高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——等差数列

第28讲 等差数列

1、等差数列的概念

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．

2、等差数列的四种判断方法

(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．

(2)等差中项法： ()是等差数列．

(3)通项公式：(为常数)是等差数列．

(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．

3、若等差数列的公差为d,则时递增；时递减；时是常数数列.

4、对于任意数列，

为递增数列；（时，数列严格递增）

为递减数列；（时，数列严格递减）

5、等差数列前项和公式：；

6、等差数列的前n项和Sn的性质

（1）等差数列中依次项之和，，，,…组成公差为的等差数列

(2)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则

7、等差数列前项和的最值

在等差数列中，

（1）若有最大值,可由不等式组来确定；

（2）若有最小值,可由不等式组来确定

（3）求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数,通过配方求最值

题型一：等差数列通项公式

1．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【详解】

由题设，，解得.

故选：A

2．（全国高二单元测试）在数列中，，，若，则（    ）

A．671 B．672 C．673 D．674

【答案】D

【详解】

∵，，

∴

∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，

∴，解得.

故选：D.

3．（江西南昌·高三开学考试（理））设为数列的前n项和，若，，则（    ）

A． B． C．10 D．

【答案】C

【详解】

解：因为，所以有，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以.

故选：C.

4．（北京牛栏山一中）已知数列中，，，则等于（    ）

A．-12 B．12 C．-16 D．16

【答案】A

【详解】

解：数列中，，，即，

所以数列为等差数列，公差为，

所以，

所以．

故选：A．

5．（庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【详解】

由，得.

又，所以.

故选：B

题型二：等差中项

1．（全国高二单元测试）在等差数列中，，则（    ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【详解】

由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，
则，所以.
故选：B.

2．（北京房山·）8，2的等差中项是（    ）

A．±5 B．±4 C．5 D．4

【答案】C

【详解】

8，2的等差中项为.

故选：C

3．（全国）等差数列，，，…的第四项等于(　　)

A．10 B．6 C．8 D．12

【答案】C

【详解】

解：由题意可得,(1＋x)＋(5x＋1)＝2(2x＋2)

解得x＝1

∴这个数列为2，4，6，8，…

故选C.

4．（江西省铜鼓中学（文））已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（    ）

A．1 B．2 C．-2 D．-1

【答案】B

【详解】

设等差数列的公差为d.

由已知条件，得，

即，解得.

故选B.

题型三：等差数列性质

1．（四川省资中县第二中学（理））在等差数列中，则 =（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由等差数列的性质有，则.

故选：D

2．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列中，若，则（    ）

A．20 B．24 C．27 D．29

【答案】D

【详解】

解：，所以，又，所以，

所以，

故选：D

3．（全国高二课时练习）设是等差数列，且，则（    ）

A．5 B．6 C．16 D．32

【答案】B

【详解】

设等差数列的公差为，

因为，

可得，解得，

又由.

故选：B.

4．（贵州大学附属中学高一月考）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（    ）

A．130 B．170 C．210 D．260

【答案】C

【详解】

∵为等差数列，
∴成等差数列，
即成等差数列，
，
解得.
故选：C.

5．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前项和，则使取最大值的自然数是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【详解】

设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，

于是得，由得，，

因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，

所以使取最大值的自然数n是5.

故选：B

6．（新蔡县第一高级中学高二月考（文））已知等差数列，的前项和分别为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

故选：A.

7．（江西九江一中高一期末）已知两个等差数到和的前项和分别为和，且，则=（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【详解】

依题意.

故选：D

8．（江西省莲花中学高一月考）是等差数列的前项和，且．则时，的最大值为（    ）

A．197 B．198 C．199 D．200

【答案】B

【详解】

解：因为，即，，所以，所以数列的公差，所以，，故时，的最大值为198；

故选：B

9．（青铜峡市高级中学高一期中）若等差数列满足，，当则当前项和取得最大值时的值是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】

由题意，等差数列满足，，

根据等差数列的性质，可得，即，

又由，可得，

所以当前项和取得最大值时的值是.

故选：B.

10．（安徽（文））在等差数列中，已知，，则使数列的前项和成立时n的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．9 D．10

【答案】D

【详解】

，，，，，

，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，

故选：D.

11．（赛罕·内蒙古师大附中）等差数列中，，，则数列各项中取值为正数的有（    ）

A．8项或9项 B．7项或8项 C．17项或18项 D．16项或17项

【答案】A

【详解】

若，则，得，而，所以，即，所以；

若，得，而，所以，即，所以；

若，则，得.

所以数列各项中取值为正数的有8项或9项，

故选：A.

题型四：等差数列前项和

1．（全国高二课时练习）在等差数列中，若，则的值是（    ）

A．12 B．24

C．36 D．48

【答案】B

【详解】

由S10=，

得a1+a10=，

故选：B

2．（全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【详解】

设公差不为0的等差数列满足，

则，整理可得．

则．

故选：B．

3．（全国高二专题练习）已知为等差数列且，，为其前项的和，则（    ）

A．176 B．182 C．188 D．192

【答案】D

【详解】

，，

，

，

故选：D.

4．（全国高二课时练习）已知等差数列满足：，，的前项和为．求及；

【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．

【详解】

（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，

解得a1＝3，d＝2．

∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．

5．（广西南宁·高一月考）记为等差数列的前项和，已知，.

求公差及的通项公式；

【答案】（1），；

【详解】

（1）设的公差为，由题意得.

由得.

所以的通项公式为.

6．（全国高二课时练习）已知等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）因为等差数列中，首项为，公差为，

所以其通项公式为；

（2）由（1）可得，数列的前项和.

7．（全国高二单元测试）已知是等差数列，其中，公差，

（1）求的通项公式. 

（2）求数列前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）是等差数列，且，，

；

（2）.

题型五：等差数列前项和最大（小）问题

1．（全国高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则使的最小正整数的值是（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【详解】

设等差数列{an}的公差为d，由S11-S8=3，得a11+a10+a9=3，即3a10=3，解得a10=1，

于是得a1+9d=1，而a11-a8=3d=3，即d=1，则有a1=-8，

从而得等差数列{an}的通项公式为：an=-9+n，

由-9+n>0得n>9，而n是正整数，则，

所以使an>0的最小正整数n的值是10.

故选：C

2．（贵州贵阳一中高三月考（文））已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为（    ）

A．-40 B．-39 C．-38 D．-14

【答案】A

【详解】

因为，，所以，，所以，

由得，所以前项和最小，

.

故选：A

3．（双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（    ）

A．15 B．16 C．17 D．18

【答案】B

【详解】

当时，，可得最大，.

故选：B

4．（河南高二月考（文））在等差数列中，.

（1）求的通项公式;

（2）求的前项和及的最小值.

【答案】（1）；（2），-36.

【详解】

（1）设的公差为，

根据题意得

解得，

所以.

（2）根据等差数列的前项和公式得

则当时，取得最小值.

5．（全国）设等差数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和及使得最大的自然数的值.

【答案】（1）an=11-2n，n∈N*；（2）Sn=-（n-5）2+25，n=5.

【详解】

解（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9，

得

解得

所以数列{an}的通项公式为an=11-2n，n∈N*.

（2）由（1）知，Sn=na1+d=10n-n2.

因为Sn=-（n-5）2+25，

所以当n=5时，Sn取得最大值.

6．（皮山县高级中学高一期中）已知等差数列中，，，求

（1）求的通项公式；

（2）的前项和.

【答案】（1）或；（2）或．

【详解】

解：（1）设的公差为，

因为，，

解得，或，．

所以，或，

解得或．

所以，或．

（2）由（1）可得：或，

所以，或．

题型六：已知和关系

1．（广西平果二中高一期中）已知是等差数列的前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．

【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.

【详解】

（1）由题意可知：，当时，，

当时，，

当时，显然成立，∴数列的通项公式；

（2），

由，则时，取得最大值28，

∴当为4时，取得最大值，最大值28．

2．（全国高二专题练习）设数列的前项和为，已知，，.求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【详解】

（1）当时，，

当时，也成立，

综上所述，.

3．（南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列的前项和为.

求数列的通项公式；

【答案】（1）

【详解】

(1)解：由可得，,

当时，,式子对也成立.

故数列的通项公式为，

4．（浑源县第七中学校高三模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足.求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【详解】

（1）∵数列满足，，

∴令n=1，则，解得.

当n≥2时，，

则，

，

.

∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，则其通项公式为.

5．（山东高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式；

【答案】（1）；

【详解】

（1）当时，，解得：，

当且时，，

∴，

整理可得：，

∵，∴，∴，

∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，

∴.