−b=2得AB=23，BC=2，在中：ABsin∠ACB=BCsin∠CAB，即23sin2π3=2sin∠CAB
所以sin∠CAB=12，所以∠CAB=π6，由同弧所对的圆周角相等，可得∠COB=π6，
设∠OCB=θ，则∠OBC=5π6−θ，在△OBC中：BCsinπ6=OBsinθ=OCsin5π6−θ，
所以OB=4sinθ,OC=4sin5π6−θ，b⋅c=bccs∠COB=OB×OC×csπ6=4sinθ×4sin5π6−θ×32
=83sinθ12csθ+32sinθ=43sinθcsθ+12sin2θ
=23sin2θ−6cs2θ+6=43sin2θ−π3+6，∵0<θ<5π6，∵−π3<2θ−π3<4π3，
∴−32
故答案为：0,6+43
【题型十五】 三角函数中w求解
【典例分析】
函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或∴或
∴或∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
求题型多为难题，规律不明显，大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。
【变式演练】
1.已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
,,由，得，,由对称轴,假设对称轴在区间内，可知当k=1,2，3时，，现不属于区间，所以上面的并集在全集中做补集，得，选B.
2.已知函数f（x）=cs（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______．
【答案】
【分析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可．
【详解】由题意可得，即，解得，
又因为在上单调，所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，所以，
又，解得，所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，
同理，令，，在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
3.已知定义在上的函数（）的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】换元，令，讨论与的大小关系，由单调性即可求出函数的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数的取值个数．
【详解】
令，
①当时，即，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当时，即，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以．
设，，
，因为，在上递减，
所以在上递减，存在，使得，因此在上递增，在上递减，而，，，由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，即说明只有一个实根，综上可知，正实数的取值个数最多为2.
故选：C．
【题型十六】 数列与三角函数
【典例分析】
知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【详解】
当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；故选：C
【变式演练】
1.设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．
【答案】
【分析】
利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为，当时，，
又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
所以，又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
由此可得，所以，
所以．故答案为．
2..已知函数，数列中，，则数列的前100项之和____．
【答案】10200
【详解】因为，所以
同理可得：
,
的前100项之和.故答案为 .
3.设数列{an}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），fn（x）=b总有两个不同的根，则{an}的通项公式为 ．
【答案】
【详解】
试题分析：根据条件确定an+1﹣an=nπ，利用叠加可求得{an}的通项公式．
解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，
又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π
∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π
又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cs|，x∈[π，a3]
∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…
又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinx|，x∈[3π，a4]
∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π
由此可得an+1﹣an=nπ，
∴an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=
∴故答案为
1.已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由为偶函数得到为偶函数，从而得到，再由得到，从而得到解析式，通过求导找到极大值点，代入计算即可.
【详解】
因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
又，所以，由图象及，所以
解得，结合时，知
所以，因为和为偶函数，所以只需考虑
的情况，当时，，
当，即时，有极大值， 此时.
故选：B.
2.已知函数f(x)＝sin的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期为_______．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：由已知可得(不妨取)，则最大值点在圆上，则，.
考点：1、函数的图像与性质；2、圆的方程.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质和圆的方程，综合性较高，属于较难题型.解决本题的关键是由图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点这一条件判断出的(不妨取)，进而可得最大值点在圆上（用最小值点也可以），从而代入圆方程问题就迎刃而解.
3.已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.
【答案】
【分析】
由已知写出的对称轴方程及其周期，判断端点、的值，问题转化为在上与的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.
【详解】
由，则，而，知：关于对称，
又最小正周期为，，
∴在上的函数图象如下，其与的交点横坐标，即为的根，，，，，，
∴如图，区间内共有6个根，且有，
∴.
故答案为：.
4.当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，所以，
所以
又，所以故答案为：.
5.已知，则的最大值为____________
【答案】9/16
【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】
，
，，即
又，
利用二次函数的性质知，当时，sinx−sin2ymax=−34−122−1=916..故答案为：916
6.已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.
【答案】
【详解】
由题意，知，则线段的中点为.
而.① ；设，②
①、②两式分别平方，相加，得，解得.
又，所以，故取.
所以线段中点的纵坐标为.
7.已知函数（），则的最大值为__________．
【答案】
【分析】
利用两角差的正弦公式将化为，利用二次函数与正弦函数性质可得结果.
【详解】
，当时，，时函数的最大值为，此时，函数在时取得最小值1，∴的最大值为.
故答案为
8.若不等式，对于成立，则，分别等于（ ）
A．；B．；C．；D．；
【答案】D
【分析】设，根据三角函数值的符号，求得函数符号的变化，根据函数的单调性与对称性，求得的值，即可求解.
【详解】由，则，
当或时，即或时，，
当时，即时，，
所以当或时，，
当时，，
设函数，则在上单调递增，在上单调递减，
且函数的图象关于直线对称，所以，
所以，解得，
又由，解得，
所以，.故选：D.
9.设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】设，，，则
再放缩可得
其大于等于结合已知条件，利用辅助角公式化简即可求最值.
【详解】设，，
则有
当且仅当时取最小值，即，此时，，
的最小值是，故选：D.
10.若集合P＝，Q＝，则PQ表示的曲线的长度为_______.
【答案】
【分析】
作出与的图象，得到PQ表示的曲线，利用圆的弧长即可求解.
【详解】
由得，由得且，作出两曲线图像如下：
此时PQ表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧AB部分，
直线与圆心的距离，且r＝2，在 中，，
∴，∴曲线长度为：.故答案为：
11.函数y＝x＋的最小值为________．
【答案】5－
【分析】整理y＝x＋得：y＝x＋，利用作三角换元得：x－5＝cs α，，即可整理函数为：y＝2sin＋5，利用三角函数的性质即可得解.
【详解】原函数可化为：y＝x＋.由2－(x－5)2≥0⇒|x－5|≤，令x－5＝cs，
那么y＝cs＋5＋sin＝2sin＋5.
因为＋∈，所以sin∈，所以函数的最小值为5－.
12.已知单位向量满足，，则对任意，的最小值为___________.
【答案】
【分析】不妨设单位向量，，，，用坐标表示出向量的模，然后由二次函数性质得最小值，再由二倍角公式求得，由各差化积公式变形，结合正弦函数性质和绝对值的性质得最小值．
【详解】由题意不妨设单位向量，，，，
其中，，，．
，．
，
，
所以时，
，
又，，所以．故答案为：．
13.设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】考虑在上无极大值点和有且只有一个极大值点的取值范围，取其补集后可得所求的取值范围.
【详解】令，解得，.若在上无极大值点，
则存在实数，使得，整理得到，解得，
因为且存在，故，或，故或.
若在上有且只有一个极大值点，则存在实数，
使得，或，
解得①或者②，对于①，因为且存在，故且，
故整数满足，
当时，，当时，，
当时，，故
对于②，同理可得
综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，.
故函数在上至少存在两个极大值点，.
故答案为：.
14.若函数fx=sinωx+π6ω>0在区间π,2π上没有最值，则的取值范围是______.
【答案】0,16∪13,23
【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由在区间π,2π上没有最值可知π3ω+kωπ∉π,2π，进而可知π3ω+kωπ≤π或π3ω+kωπ≥2π，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.
【详解】函数fx=sinωx+π6,ω>0，由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足ωx+π6=π2+kπ,k∈Z，
解得x=π3ω+kωπ,k∈Z，由题意可知，在区间π,2π上没有最值，则π3ω+kωπ∉π,2π，，
所以π3ω+kωπ≤π或π3ω+kωπ≥2π，因为，解得ω≥13+k或ω≤16+12k，
当时，代入可得ω≥13或ω≤16，
当时，代入可得ω≥43或ω≤23，
当k=2时，代入可得ω≥73或ω≤76，此时无解.
综上可得0<ω≤16或13≤ω≤23，即的取值范围为0,16∪13,23.
故答案为：0,16∪13,23.
15.数列的通项，其前项和为，则S18为（ ）
A．173B．174C．175D．176
【答案】B
【分析】
化简可得，讨论取不同值时的通项公式，并项求和.
【详解】
当 时，；时，；
时，
所以
故选：B
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