2023年吉林省长春市榆树市八号镇中考数学三模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市榆树市八号镇中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式组的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、若与的面积和为，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  火星赤道半径约为米，用科学记数法表示为______ 米

10.  在函数中，自变量的取值范围是______．

11.  如图，在平面直角坐标系中，点，点将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为          ．

12.  如图，四边形的两边、与相切于、两点，点在上，若，则的度数为______ ．

13.  如图，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为若，则图中阴影部分图形的面积为______ 结果保留

14.  在平面直角坐标系中，点、在抛物线上当时，抛物线上、两点之间含、两点的图象的最高点的纵坐标为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”、“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字请用画树状图或列表的方法，求两次记录的数字之和为的概率．

17.  本小题分
某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树棵，实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同，求实际每天植树的棵数．

18.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
在方格纸中将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，请画出；
在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形点在小正方形的顶点上连接，请直接写出线段的长．
 

19.  本小题分
民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？必选且只选一类”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的请你根据图中提供的信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
请通过计算补全条形统计图；
若民海中学共有名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．

20.  本小题分
如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．
求证：四边形是菱形．
若点是的中点，，，则的值为______ ．

21.  本小题分
现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以的速度匀速驶向景点两辆车的行驶路程与时间之间的函数关系如图所示．
甲车停留前行驶时的速度是______ ， ______ ；
求甲车停留后继续行驶时的行驶路程与时间之间的函数关系式；
求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？

22.  本小题分
【学习心得】请你完成下列证明：如图，和均为等边三角形，点在边上，连接求证：；
【类比探究】如图，和均为等腰直角三角形，，点在边上若，，则的长为______ ；
【拓展延伸】如图，在正方形中，对角线与交于点，在中，，点、分别在边、上，点在线段上若，则 ______ ．

 

23.  本小题分
如图，在中，，，点为边的中点点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动以为边作正方形，点在边上设点的运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长．
连接，则 ______ 度；当点与点的距离最短时，线段的长为______ ．
连接，当将正方形的面积分为：两部分时，求的值．
作点关于直线的对称点，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出的值．

24.  本小题分
已知是的外接圆，为的直径，点为的中点，连接并延长交于点，连接，交于点．
如图，求证：；
如图，过点作，交于点，交于点，连接，，若，求证：；
如图，在的条件下，连接，若，求的长．

 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，点，与轴交于点．
求，的值；
如图，点在该抛物线上，点的横坐标为过点向轴作垂线，垂足为点点为轴负半轴上的一个动点，连接，设点的纵坐标为，的面积为，求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，连接，点在上，过点向轴作垂线，垂足为点，连接交轴于点，点为的中点，过点作轴的平行线与过点所作的轴的平行线相交于点，连接，，延长交于点，点在上，连接，若，，求直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故选：．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
考查了绝对值的性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，下面一层有个正方形，上面一层右边有个正方形，即看到的图形为，
故选：．
根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，熟知从左边看到的图形是左视图是解答的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

由题意可知为的切线，
．
，
，
．
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质可得出，从而可证，进而得出最后根据等边对等角即得出．
本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形的对称轴与坐标轴重合，
，点是矩形的对称中心，

反比例函数的图象也关于点成中心对称，
，
，
，
，
，
设，则，，
点、都在反比例函数的图象上，
，，
，，
，
，
解得：，
故选：．
根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点、的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出的值．
本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故答案为：．
根据分母不能为，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设．
线段绕点旋转得到线段，
，
点，点，
，，
，，
．
设，根据题意构建方程组求解即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是学会利用参数解决问题即可．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接、，

、与相切，
，
，
，
，
．
故选：．
连接、，由、与相切，可得，再由即可求解；
本题主要考查圆周角定理、切线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可得：≌，
，，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质可得≌，再由，利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查不规则阴影部分面积的求法及扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
当时，，不符合题意；
当时，抛物线上、两点之间含、两点的图象的最高点的纵坐标不可能为，不符合题意；
当时，随增大而增大，
当时，函数值，
即，
解得，
，
，
故答案为：．
根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求解即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：根据题意，作树状图如下：

由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两次记录的数字之和为的有种结果，
所以，两次记录的数字之和为的概率为． 

【解析】根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案．
本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．
 

17.【答案】解：设实际每天植树棵．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：实际每天植树棵． 

【解析】设实际每天植树棵，根据题意可列方程，然后计算即可．
本题主要考查分式的应用，解题的关键是理解题意．
 

18.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
．
 

【解析】利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点即可；
先把绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，然后取的中点，则满足条件，最后利用勾股定理计算．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

19.【答案】解：名，
答：一共抽取了名学生；
名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计该中学最喜欢球类的学生共有名． 

【解析】根据最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的即可得出答案；
先求出武术类的人数，再补全统计图；
利用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】 

【解析】证明：垂直平分，
，，
，，
≌．
．
，
四边形是平行四边形．
，
▱是菱形．
解：

四边形是菱形，
又，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
由垂直平分，得出，，可得出≌，由此可知，根据菱形的判定即可求证．
由四边形是菱形，，可知，根据勾股定理求出，点是的中点，得出，即可求解．
本题主要考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质是解此题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：根据函数图象可得当时，，
甲车停留前行驶时的速度是，
乙车的速度为，
，
故答案为：，．
设，把，代入，

解得
所以；
当时，，
甲用的时间：．
乙用的时间：，
，即分钟．
答：甲车比乙车早分钟到达旅游景点．
根据函数图象可知当时，，根据路程除以时间得出甲车的速度；根据路程除以乙的速度，得出的值；
待定系数法求即可求解；
根据题意当时，代入的解析式得出甲的用时，根据路程除以时间得出乙所用的时间，求其差即可求解．
本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】

学习心得：证明：
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
．

类比探究：解：
如图，连接，

和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：．

拓展延伸：解：
如图，过点作交于点，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】学习心得：证明≌即可得出；
类比探究：连接，由≌得出，，然后在中用勾股定理即可求出的长；
拓展延伸：过点作交于点，证明∽即可得出结论．
本题主要考查了等腰三角形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．  

23.【答案】   

【解析】解：由题可得：当时，；
当时，．

如图：连接，，
四边形是正方形，
，
在中，，，
，
当，即时，有最小值．

故答案为：；；

如图：当时，，，

，，
，即，
，
，
，即，即，
解得：．

如图：当时，，，，
，，
，
解得：．


如图：当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
作点关于直线的对称点，
≌，
，，
，
，
，
解得：；

如图：当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上，
作点关于直线的对称点，
≌，
、，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
，
，，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，解得：；

当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
作点关于直线的对称点，
≌，
，
，
，解得：．

综上，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，的值为或或．
直接根据题意分和两种情况解答即可；
如图：连接，，根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理列出的表达式，再根据配方法即可解答；
分和两种情况，分别画出图形，再根据图形以及已知条件列式计算即可；
分和两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理进行计算即可．
本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、对称的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，过点作，交于点，连接交于，

，
，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，，
；
证明：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
；
解：如图，过点作于，延长交于点，

由知：，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
设，则，，
由知：，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，即，
，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：舍，，
． 

【解析】如图，过点作，交于点，连接交于，先根据垂径定理可得：，，根据圆周角定理得平分，平分，，所以，根据三角形的外角的性质和对顶角相等可得结论；
先根据证明≌，得，根据同角的余角相等可得，最后根据内错角相等可得；
如图，过点作于，延长交于点，设，则，，证明≌，得，根据等角的正切可得的长，根据勾股定理列方程可得的值，最后由勾股定理可得的长．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，垂径定理，三角函数，勾股定理，角平分线的定义和圆周角定理等知识，第三问有难度，求出的长是本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，点，
，解得：，
故，；
如图，由得：，，
抛物线的解析式为，
点在该抛物线上，点的横坐标为，
，
，
轴，
，
，
点为轴负半轴上的一个动点，且点的纵坐标为，
，
，
，
故关于的函数解析式为；
如图，过点作，交的延长线于点，过点作轴于点，
由知：抛物线的解析式为，
当时，，，
，
轴，轴，
，
点为的中点，
，
，
≌，
，，
设直线的解析式为，
，
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为． 

【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
运用待定系数法即可求得答案；
根据“点在该抛物线上，点的横坐标为”，可得，，，再利用三角形面积公式即可求得答案；
如图，过点作，交的延长线于点，过点作轴于点，先证明≌，可得：，，再运用待定系数法求得直线的解析式为，得出，可得，再由，可得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而推出，证得∽，进而得出，由，可得，再证明≌，求得，再运用待定系数法即可求得答案．