重庆市第八中学校2023届高三下学期二模数学试卷（含答案）

这是一份重庆市第八中学校2023届高三下学期二模数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学校2023届高三下学期二模数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、若集合，，则(   )A. B. C. D.2、若，，则(   )A. B. C.2 D.103、某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，(   )A.0.14 B.0.18 C.0.23 D.0.264、比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，OA的方向即为A点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为，则中轴线与赤道所在平面所成的角为(   )A. B. C. D.5、若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为(   )A.32 B.-32 C.16 D.-16 6、已知函数，则(   )A.4 B.5 C.6 D.77、如图所示，梯形ABCD中，，且，点P在线段BC上运动，若，则的最小值为(   )A. B. C. D.8、已知函数，则的解集为(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、已知P是椭圆上一点，,是椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的是(   )A.椭圆C的短轴长为 B.,的坐标为,C.椭圆C的离心率为 D.存在点P，使得10、随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(   )A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数为周期函数，且最小正周期为D.函数导函数的最大值为311、已知a,，满足，则(   )A. B. C. D.12、在数列中，（,，p为非零常数），则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是(   )A.是等方差数列B.若正项等方差数列的首项，且,,是等比数列，则C.等比数列不可能为等方差数列D.存在数列既是等差数列，又是等方差数列三、解答题13、设F为抛物线的焦点，点A在C上，过A作y轴的垂线，垂足为M，若，则_________.14、已知在正项等比数列中，，，则使不等式成立的正整数n的最小值为________．15、已知函数存在唯一零点，则k取值范围为_________.16、以棱长为的正四面体中心点O为球心，半径为的球面与正四面体的表面相交部分总长度为_________.17、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.（1）证明：；（2）若，求边长a,c.18、已知各项均为正数的数列的前n项和为，且,,为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若m为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.19、某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数X人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.（1）统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的值；（2）若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的分布列及数学期望.20、在三棱柱中，，且.（1）证明：；（2）若，二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值.21、已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.22、在平面直角坐标系xOy中，双曲线的离心率为，实轴长为4.（1）求C的方程；（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.
参考答案1、答案：C解析：，，.故选：C.2、答案：A解析：，所以，故选：A．3、答案：C解析：因为，，所以，又，所以.故选：C.4、答案：A解析：如图所示，AP为比萨斜塔的中轴线，，，则，中轴线与赤道所在平面所成的角为.故选:A.5、答案：B解析：的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大，，，的第项为，（），令，解得：，，即：展开式中项的系数为-32.故选：B.6、答案：D解析：由题意可得，故选：D.7、答案：B解析：如图建立平面直角坐标系，则，,,，,设,，，，又，，解得，，即的最小值为.故选：B.8、答案：C解析：,均为偶函数，故函数为偶函数，令则，，即在R上单调递减，又,在恒成立，故函数在上递减，在递增..故选：C.9、答案：AC解析：椭圆的焦点在轴上，，,则短轴长为，A正确；,的坐标为，B错误；离心率为，C正确；因为，故以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆没有交点，故不存在点P，使得，D错误，故选：AC.10、答案：ABD解析：因为函数，定义域为R，对于A， ，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，所以函数为奇函数，图象关于点对称，故B正确；对于C，由题知，故C错误；对于D，由题可知，且，故D正确.故选：ABD.11、答案：ABD解析：对于A，由，得，当且仅当时等号成立，A正确；对于B，由，得且a,，令，则，解得，解得，得在上单调递增，在上单调递减，所以，即，B正确；对于C，当,时，满足，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.12、答案：BC解析：设，则不为非零常数，所以不是等方差数列，故A错误；由题意，则，由,,是等比数列，得，解得或（舍去），当时，,满足题意，故B正确；设数列为等比数列，不妨设，则，所以，若为常数，则，但此时，不满足题意，故C正确；若数列既是等差数列，又是等方差数列，不妨设，（,,p为非零数），，所以，即，所以，即，所以为常数列，这与,矛盾，故D错误.故选：BC.13、答案：4解析：由抛物线的定义知，所以,.故答案为：414、答案：9解析：设等比数列的公比为q，且，因为，，所以，所以，所以．因，即，当时，；当时，，所以正整数n的最小值为9．故答案为：915、答案：解析：存在唯一零点，是的唯一零点，则在上无零点或有唯一零点，即在上无解或有唯一解令，则，所以在单调递减，在上单调递增，在处有最小值.由图可知，要使在上无解或有唯一解，只需.  综上，.故答案为：.16、答案：解析：将正四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，所以正四面体的体积为，表面积为，设正四面体的内切球半径为，则，解得.显然内切球心为O，故O到面ABC的距离为，球面与面ABC相交部分为以的圆，设三角形ABC的内切圆半径为，圆心为,D为BC的中点，则,，故，此时恰好，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，故当时，圆弧总长度为.故答案为：17、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为，则，即，由正弦定理可得，因此，；（2）因为，由正弦定理可得，由平面向量数量积的定义可得，所以，，可得，即，所以，，则，.18、答案：（1）（2）2500解析：（1），，为等差数列，，且，当时，，可得；当时，，则，由，故，所以是首项为1，公差均为1的等差数列，故.（2）由，即，即，所以，所以的前50项和为.19、答案：（1）（2）分布列见解析，解析：（1）由题意得：，，，，，，.（2），，则，Y可能的取值为0,1,2,3，,,;Y的分布列为：Y0123P数学期望.20、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）设AC的中点为O，连接，,因为，所以，又因为，且，,平面，所以平面因为平面，所以，又因为O是AC中点，所以.（2）由上可知：，在中，由余弦定理得，则，，又因为平面，二面角的大小为，则，如图所示，由（1）知，以,所在直线分别为x轴，y轴，以过O垂直于底面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则z轴面，可得坐标如下：，,,,则，,,.设平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，则，即，，令，则，即，记平面与平面的夹角为,.21、答案：（1）答案见解析 （2）解析：（1），令，则两根分别为，.（i）当时，在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；(ii)当时，令得或，令得，所以单调递增区间为，单调递减区间为；(iii)当时，令得或时，令得，所以单调递增区间为，单调递减区间为.综上当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知，若，则，,的在区间单调递增.又，所以对，恒成立对，恒成立，对，恒成立，令，则在上单调递减，则在上恒成立，又，且，在上恒成立，即令，则令得，令得，在上单调递增，在上单调递减，所以22、答案：（1）（2）解析：（1）因为实轴长为4，即，，又，所以，，故C的方程为.（2）由O，A，N，M四点共圆可知，，又，即，故，即，所以,设，，，由题意可知，则直线，直线，因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，故M坐标为，所以，又，由，则，整理可得，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线，代入双曲线方程：中，可得，所以，，又，所以,故，即，所以点P坐标为.