艺术生高考数学专题讲义：考点59 推理与证明

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点59 推理与证明，共11页。试卷主要包含了推理，合情推理，演绎推理，归纳推理与类比推理的步骤，合情推理与演绎推理的区别，平面到空间中的常见类比，直接证明，间接证明等内容，欢迎下载使用。

考点五十九 推理与证明
知识梳理
1．推理
(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．
(2)分类：推理
2．合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理．
(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．
3．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
(3)模式：
三段论
4．归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同特征；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．
(2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
5．合情推理与演绎推理的区别：
归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．
6．平面到空间中的常见类比
平面
空间
点
线
线
面
圆
球
三角形
三棱锥
正三角形
正四面体
角
二面角
面积
体积
周长
表面积
…
…

7．直接证明
直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．
(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．
(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
8．间接证明
间接证明的一种基本方法是反证法．
(1)反证法：
我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
(2)反证法的证题步骤是：
①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)
②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
典例剖析
题型一 归纳推理
例1　观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第五个等式应为_________________________________．
答案　5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
解析　由于1＝12，
2＋3＋4＝9＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，
所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
变式训练 （2015陕西文）观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…，
据此规律，第n个等式可为_______________________________．
答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
解析　等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.
解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；
(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；
(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．
题型二 类比推理
例2　在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
解析 ＝＝·＝×＝.
变式训练 在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．
答案　＋＋＋＝1
解析　设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，
于是可以得出结论：＋＋＋＝1.
解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
题型三 演绎推理
例3　如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
答案
解析 由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
题型四 综合法和分析法的应用
例4　在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，∴A＞－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
变式训练 设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lgc.
证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明＋≥4lgc，即≥4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要证明≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0 解题要点 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
2.用分析法证明时要注意书写格式的规范性．
题型五 反证法
例5　(1)已知x∈R,a＝x2＋,b＝2－x,c＝x2－x＋1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.
(2)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为______________．
答案 (1)见解析 (2)＝或<
解析 (1)证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，
而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，
两者矛盾，所以假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1.
(2)根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即＝或<.
变式训练 (2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是________．
① 方程x3＋ax＋b＝0没有实根
② 方程 x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
③ 方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根
④ 方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析 选①　至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
解题要点　用反证法证明数学命题要把握三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
当堂练习
1．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…；
23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….
根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解中最小的正整数是21，则m＋p＝________．
答案 11　
解析 由归纳推理可知，m＝6，p＝5，∴m＋p＝11.
2．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是________．
答案 2个
解析 ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.
3. 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为________．
答案 8125
解析 5n(n≥5且n∈Z)的后两位数字一定为25，区别在于通过对其后三四位数的观察，55、56、57的后三四位数31、56、81为等差数列，公差为25，由此推{5n}的后两位前的数是以25为公差的等差数列．由公式d＝得＝25(其中a为52011的后两位前的数)，∴a＝50181.
4．某同学在电脑上打上了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是________．
答案 白
解析 由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．
5．（2014·陕西卷）已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．
答案
解析 由题意，得f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝＝，f3(x)＝，…，
由此归纳推理可得f2014(x)＝.
课后作业
一、 填空题
1．下列推理是归纳推理的是________．
①A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
③ 由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
答案　②
解析　从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理，故应选②.
2．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是________．
答案　1
解析　(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．
sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，故②错误．
由向量的运算公式知③正确．
3．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________．
答案
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域.
4．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为________．
答案　dn＝
解析　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；
若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，
∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列.
5．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是___________________________．
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
解析 方法一：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.
方法二：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，
都不是4，故只有3n－2＝4.
6．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于________．
答案 －g(x)
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
7．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________．
①a，b，c中至少有两个偶数
②a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
③a，b，c都是奇数
④a，b，c都是偶数
答案 ②
解析 “恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．
8．（2015山东理）观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41;
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N*时，C ＋C＋ C＋…＋ C＝________.
答案　4n－1
解析　观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
9．观察下列不等式：①<1；②＋<；③＋＋<；…请写出第n个不等式________．
答案 ＋＋＋…＋<
解析 观察不等式发现如下规律：
①<1；
②＋<；
③＋＋<；
…
所以＋＋＋…＋<.
10．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
答案 2πr4　
解析 因为W′＝8πr3，所以W＝2πr4.
11．（2014·全国新课标卷Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
答案 A
解析 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．
二、解答题
12．观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解析 猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
证明：左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]＝sin2α＋＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边．
所以，猜想是正确的．
13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
解析 (1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.