2024全国一轮数学（基础版）微专题14 空间几何体的内切球课件PPT

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例1　如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．(例1)
【解答】 如图，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD，BC的垂线，垂足为E，F，设O1的半径为r，O2的半径为R.(例1)
(1) 求两球半径之和；
(2) 当两球的半径分别为多少时，两球体积之和最小？
【解析】 如图，连接AC1.(变式)
在直三棱柱A1B1C1－ABC中，已知A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为(　 　)
【解析】 如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接PM，PN，MN.(例2)
由△PAB是正三角形，得PM⊥AB，又底面ABCD是矩形，所以MN⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊂平面PAB，MN⊂平面 ABCD，因此PM⊥平面ABCD，MN⊥平面PAB.又AD∥MN∥BC，则AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以AD⊥PA，BC⊥PB.因为PM∩MN＝M，PM，MN⊂平面PMN，所以AB⊥平面PMN.又PN⊂平面PMN，所以AB⊥PN，而AB∥CD，则CD⊥PN，显然△PAD≌△PBC，由球的对称性及四棱锥P－ABCD的特征知，平面PMN截四棱锥P－ABCD的内切球O得截面大圆，此圆是Rt△PMN的内切圆，分别切MN，PM于点 E，F，且四边形OEMF为正方形．
【解答】 如图，球O是正三棱锥P－ABC的内切球，点O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R，PH是正三棱锥的高，即PH＝1.(变式1)
1. 解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系．2. 球的内切问题(等体积法)．例如：如图，在四棱锥P－ABCD中，内切球为球O，求球O的半径r.方法如下：VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB，
3. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离．4. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合．