高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——二次函数与幂函数

第08讲 二次函数与幂函数

一、二次函数

1．二次函数的概念

形如的函数叫做二次函数.

2．表示形式

(1)一般式：.

(2)顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.

(3)两根式：，其中是抛物线与轴交点的横坐标.

3．二次函数的图象与性质

4．常用结论

(1)函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.

(2)若为的实根，则在轴上截得的线段长应为.

(3)当且()时，恒有()；当且()时，恒有().

二、幂函数

1．幂函数的概念

一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.

2．几个常见幂函数的图象与性质

3．常用结论

(1)幂函数在上都有定义.

(2)幂函数的图象均过定点.

(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.

(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.

(5)幂函数在第四象限无图象.

【考点一  幂函数的解析式】

1．（宁夏长庆高级中学高二期末（文））已知幂函数过点，则解析式为（    ）

A． B． C． D．

2．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则（    ）

A． B． C． D．

3．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（    ）

A． B． C．2 D．3

4．（全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（   ）

A． B． C． D．

5．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．（浙江高二期中）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（    ）

A．或3 B．3 C． D．0

7．（湖南长郡中学）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（    ）

A． B．2 C．4 D．

8．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的值为（　　）

A．3 B．9 C．27 D．

9．（全国高一专题练习）函数是幂函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．（全国高一专题练习）如果幂函数的图象经过点，那么的值是（   ）

A． B． C． D．

【考点二  二次函数的解析式】

1．（四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数，的值域为（    ）

A． B． C． D．

2．（昭通市昭阳区第二中学高一期末）已知函数在闭区间上的最大值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

3．（江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）已知函数有最大值，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

4．（全国高二课时练习）函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（    ）

A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）

C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）

5．（全国高一课时练习）若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.

6．（哈尔滨市第三十二中学校高二期末（文））已知二次函数，满足，，试确定此二次函数.

7．（湖南高一期末）已知为二次函数，且满足，．

（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；

（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象；

8．（巴楚县第一中学高二月考（文））已知二次函数，满足，且的最小值是．

（1）求的解析式；

（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.

9．（贵州省思南中学高三（理））已知函数.

（1）当，时，求函数的值域.

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

【考向三  幂函数的图象及性质的应用】

1．（全国高一单元测试）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（    ）

A． B．

C． D．

2．（全国高一课前预习）已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（    ）

A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2

3．（全国高一课前预习）已知幂函数()为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于（    ）

A．1 B．2 C．1或2 D．3

4．（全国高一课时练习）已知点在幂函数的图象上，则函数是（  ）.

A．奇函数                      B．偶函数

C．减函数                      D．增函数

5．（全国高一课前预习）函数是幂函数，则下列结论正确的是(　　)

A． B．

C． D．以上都不对

6．（全国高一课时练习）若，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象不经过原点，则m的取值集合是（    ）

A． B． C． D．

8．（全国高一专题练习）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

9．（全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ）

A． B． C．1 D．或1

10．（高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　）

A． B． C．2 D．

【考向四   二次函数的图象及性质的应用】

1．（北京交通大学附属中学高三开学考试）设函数，对任意实数都有成立，则函数值，，，中，最小的一个不可能是（    ）

A． B． C． D．

2．（重庆市清华中学校高三月考）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（江苏高三专题练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（全国高三专题练习）函数在区间上是递减的,则实数的取值范围是( )

A． B．

C． D．

5．（南京市秦淮中学高三开学考试）已知，函数.若，则（    ）

A． B．

C． D．

6．（全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围　　

A． B． C． D．

7．（河北衡水中学高三）在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为

A．              B．

C．            D．

8．（上海外国语大学附属大境中学高三月考）已知二次函数的值域为．

（1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围；

（2）求在上的最小值，并求的值域．

9．（怀仁市第一中学校高三月考（文））设二次函数，并且.

（1）求实数的值；

（2）若函数在的最大值是1，求实数的值.

10．（福建省将乐县第一中学高三月考）已知函数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）解关于的不等式.